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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:06 So 16.12.2012 | | Autor: | Coup |
| Aufgabe | Gesucht ist die letzte Ziffer für :
[mm] $(127358^{3}$^[red]7538[/red]$ [/mm] + [mm] 53426^{417243} [/mm] ) ^{2013} $
Die rot markierten Zahlen sind wieder Exponent vom Exponenten 3. |
Hallo.
Ich habe leider noch keine Ahnung mit welchen mathematischen Tricks ich hier vorgehen soll. Es zieht mich natürlich zum rechnen mit Resten, da z.b [mm] $7^{49} [/mm] modulo 10$ mir ja die letzte Stelle bringen würde. 7
Doch dies hier raubt mir jede Idee.
[mm] $3^{7538} [/mm] mod 10 $ würde mir die letzte Ziffer im Exponenten liefern. Doch bringt
mir das hier auch nicht viel im Bezug auf die 127358.
Wie gehe ich hier vor ?
lg
Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:22 So 16.12.2012 | | Autor: | wieschoo |
So richtig kann ich die Zahl nicht erkennen. Da ist etwas verrutscht. Im allgemeinen betrachtet man da die Zahl
- mod 2 und mod 5
- mod 4 und mod 25
um an die letzte bzw. vorletze Ziffer heran zukommen (2. Variante ist manch einmal leichter).
Tipp die Zahl noch einmal richtig ab.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:43 So 16.12.2012 | | Autor: | Coup |
Hi, ich wusste leider bis grade nicht wie ich diese Form aufs Forum übertrage.
Hier noch einmal :
$ [mm] (127358^{3^{7538}} [/mm] + [mm] 53426^{417243})^{2013}$
[/mm]
Nun stimmt es
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:51 So 16.12.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Gesucht ist nun $ [mm] (127358^{3^{7538}} [/mm] + [mm] 53426^{417243})^{2013} [/mm] $ mod 10. Rechne dafür zuerst mal
$ [mm] (127358^{3^{7538}} [/mm] + [mm] 53426^{417243})^{2013} [/mm] $ mod 2
$ [mm] (127358^{3^{7538}} [/mm] + [mm] 53426^{417243})^{2013} [/mm] $ mod 5
aus, wie wieschoo es gesagt hat. Modulo 2 sollte sehr einfach sein. Modulo 5 ist es auch nicht so schwierig, zumindest wenn man weiß, was man bei der Modulorechnung alles machen darf. Kommst du damit erst einmal etwas weiter?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 So 16.12.2012 | | Autor: | Coup |
Mit [mm] 3^{7538} [/mm] könnte ich noch irgendwas anfangen um die letzte Ziffer zu bestimmen aber wie schmeiße ich denn bitte den mod 2 über meinen ganzen Term ? Das überfordert mich grad :(
Ich bräuchte einen kleinen Ansatz um die Arbeitsweise zu verstehen.
Beispielaufgaben finde ich leider nur für kleinere Werte.
lg und danke schonmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 So 16.12.2012 | | Autor: | Teufel |
Ok, machen wir mal mod 2.
Bei der Modulorechnung darfst du die 2 so gut wie überall reinziehen, wo es dir passt. Nur eben nicht in Exponenten. Aber du kannst z.B das, was in der Klammer [mm] (...)^{2013} [/mm] steht modulo 2 rechnen. Was kommt da denn raus?
Anderes Beispiel: [mm] 5*(3+5)^9*(5*8+2^{99}) [/mm] = [mm] 1*(1+1)^9*(1*0+0^{99}) [/mm] = 0 mod 2
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:10 So 16.12.2012 | | Autor: | Coup |
Danke für den Tipp Teufel.
Also die letzten Ziffern grade sind bleibt beim Modulo 2 Rest 0.
Also $( [mm] 0^{3^{7538}} [/mm] + [mm] 0^{417243} [/mm] ) ^{2013} $
und [mm] 0^{2013} [/mm] = 0 mod 2
Welche Ziffer habe ich denn mit mod 2 ausgerechnet ?
Mit modulo 5 bleibe ich stecken, da der Exponent noch sehr groß ist.
$ ( [mm] 3^{3^{7538}} [/mm] + 1 ) ^{2013} $
lg und danke :)
Micha
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Hallo Micha,
die Zahlentheorie rechnet oft mit Zahlen, die Du mit einem Taschenrechner nicht mehr bewältigen kannst und die selbst mit einem geeigneten PC-Programm für Langzahlenrechnung kaum noch zu handhaben sind. Meistens geht es aber auch nicht darum, die Zahlen überhaupt auszurechnen. Viele Aussagen sind trotzdem zu treffen, so auch hier.
Die meisten noch so großen Zahlen werden in der Modulrechnung ganz zahm, solange man sie nicht faktorisieren will. Dann beginnen sie sich mit den subtilsten Mitteln zu wehren. 
> Also die letzten Ziffern grade sind bleibt beim Modulo 2
> Rest 0.
Man sagt "beim Modul" oder besser "zum Modul". "modulo" wird dagegen normalerweise kleingeschrieben. Das sage ich nur, weil Dir das Thema noch neu zu sein scheint.
> Also [mm]( 0^{3^{7538}} + 0^{417243} ) ^{2013} [/mm]
>
> und [mm]0^{2013}[/mm] = 0 mod 2
Das ist vollkommen richtig. Dazu muss man z.B. nichts über [mm] 3^{7538} [/mm] wissen, außer dass es [mm] \not=0 [/mm] ist.
> Welche Ziffer habe ich denn mit mod 2 ausgerechnet ?
Noch keine. Aber Du weißt damit schonmal, dass die Endziffer gerade ist.
> Mit modulo 5 bleibe ich stecken, da der Exponent noch sehr
> groß ist.
>
> [mm]( 3^{3^{7538}} + 1 ) ^{2013}[/mm]
Hier kommt es darauf an, ob Du den Satz von Fermat (sog. "kleiner Fermat") benutzen darfst. Ohne den ist die Aufgabe aber kaum lösbar und man würde auch nicht mit so großen Zahlen hantieren, insofern nehme ich schon an, dass Ihr den in der Vorlesung hattet.
Dann weißt Du, dass für ein zu 5 teilerfremdes a gilt: [mm] a^4\equiv 1\mod{5}
[/mm]
Also gilt es nun, die verbleibenden Exponenten modulo 4 zu betrachten.
Zum einen: [mm] 3^{7538}\equiv (-1)^{7538}\mod{4}
[/mm]
Damit solltest Du den unbequemsten Teil direkt erledigen können.
Dann bleibt noch die Frage, was eigentlich [mm] 2013\mod{4} [/mm] ist. Und dann bist Du ganz schnell fertig.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:19 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Coup |
Vielen Dank für die Hilfe Reverend.
Der Satz von Fermat stand schon in der Vorlesung, allerdings versteckt und undurchsichtig erklärt. Aber dank deinem Beispiel hat es Prima geklappt.
Eine letzte Frage zum unbequemsten Teil habe ich noch
Wieso wird aus modulo 4 von [mm] $3^{7538} -1^{7538}$ [/mm] ?
Mein Ergebnis ist jedenfalls somit 2.
Denn da der Exponent grade ist, wird auch die -1 positiv, addiert mit 1 = 2
Der äußere Exponent modulo 4 ist 1
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Hallo nochmal,
> Der Satz von Fermat stand schon in der Vorlesung,
> allerdings versteckt und undurchsichtig erklärt. Aber dank
> deinem Beispiel hat es Prima geklappt.
Den musst Du im Schlaf draufhaben. Er ist womöglich das wichtigste Instrument der ganzen Zahlentheorie (nach dem Fundamentalsatz, natürlich). Er wird noch erweitert zum Satz von Euler-Fermat, aber erst, wenn Ihr die Eulersche [mm] $\varphi$-Funktion [/mm] behandelt habt.
> Eine letzte Frage zum unbequemsten Teil habe ich noch
> Wieso wird aus modulo 4 von [mm]3^{7538} -1^{7538}[/mm] ?
Einfach weil [mm] 3\equiv-1\mod{4} [/mm] ist. Wenn man den "Rest" einer ganzzahligen Division ordentlich definiert, dann haben 3 und -1 bei Teilung durch 4 beide den Rest 3. Oder meinetwegen auch beide den Rest 11 oder -1, das ist egal. Jedenfalls ist es die gleiche Restklasse. Das ist ja der ganze Grundgedanke der Modulrechnung.
> Mein Ergebnis ist jedenfalls somit 2.
Das stimmt noch nicht.
> Denn da der Exponent grade ist, wird auch die -1 positiv,
Hm. Nicht gut formuliert, aber ok: der Exponent der ersten Zahl in der Klammer wird zu 1, so dass wir noch haben:
[mm] (3^{\blue{1}}+1)^{2013}=4^{2013}
[/mm]
> addiert mit 1 = 2
Nein, hier hast du die 3 "geschlabbert".
> Der äußere Exponent modulo 4 ist 1
Richtig.
Also gilt nun zum Modul 5: [mm] (\text{große Anfangsangst})^{2013}\equiv 4^1\mod{5}
[/mm]
Nun brauchst Du noch das schon fertige Ergebnis [mm] \mod{2}. [/mm] Offiziell verknüpft man dann die beiden Ergebnisse [mm] \mod{2} [/mm] und [mm] \mod{5} [/mm] über den chinesischen Restsatz, aber den muss man hierfür nicht gehabt haben.
Wir suchen nun alle Zahlen zwischen 0 und 9, die gerade sind und bei Teilung durch 5 den Rest 4 lassen.
Das ist ja eine übersichtliche Liste.
Sie sollte übrigens auch nicht mehr Lösungen enthalten; genau das war nämlich der Plan bei der Zerlegung der 10 in ihre Primfaktoren.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:39 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Coup |
Puh, die Aufgabe hat mich ziemlich erdrückt.
Es kommen ja letztendlich nur die 4 oder die 9 in Frage.
Da ich mit modulo 2 die gerade Zahl berechnet habe ist die letzte Ziffer die 4.
komplex und clever. So komplex das ich da noch ein paar Tage drüber nachdenken muss.
Vielen Dank für deine permanente Unterstützung
Kann ich das Prinzip bei allen Boliden anwenden ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:07 Mo 17.12.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Micha,
> Puh, die Aufgabe hat mich ziemlich erdrückt.
Glaub mir, irgendwann wird es leichter. Wozu man gleich mit so großen Zahlen anfangen muss, ist mir allerdings unverständlich. Dreistellig hätte doch auch völlig genügt.
> Es kommen ja letztendlich nur die 4 oder die 9 in Frage.
> Da ich mit modulo 2 die gerade Zahl berechnet habe ist die
> letzte Ziffer die 4.
So ist es. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> komplex und clever. So komplex das ich da noch ein paar
> Tage drüber nachdenken muss.
Das kann nicht schaden.
> Vielen Dank für deine permanente Unterstützung
> Kann ich das Prinzip bei allen Boliden anwenden ?
Boliden sind ein guter Vergleich. Wenn man die Karosserie mal abbaut, bleibt auch nur ein Fahrgestell mit Rädern, ein Motor und ein Getriebe. Und ein bisschen Kleinkram.
Fast alle dieser Aufgaben mit riesigen Exponenten oder Basen, aber einem kleinen Modul, wirst Du im Prinzip auf die gleiche Weise erledigen können. Es geht eigentlich immer nur darum, wie man möglichst viele Gegebenheiten so zusammenfassen und verkleinern kann, dass sie handhabbar werden. Also sowas wie [mm] 83288351^{3995548^{77772216}}\mod{17} [/mm] ist nur wenig mühsamer als [mm] 83288355^{3995548^{77772216}}\mod{17}. [/mm] Im ersten Fall lässt sich das auf [mm] 1\mod{17}, [/mm] im zweiten auf [mm] 0\mod{17} [/mm] reduzieren, durchaus mit verschiedenen Methoden, aber eben nur Methoden. Geistreich ist das noch nicht.
Also keine Angst: das meiste ist viel einfacher, als es auf den ersten Blick aussieht. Viel interessanter sind die Sachen, bei denen es umgekehrt ist.
Wenn Du Fragen hast, melde Dich einfach hier. Dazu ist das Forum ja da.
Grüße
reverend
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