Liegt der P auf der Ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 Di 21.01.2014 | | Autor: | muaz |
| Aufgabe | a.) liegt der P(7/1/8) auf der ebene [mm] E:\vec{x}=\vektor{2 \\ 0 \\ 1 }+r*\vektor{1 \\ 3 \\ 5 }+s*\vektor{2 \\ -1 \\ 1 } [/mm] ?
b.) liegen die Punkte A(3/0/2),B(5/1/9),C(6/2/7),D(8/3/14) in einer Ebene?
c.) Durchstoß-Schnittpunkt mit Grundebenen [mm] g:\vec{x}=\vektor{3 \\ 2 \\ 2 }+t*\vektor{1 \\ 3 \\ 0 } [/mm] ??
d.) gegeben die Gerade [mm] g:\vec{x}=\vektor{22 \\ -18 \\ 7 }+t*\vektor{4 \\ 1 \\ 8 } [/mm]
[mm] E:\vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ 0 }+r*\vektor{4 \\ -7 \\ 1 }+s*\vektor{0 \\ 4 \\ -3 } [/mm] |
Wie gehe ich bei a.) vor und ist das dann die selbe Vorgehensweise auch bei b.) ??
was bedeutet durchstoß-schnittpunkt mit geradenbenen mit der Aufgabe ?
muss ich bei der aufgabe d.) den Schnittpunkt s ausrechnen in dem ich beide Gleichungen gleichsetze?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:50 Di 21.01.2014 | | Autor: | muaz |
Aufgabe wurde bereits korrigiert, Danke!
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Hallo,
offensichtlich meinst du hiermit:
> a.)
> liegt der P(7/1/8)auf der ebene [mm]E:\vec{x}=\vektor{2 \\ 0 \\ 1 }+r{1 \\ 3 \\ 5 }+s{2 \\ -1 \\ 1 }[/mm]
> ?
>
Die Ebene
E: [mm] \vec{x}=\vektor{2\\0\\1}+r*\vektor{1\\3\\5}+s*\vektor{2\\-1\\1}
[/mm]
Du musst vor jeden Vektor den LaTeX-Befehl vektor setzen, damit das richtig dargestellt wird.
> b.) liegen die Punkte A(3/0/2),B(5/1/9),C(6/2/7),D(8/3/14)
> in einer Ebene?
>
> c.)Durchstoß-Schnittpunkt mit Grundebenen [mm]g:\vec{x}={3 \\ 2 \\ 2 }+t{1 \\ 3 \\ 0 }[/mm]
> ??
>
> d.)gegeben die Gerade [mm]g:\vec{x}={22 \\ -18 \\ 7 }+t{4 \\ 1 \\ 8 }[/mm]
>
> [mm]E:\vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ 0 }+r{4 \\ -7 \\ 1 }+s{0 \\ 4 \\ -3 }[/mm]
>
> Wie gehe ich bei a.) vor
Setze die Koordinaten von P für [mm] \vec{x} [/mm] ein und prüfe, ob das so entstandene LGS eine Lösung besitzt. Falls ja, so liegt der Punkt auf der Ebene.
> und ist das dann die selbe
> Vorgehensweise auch bei b.) ??
Jein. Hier bieten sich die beiden folgenden Wege an:
- Wähle drei der vier Punkte aus, berechne die Gleichung der Ebene in der diese drei Punkte liegen und prüfe dann, ob der übrige Punkt ebenfalls in dieser Ebene liegt.
- Schneller geht es, wenn man von einem Punkt aus die drei Verbindungsvektoren zu den anderen Punkten aufstellt und auf lineare Abhängigkeit prüft. Sind sie linear abhängig, liegen alle vier Punkte in einer Ebene, sind sie linear unabhängig, dann nicht.
>
> was bedeutet durchstoß-schnittpunkt mit geradenbenen mit
> der Aufgabe ?
Das ist der Schnittpunkt einer Geraden mit einer der drei Koordinatenebenen.
>
> muss ich bei der aufgabe d.) den Schnittpunkt s ausrechnen
> in dem ich beide Gleichungen gleichsetze?
Musst du nicht, kannst du aber machen. Alterbativ würde ich die Ebenengleichung in die Koorinatenform bringen und dann die Geradengleichung einsetzen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Di 21.01.2014 | | Autor: | muaz |
> Hallo,
>
> offensichtlich meinst du hiermit:
>
> > a.)
> > liegt der P(7/1/8)auf der ebene [mm]E:\vec{x}=\vektor{2 \\ 0 \\ 1 }+r{1 \\ 3 \\ 5 }+s{2 \\ -1 \\ 1 }[/mm]
>
> Die Ebene
>
> E:
> [mm]\vec{x}=\vektor{2\\0\\1}+r*\vektor{1\\3\\5}+s*\vektor{2\\-1\\1}[/mm]
Habe ich gemacht und sie variabeln r und s errechnet in dem LGS danach in die Gleichung eingesetzt und auf beiden seiten das selbe ergebnis also 7/1/8=7/1/8
ich nehme an das somit der Punkt auf der Ebene liegt.
> Du musst vor jeden Vektor den LaTeX-Befehl ?
> > b.) liegen die Punkte A(3/0/2),B(5/1/9),C(6/2/7),D(8/3/14)
> > in einer Ebene?
> >
> > c.)Durchstoß-Schnittpunkt mit Grundebenen [mm]g:\vec{x}={3 \\ 2 \\ 2 }+t{1 \\ 3 \\ 0 }[/mm]
>
> > ??
> >
> > d.)gegeben die Gerade [mm]g:\vec{x}={22 \\ -18 \\ 7 }+t{4 \\ 1 \\ 8 }[/mm]
>
> >
> > [mm]E:\vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ 0 }+r{4 \\ -7 \\ 1 }+s{0 \\ 4 \\ -3 }[/mm]
> > und ist das dann die selbe
> > Vorgehensweise auch bei b.) ??
>
> Jein. Hier bieten sich die beiden folgenden Wege an:
>
> - Wähle drei der vier Punkte aus, berechne die Gleichung
> der Ebene in der diese drei Punkte liegen und prüfe dann,
> ob der übrige Punkt ebenfalls in dieser Ebene liegt.
>
wäre dann für ABC:
[mm] g:\vec{x}=\vektor{3\\0\\2}+r\vektor{5\\1\\9}+s\vektor{6\\2\\7}
[/mm]
und dann quasi wie bei aufgabe a) den Punkt D als Vergleich nehmen?:
[mm] E:g:\vektor{8\\3\\14}=\vektor{3\\0\\2}+r\vektor{5\\1\\9}+s\vektor{6\\2\\7}
[/mm]
so erhalte ich im LGS
5=5r+6s
3=r+2s
12=9r+7s
und als ergebnisse für r=-2 und für s=30/7, wenn ich dies (wie bei a.)) in die Gleichung gebe, erhalte ich rechts und links was unterschiedliches.. somit liegen die punkte nicht auf einer ebene?
> - Schneller geht es, wenn man von einem Punkt aus die drei
> Verbindungsvektoren zu den anderen Punkten aufstellt und
> auf lineare Abhängigkeit prüft. Sind sie linear
> abhängig, liegen alle vier Punkte in einer Ebene, sind sie
> linear unabhängig, dann nicht.
das habe ich nicht verstanden, bzw, die vorgehensweise verstehe ich nicht?
> >
> > was bedeutet durchstoß-schnittpunkt mit geradenbenen
> mit
> > der Aufgabe ?
>
> Das ist der Schnittpunkt einer Geraden mit einer der drei
> Koordinatenebenen.
welcher koordinatenebnenen? wie stelle ich das an?
> >
> > muss ich bei der aufgabe d.) den Schnittpunkt s
> ausrechnen
> > in dem ich beide Gleichungen gleichsetze?
>
> Musst du nicht, kannst du aber machen. Alterbativ würde
> ich die Ebenengleichung in die Koorinatenform bringen und
> dann die Geradengleichung einsetzen.
>
> Gruß, Diophant
wie bringe ich das zustande(Alterbativ würde
> ich die Ebenengleichung in die Koorinatenform)
?
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Hallo,
> > E:
> >
> [mm]\vec{x}=\vektor{2\\0\\1}+r*\vektor{1\\3\\5}+s*\vektor{2\\-1\\1}[/mm]
>
> Habe ich gemacht und sie variabeln r und s errechnet in dem
> LGS danach in die Gleichung eingesetzt und auf beiden
> seiten das selbe ergebnis also 7/1/8=7/1/8
Ja, das stimmt. Um eine vernünftige Kontrolle zu erleichtern, gib in Zukunft in einem solchen Fall der errecheneten Werte für r und s mit an und versuche, ein wenig sinnvollere Schreibweisen zu verwenden. Es ist äußerst verwirrend, wenn Vektorkomponenten mit Schrägstrichen getrennt werden. Das ist nämlich völlig unüblich, weil es schnell zu Missverständnissen fürhen würde.
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> > Jein. Hier bieten sich die beiden folgenden Wege an:
> >
> > - Wähle drei der vier Punkte aus, berechne die Gleichung
> > der Ebene in der diese drei Punkte liegen und prüfe dann,
> > ob der übrige Punkt ebenfalls in dieser Ebene liegt.
> >
> wäre dann für ABC:
>
> [mm]g:\vec{x}=\vektor{3\\0\\2}+r\vektor{5\\1\\9}+s\vektor{6\\2\\7}[/mm]
Nein, hier stimmt schon die Ebenengleichung nicht. Ohne Rechnung kann man aber nicht mehr sagen, als dass die Richtungsvektoren falsch sind.
> und dann quasi wie bei aufgabe a) den Punkt D als
> Vergleich nehmen?:
Im Prinzip ja, aber eben mit der korrekten Gleichung.
>
> > - Schneller geht es, wenn man von einem Punkt aus die drei
> > Verbindungsvektoren zu den anderen Punkten aufstellt und
> > auf lineare Abhängigkeit prüft. Sind sie linear
> > abhängig, liegen alle vier Punkte in einer Ebene, sind sie
> > linear unabhängig, dann nicht.
>
> das habe ich nicht verstanden, bzw, die vorgehensweise
> verstehe ich nicht?
Was genau verstehst du daran nicht, das musst du schon ein wenig präziser formulieren. Habt ihr die Definition der linearen Unabhängigkeit in der Schule durchgenommen?
> > >
> > > was bedeutet durchstoß-schnittpunkt mit geradenbenen
> > mit
> > > der Aufgabe ?
> >
> > Das ist der Schnittpunkt einer Geraden mit einer der drei
> > Koordinatenebenen.
> welcher koordinatenebnenen? wie stelle ich das an?
> > >
> > > muss ich bei der aufgabe d.) den Schnittpunkt s
> > ausrechnen
> > > in dem ich beide Gleichungen gleichsetze?
> >
> > Musst du nicht, kannst du aber machen. Alterbativ würde
> > ich die Ebenengleichung in die Koorinatenform bringen und
> > dann die Geradengleichung einsetzen.
>
> wie bringe ich das zustande(Alterbativ würde
> > ich die Ebenengleichung in die Koorinatenform)
> ?
Auch hier ist völlig unklar, was du eigentlich wissen möchtest. Ein intensives Studium das Schulbuchs bzw. deiner Unterlagen könnte IMO nicht schaden.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:25 Mi 22.01.2014 | | Autor: | muaz |
> > > Jein. Hier bieten sich die beiden folgenden Wege an:
> > >
> > > - Wähle drei der vier Punkte aus, berechne die
> Gleichung
> > > der Ebene in der diese drei Punkte liegen und prüfe
> dann,
> > > ob der übrige Punkt ebenfalls in dieser Ebene liegt.
> > >
> > wäre dann für ABC:
(ich habe eine Parametergleichung aufgestellt, den Punkt A als Ortsvektor/Stützvektor OA erstellt, die beiden anderen Punkte B,C zu jeweils einen Richtungsvektor gemacht AB,AC und den Punkt D habe ich anstelle von Vektor x, als Überprüfung eingetippt.
> >
> [mm]g:\vec{x}=\vektor{3\\0\\2}+r\vektor{2\\1\\7}+s\vektor{3\\2\\5}[/mm] so richtig? Und jetzt:
[mm]g:\vektor{8\\3\\14}=\vektor{3\\0\\2}+r\vektor{2\\1\\7}+s\vektor{3\\2\\5}[/mm]
im LGS erhalte ich dann für r=4,5/7 und für s=6/4
eingesetzt in die Ebenengleichung, ergeben sich andere Ergebnisse als das was ich im Punkt D habe, somit liegen die Punkte nicht in einer Ebene?
> > > - Schneller geht es, wenn man von einem Punkt aus die
> drei
> > > Verbindungsvektoren zu den anderen Punkten aufstellt
> und
> > > auf lineare Abhängigkeit prüft. Sind sie linear
> > > abhängig, liegen alle vier Punkte in einer Ebene,
> sind sie
> > > linear unabhängig, dann nicht.
> >
> > das habe ich nicht verstanden, bzw, die vorgehensweise
> > verstehe ich nicht?
>
> Was genau verstehst du daran nicht, das musst du schon ein
> wenig präziser formulieren. Habt ihr die Definition der
> linearen Unabhängigkeit in der Schule durchgenommen?
linear unabhängig:wenn alle Vektoren nicht das vielfache eines vektoren sind in einem Raum. Ansonsten kollinear, wenn es das vielfache eines vektores ist. aber ich habe hier PUnkte ABCD, müsste ich dann also mit den gegebenen Punkten jeweils Vektoren bilden (AB,BC,CD) und dann quasi überprüfen ob es als Summe mit dem Punkt D übereinstimmt bzw ob dabei 0 ergibt?
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> (ich habe eine Parametergleichung aufgestellt, den Punkt A
> als Ortsvektor/Stützvektor OA erstellt, die beiden anderen
> Punkte B,C zu jeweils einen Richtungsvektor gemacht AB,AC
> und den Punkt D habe ich anstelle von Vektor x, als
> Überprüfung eingetippt.
> > >
> >
> [mm]g:\vec{x}=\vektor{3\\0\\2}+r\vektor{2\\1\\7}+s\vektor{3\\2\\5}[/mm]
> so richtig?
Hallo,
ja.
> Und jetzt:
>
> [mm]g:\vektor{8\\3\\14}=\vektor{3\\0\\2}+r\vektor{2\\1\\7}+s\vektor{3\\2\\5}[/mm]
Richtig.
>
> im LGS erhalte ich dann für r=4,5/7 und für s=6/4
> eingesetzt in die Ebenengleichung, ergeben sich andere
> Ergebnisse als das was ich im Punkt D habe, somit liegen
> die Punkte nicht in einer Ebene?
Wenn der Punkt D nicht in der Ebene läge, hättest Du ein widersprüchliches Ergebnis, etwa 5=17, bekommen.
Die Erkenntnis, die Du aus der nicht funktionierenden Probe gewinnen solltest, lautet:
"Ich habe mich wohl verrechnet."
Once more, please...
> linear unabhängig:wenn alle Vektoren nicht das vielfache
> eines vektoren sind in einem Raum.
Das ist richtig für zwei Vektoren.
Wenn keiner das Vielfache des anderen ist, sind sie linear unabhängig.
Lineare Unabhängigkeit von drei Vektoren wird in der Schule oft so definiert:
keinen kann man als Linearkombination der anderen beiden schreiben.
> aber ich habe
> hier PUnkte ABCD, müsste ich dann also mit den gegebenen
> Punkten jeweils Vektoren bilden (AB,BC,CD) und dann quasi
> überprüfen ob es als Summe mit dem Punkt D übereinstimmt
> bzw ob dabei 0 ergibt?
Du müßtest schauen, ob mal CD als Linearkombination von AB und BC schreiben kann, ob es also [mm] r,s\in \IR [/mm] gibt mit CD=rAB+sBC.
Ich finde das Gleichsetzen von Ortsvektor des Punktes und Ebenengleichung griffiger, leichter zu merken und zu verstehen.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:35 Mi 22.01.2014 | | Autor: | muaz |
J adanke, für s,r=1 wird dasselbe erhalten, somit liegt D in der selben Ebene.
Ich finde auch, das nachrrechnen mit dem LGS wie ichs gemacht habe griffiger, das andere irritiert mich, da ich sowieso in der Mathematik mich schnel verlaufe, (leider).
Besten Dank
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Mi 22.01.2014 | | Autor: | muaz |
Wie gehe ich beim Durchstoß-Schnittpunkt vor?
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Hallo,
> Wie gehe ich beim Durchstoß-Schnittpunkt vor?
Für eine Koordinatenebene muss stets eine bestimmte Koordinate konstant gleich Null sein. Diese setzt du in deiner Geradengelichung gleich Null, löst nach dem Parameter auf und setzt den errrechneten Wert in die Geradengleichunjg ein.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Mi 22.01.2014 | | Autor: | muaz |
also ich habe dich in deiner ersten antwort besser verstanden und wenn ich das mit dieser antwort kombiniere:
> Für eine Koordinatenebene muss stets eine bestimmte
> Koordinate konstant gleich Null sein. Diese setzt du in
> deiner Geradengelichung gleich Null, löst nach dem
> Parameter auf und setzt den errrechneten Wert in die
> Geradengleichunjg ein.
>
> Gruß, Diophant
[mm] g:\vec{x}=\vektor{22 \\ -18 \\ 7 }+t=0 [/mm] (da eine der beiden Koordinaten gleich null gesetzt wird und nicht beide?) aber das ergibt für mich (auf dem weg)kein sinn, irgentwas mache ich falsch?
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Hallo muaz,
> also ich habe dich in deiner ersten antwort besser
> verstanden und wenn ich das mit dieser antwort kombiniere:
lies einfach die Antworten gründlicher durch. Und vielleicht lies einfach mal das eine oder andere Buch, das schult ja auch die sprachlichen Fertigkeiten. Denn ganz ehrlich: deine Problembeschreibungen sind unterirdisch schlecht und obendrein schlampig. Das kann doch kein Mensch wirklich verstehen, was du eigentlich wissen möchtest, es ist echt zum Verzweifeln!
>
> > Für eine Koordinatenebene muss stets eine bestimmte
> > Koordinate konstant gleich Null sein. Diese setzt du in
> > deiner Geradengelichung gleich Null, löst nach dem
> > Parameter auf und setzt den errrechneten Wert in die
> > Geradengleichunjg ein.
> >
> > Gruß, Diophant
>
> [mm]g:\vec{x}=\vektor{22 \\ -18 \\ 7 }+t=0[/mm] (da eine der
> beiden Koordinaten gleich null gesetzt wird und nicht
> beide?) aber das ergibt für mich (auf dem weg)kein sinn,
> irgentwas mache ich falsch?
Unsinn machst du, Unsinn, ohne vorher darüber nachzudenken. Wenn du wenigstens da oben eine vernünftige Geradengleichung (also mit Richtungsvektor!) angegeben hättest, dann hätte man einen Aufhänger, um einen konkreten Tipp zu geben.
Angenommen, die Geradengleichung laute
g: [mm] \vec{x}=\vektor{22\\-18\\7}+t*\vektor{1\\2\\7}
[/mm]
und es wäre der Schnittpunkt mit der [mm] x_1x_2-Ebene [/mm] gesucht. Dann setzt man [mm] x_3=0:
[/mm]
7+7t=0
löst nach t auf und setzt wie schon ausführlich erläutert den errechneten Wert in die Geradengleichung ein, und fertig ist.
Und nochmal: mit gründlichem Durcharbeiten der gegebenen Antworten wäre dir das vermutlich längst klar.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Mi 22.01.2014 | | Autor: | muaz |
die Geradengleichung lautet
>
> g: [mm]\vec{x}=\vektor{22\\-18\\7}+t*\vektor{4\\1\\8}[/mm]
>
> und es wäre der Schnittpunkt mit der [mm]x_1x_2-Ebene[/mm] gesucht.
Dort steht nur "Durchstoßpunkt mit den Grundebenen", daher wohl alle drei gemeint
.
> Dann setzt man [mm]x_3=0:[/mm]
also:
g: [mm]\vec{x}=\vektor{22\\-18\\7}+t*\vektor{4\\1\\8}[/mm]
für x1x2 Ebene: 7+8t=0 ---> t= -7:8
für x2x3 Ebene: 22+4t=0 ---> t=-22:4
für x1x3 Ebene: -18+t=0 ---> t=18
danach die Ergebnisse der jeweiligen Parameter in die Gleichung einsetzen und man erhält den "Durchstoß-Schnittpunkt" für die jeweiligen Ebenen.(?)
(ps:welches Büchlein empfiehlst du mir, da ich den Stoff im Unterricht überhaupt nicht kappiere)
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Hallo,
> die Geradengleichung lautet
> >
> > g: [mm]\vec{x}=\vektor{22\\-18\\7}+t*\vektor{4\\1\\8}[/mm]
> >
> > und es wäre der Schnittpunkt mit der [mm]x_1x_2-Ebene[/mm]
> gesucht.
>
> Dort steht nur "Durchstoßpunkt mit den Grundebenen", daher
> wohl alle drei gemeint
> .
> > Dann setzt man [mm]x_3=0:[/mm]
> also:
> g: [mm]\vec{x}=\vektor{22\\-18\\7}+t*\vektor{4\\1\\8}[/mm]
>
> für x1x2 Ebene: 7+8t=0 ---> t= -7:8
> für x2x3 Ebene: 22+4t=0 ---> t=-22:4
> für x1x3 Ebene: -18+t=0 ---> t=18
>
Das passt, bis auf die Tatsache, dass man teilweise noch kürzen kann.
> danach die Ergebnisse der jeweiligen Parameter in die
> Gleichung einsetzen und man erhält den
> "Durchstoß-Schnittpunkt" für die jeweiligen Ebenen.(?)
Ja. Der Name Durchstoßpunkt ist historisch bedingt und wurde früher generell für Schnittpunkte bei räumlichen Problemen verwendet. Die heutige Schulmathematik allerdings verwendet den Begriff eher im Zusammenhang mit Koordinatenachsen oder -ebenen.
>
> (ps:welches Büchlein empfiehlst du mir, da ich den Stoff
> im Unterricht überhaupt nicht kappiere)
>
Ich hatte jetzt an das eine oder andere Stück deutscher Literatur gedacht und das ist ernst gemeint. Mathematik ohne Sprache ist undenkbar, im wahrsten Sinne des Wortes. Und von daher sollte man beim Kommunizieren über Mathematik eben sprachlich nicht schlampen, sondern im Gegenteil sich besonders um eine klare Sprache bemühen. Und wenn man das noch nicht so gut kann, dann hilft Lesen!
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:31 Mi 22.01.2014 | | Autor: | muaz |
:) DANKE
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Mi 22.01.2014 | | Autor: | muaz |
Ich hatte beim Einsetzen der Zahlen einen Fehler gemacht, hier noch einmal die korrekten Zahlen mit der Bitte um Korrektur:
[mm] g:\vec{x=}=\vektor{3 \\ 2 \\ 2}+t*\vektor{1 \\ 3 \\ 0}
[/mm]
3+t=0 --> t=-3
2+3t=0 --> t= -2/3
2=0 --> ist nicht definiert
[mm] g:\vec{x=}=\vektor{3 \\ 2 \\ 2}+t*\vektor{1 \\ 3 \\ 0} [/mm]
(Für den Parameter t, werden -3 und -2/3 eingesetzt)
Ebene x1x2: ist nicht definiert
Ebene x1x3: 4/3
Ebene x2x3: 0
(schreibt man das Ergebnis für die Ebenen auch so wie ich es gemacht habe oder muss ich da was beachten?)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:41 Mi 22.01.2014 | | Autor: | chrisno |
> Ich hatte beim Einsetzen der Zahlen einen Fehler gemacht,
> hier noch einmal die korrekten Zahlen mit der Bitte um
> Korrektur:
>
> [mm]g:\vec{x}=\vektor{3 \\ 2 \\ 2}+t*\vektor{1 \\ 3 \\ 0}[/mm]
>
Nun musst Du Text schreiben:
Die Bedingung die für den Punkt erfüllt sein muss, bei dem die Gerade die [mm] $x_2$-$x_3$-Ebene [/mm] durchstößt:
> 3+t=0 --> t=-3
Damit ist dies der Punkt .....
Die Bedingung die für den Punkt erfüllt sein muss, bei dem die Gerade die [mm] $x_1$-$x_3$-Ebene [/mm] durchstößt:
> 2+3t=0 --> t= -2/3
Damit ist dies der Punkt .....
Die Bedingung die für den Punkt erfüllt sein muss, bei dem die Gerade die [mm] $x_1$-$x_2$-Ebene [/mm] durchstößt:
> 2=0 --> ist nicht definiert
Das kannst Du so nicht schreiben. "Diese Bedingung ist nicht erfüllbar. Daher gibt es keinen solchen Punkt."
>
> [mm]g:\vec{x}=\vektor{3 \\ 2 \\ 2}+t*\vektor{1 \\ 3 \\ 0}[/mm]
> (Für den Parameter t, werden -3 und -2/3 eingesetzt)
>
> Ebene x1x2: ist nicht definiert
> Ebene x1x3: 4/3
> Ebene x2x3: 0
Ich habe die Diskussion nicht so genau gelesen. Ich verstehe überhaupt nicht, was Du machst. Du schreibst auch nicht, was Du machen willst.
Ich vermute, dass Du das machen willst, was oben anstelle der Punkte geschehen soll.
Erst einmal zu Klärung: Falls die Gerade schräg genug durch die Gegend verläuft, wird sie mit allen drei Grundebenen jeweils einen Schnittpunkt haben. Das sind drei Schnittpunkte. Jeder Schnittpunkt ist durch einen Wert von t bestimmt. Jeder Schnittpunkt muss einzeln angegeben werden.
Ich mache es für den Fall t=-3:
> [mm]g:\vec{x}=\vektor{3 \\ 2 \\ 2}-3*\vektor{1 \\ 3 \\ 0} = \vektor{0 \\ -7 \\ 2} [/mm]
Dieser Punkt hat die [mm] $x_1$-Koordinate [/mm] 0. Damit liegt er in der ... Ebene.
>
> (schreibt man das Ergebnis für die Ebenen auch so wie ich
> es gemacht habe oder muss ich da was beachten?)
>
Mach es wie es im Unterricht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:59 Mi 22.01.2014 | | Autor: | muaz |
Hallo,
ich bezog mich bei meiner Fragestellung auf den Inhalt in der Aufgabe (siehe Anfang der Diskus.) und habe deshalb nur die Aufgabe versucht zu lösen. Zuvor hatte ich den Lösungsweg beschrieben bekommen, wobei ich falsche Zahlen in meiner Gleichung hatte...
Trotzdem vielen Dank
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:51 Do 23.01.2014 | | Autor: | muaz |
> > muss ich bei der aufgabe d.) den Schnittpunkt s
> ausrechnen
> > in dem ich beide Gleichungen gleichsetze?
>
> Musst du nicht, kannst du aber machen. Alterbativ würde
> ich die Ebenengleichung in die Koorinatenform bringen und
> dann die Geradengleichung einsetzen.
>
> Gruß, Diophant
Da ich nur das gleichsetzen beherrsche, versuche ich nun das für die Aufgabe d.) zu machen:
[mm] g:\vec{x}=\vektor{22 \\ -18 \\ 7}+t*\vektor{4 \\ 1 \\ 8}
[/mm]
[mm] E:\vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ 0}+r*\vektor{4 \\ -7 \\ 1}+s*\vektor{0 \\ 4 \\ -3}
[/mm]
22+4t=2+4r |-2
-18+t=1-7r+4s
7+8t=r-3s |*(-4) --> -28-32t=-4r+12s
-28-32t=-4r+12s
20+4t=4r
-----------------
-8-28t=12s |+8 |+28t |:s
s=20+28t
s=5+7t --> -18+t=1-7r+4*(5+7t) |-21 |-t
-39=7r+27t |-27t
-39-27t=7r |+39 |+27t |:r
r=46+27t
einsetzen:
-18+t=1-7*(46+27t)+4*(5+7t)
-18+t=-321-189t+20+28t |+169t |-28t |+18
170t=-283
ist das soweit richtig?
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Hallo,
>
> Da ich nur das gleichsetzen beherrsche, versuche ich nun
> das für die Aufgabe d.) zu machen:
>
> [mm]g:\vec{x}=\vektor{22 \\ -18 \\ 7}+t*\vektor{4 \\ 1 \\ 8}[/mm]
>
> [mm]E:\vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ 0}+r*\vektor{4 \\ -7 \\ 1}+s*\vektor{0 \\ 4 \\ -3}[/mm]
>
> 22+4t=2+4r |-2
> -18+t=1-7r+4s
> 7+8t=r-3s |*(-4) --> -28-32t=-4r+12s
Das eigentliche LGS ist richtig aufgestellt. Aber alles andere ist völlig falsch angenagen. Bitte schlage in deinen Unterlagen das Gauß-Verfahren bzw. das Additionsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme nach. Was bspw. niemals in einer solchen Lösung vormommen darf, ist die Multiplikation bzw. Division mit einer der Unbekannten. Genau das tust du aber u.a.. Insofern sehe ich an dieser Stelle keinerlei Sin darin, deine obige Rechnung durch Korrekturen auszubessern: sie ist von Grund auf falsch.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:47 Do 23.01.2014 | | Autor: | muaz |
> Hallo,
[mm]g:\vec{x}=\vektor{22 \\ -18 \\ 7}+t*\vektor{4 \\ 1 \\ 8}[/mm]
[mm]E:\vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ 0}+r*\vektor{4 \\ -7 \\ 1}+s*\vektor{0 \\ 4 \\ -3}[/mm]
22+4t=2+4r |-2 |:4 --> r=5+t
-18+t=1-7r+4s
7+8t=r-3s |*(-4) --> -28-32t=-4r+12s
>
> Das eigentliche LGS ist richtig aufgestellt.
-8-28t=12s |:4
-2-7t=3s |:3
[mm] s=\bruch{-2}{3}-\bruch{7t}{3}
[/mm]
einsetzen um t zu erhalten:
22+4t=2+4*(5+t) [mm] \gdw [/mm] 22+4t=22+4t [mm] \Rightarrow [/mm] t=0
ist es bis dahin richtig?
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Hallo,
> einsetzen um t zu erhalten:
> 22+4t=2+4*(5+t) [mm]\gdw[/mm] 22+4t=22+4t [mm]\Rightarrow[/mm] t=0
>
> ist es bis dahin richtig?
nein, es ist völlig falsch und völlig sinnfrei. Die richtige Interpretation der Gleichung
22+47=22+4t
wäre, dass t beliebig ist. Die ganze Gleichung ist aber für die Katz, weil du die Gleichung I in sich selbst eingesetzt hast. Das ergibt stets eine wahre Aussage und ist deshalb sinnlos.
Beginne einmal damit, deine Gleichungen zu nummerieren, auch die neu erhaltenen. Und vielleicht kannst du dich ja doch noch mit dem Additionverfahren anfreunden, denn diese Einsetzerei ist in meinen Augen etwas für Spezialfälle (also wenn man sieht, dass man damit schnell zum Ziel kommt), aber im allgemeinen ist das Additionsverfahren übersichtlicher.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:27 Do 23.01.2014 | | Autor: | muaz |
> > Hallo,
>
>
> [mm]g:\vec{x}=\vektor{22 \\ -18 \\ 7}+t*\vektor{4 \\ 1 \\ 8}[/mm]
>
> [mm]E:\vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ 0}+r*\vektor{4 \\ -7 \\ 1}+s*\vektor{0 \\ 4 \\ -3}[/mm]
>
1. 22+4t=2+4r |-2 |:4 --> r=5+t
2. -18+t=1-7r+4s
3. 7+8t=r-3s |*(-4) --> -28-32t=-4r+12s
3.-8-28t=12s |:4
-2-7t=3s |:3
[mm]s=\bruch{-2}{3}-\bruch{7t}{3}[/mm]
1.und 3. in 2. einsetzen um t zu erhalten:
2. [mm] -18+t=1-7*(5+t)+4*(\bruch{-2}{3}-\bruch{7t}{3}) \gdw -18+t=1-35-7t-\bruch{-8}{3}-\bruch{28t}{3}
[/mm]
[mm] \gdw -18+t=-34-\bruch{17t}{3} [/mm] |+18 [mm] |+\bruch{17t}{3}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 6t=-16 |:6 [mm] \Rightarrow [/mm] t=-16/6
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Hallo,
> 1. 22+4t=2+4r |-2 |:4 --> r=5+t
> 2. -18+t=1-7r+4s
> 3. 7+8t=r-3s |*(-4) --> -28-32t=-4r+12s
Zu was ist denn an dieser Stelle die Multiplikation mit -4 vorgesehen? Nicht dass das falsch wäre, aber du verwendest es nicht, also ist es unnötig.
>
> 3.-8-28t=12s |:4
> -2-7t=3s |:3
> [mm]s=\bruch{-2}{3}-\bruch{7t}{3}[/mm]
>
Wo ist da das r geblieben?
> 1.und 3. in 2. einsetzen um t zu erhalten:
> 2. [mm]-18+t=1-7*(5+t)+4*(\bruch{-2}{3}-\bruch{7t}{3}) \gdw -18+t=1-35-7t-\bruch{-8}{3}-\bruch{28t}{3}[/mm]
>
> [mm]\gdw -18+t=-34-\bruch{17t}{3}[/mm] |+18 [mm]|+\bruch{17t}{3}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] 6t=-16 |:6 [mm]\Rightarrow[/mm] t=-16/6
>
Es ist leider falsch. Und ich sehe in diesen Versuchen (die man nach wie vor nur schwer nachvollziehen kann) auch keinen Sinn für dich. Stz dich han, mach dir erst einmal klar, was du da tust und eigne dir insbesondere das Additionsverfahren an...
Ich gebe dir mal zur Kontrolle die Lösungsmenge, dann kannnst du selbst überprüfen, ob deine Bemühungen von Erfolg gekrönt sind:
[mm] \mathbb{L}=\left\{\left(\bruch{51}{13};\bruch{24}{13};-\bruch{14}{13}\right)\right\}
[/mm]
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:51 Do 23.01.2014 | | Autor: | muaz |
Ich habe doch die ganze Zeit schon das Additionsverfahren angewendet.
> > 1. 22+4t=2+4r |-2 |:4 --> r=5+t
> > 2. -18+t=1-7r+4s
> > 3. 7+8t=r-3s |*(-4) --> -28-32t=-4r+12s
>
> Zu was ist denn an dieser Stelle die Multiplikation mit -4
> vorgesehen? Nicht dass das falsch wäre, aber du verwendest
> es nicht, also ist es unnötig.
ich habe es mit -4 multipliziert um die 1. und 3. Gleichung zu addieren:
1. 22+4t=2+4r
3. -28-32t=-4r+12s
----------------------------
-8-28t=12s |:4
> Wo ist da das r geblieben?
Ist weggefallen!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:56 Do 23.01.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> > Wo ist da das r geblieben?
> Ist weggefallen!
Das ist doch jetzt wirklich sinnlos. Ich habe dir die richtige Lösung gegeben und auf einige Fehler aufmerksam gemacht, insbesondere auf die Tatsache, dass du dir besser ein anderes Rechenverfahren aneignen solltest.
Weshalb ignorierst du das alles hartnäckig?
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:00 Do 23.01.2014 | | Autor: | muaz |
Das Additionsverfahren! Das habe ich doch aber die ganze Zeit angewendet.
Ich habe es nicht ignoriert, sondern übersehen als ich bereits die Rechenoperationen gepostet hatte.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:59 Do 23.01.2014 | | Autor: | muaz |
Ich weiss nicht wie ich zu dieser Lösung kommen soll, wenn ich dauernd falsch Versuche starte.. Ich muss erst meinen Fehler wissen.
Trotzdem Danke
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:44 Do 23.01.2014 | | Autor: | muaz |
> > > Hallo,
> >
> >
> > [mm]g:\vec{x}=\vektor{22 \\ -18 \\ 7}+t*\vektor{4 \\ 1 \\ 8}[/mm]
>
> >
> > [mm]E:\vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ 0}+r*\vektor{4 \\ -7 \\ 1}+s*\vektor{0 \\ 4 \\ -3}[/mm]
>
> >
> 1. 22+4t=2+4r |-2 |:4 --> r=5+t
> 2. -18+t=1-7r+4s
> 3. 7+8t=r-3s |*(-4) --> -28-32t=-4r+12s
>
> 3.-8-28t=12s |:4
> -2-7t=3s |:3
> [mm]s=\bruch{-2}{3}-\bruch{7t}{3}[/mm]
>
> 1.und 3. in 2. einsetzen um t zu erhalten:
> 2. [mm]-18+t=1-7*(5+t)+4*(\bruch{-2}{3}-\bruch{7t}{3}) \gdw -18+t=1-35-7t-\bruch{-8}{3}-\bruch{28t}{3}[/mm]
>
> [mm]\gdw -18+t=-34-\bruch{17t}{3}[/mm] |+18 [mm]|+\bruch{17t}{3}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] 6t=-16 |:6 [mm]\Rightarrow[/mm] t=-16/6
>
>
t einsetzen für s und r:
[mm] s=\bruch{-2}{3}-\bruch{7t}{3} \Rightarrow s=\bruch{-2}{3}-(\bruch{7}{3}*-\bruch{16}{6})
[/mm]
[mm] \Rightarrow s=-6\bruch{8}{9}
[/mm]
r=5+t [mm] \Rightarrow r=3\bruch{2}{9}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:52 Do 23.01.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
ich hgabe dir doch die Lösungen gegeben. Es macht also keinen Sinn, jetzt weiterhin falsche Lösungsversuche zu posten. Du kannst deine Resultate an Hand der gegebenen Lösung überprüfen.
Gruß, Diophant
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Hallo,
daß Deine Rechnung für die Tonne ist, weißt Du schon.
Ich möchte mal ein Detail herausgreifen, an dem ich Dir zeigen kann, was schiefläuft.
Du rechnest
> -39-27t=7r |+39 |+27t |:r
> r=46+27t
Jetzt tue ich mal Schritt für Schritt das, was Du dort oben meinst zu tun:
ich addiere 39, addiere 27t und dividiere durch r:
[mm] -39-27t=7r\qquad [/mm] |+39
<==>
-39 -27t+39=7r+39
<==>
-27t=7r+39 [mm] \qquad [/mm] |-27t
<==>
-27t+27t=7r+39+27t
<==>
0=7r+39+27t [mm] \qquad [/mm] |:r [mm] \quad ("=*\bruch{1}{r}") [/mm] für [mm] r\not=0
[/mm]
<==>
[mm] 0*\bruch{1}{r}=(7r+39+27t)*\bruch{1}{r}
[/mm]
<==>
[mm] 0=7+\bruch{39}{r}+\bruch{27t}{r}.
[/mm]
Du siehst: dieses Manöver ist nicht sehr erfolgversprechend...
Und da Du durch r dividiert hast für [mm] r\not=0, [/mm] müßtest Du auch noch untersuchen, was sich für r=0 ergibt.
Alles Kokolores.
Ich zeige Dir jetzt, wie Du die Gleichung richtig nach r auflöst:
-39-27t=7r [mm] \qquad [/mm] |:7
<==>
[mm] \bruch{-39}{7}-\bruch{27}{7}t=r
[/mm]
Das Lösen von linearen Gleichungssystemen mit drei Gleichungen und drei Variablen wird Dir so gelingen:
1. Gleichung nach der 1.Variablen auflösen.
Das Ergebnis, z.B. r=3t+4s in die beiden anderen Gleichungen bei r einsetzen.
Du hast dann zwei Gleichungen, die nur s und t enthalten.
Eine Gleichung nach s auflösen, dieses s in die andere einsetzen.
Du behältst eine Gleichung, die nur t enthält.
Gleichung lösen. Dein t, etwa t=5, setzt Du dann in den zuvor gewonnenen Ausdruck für s ein, hast damit Dein s als Zahl,
und mit s und t gehst Du dann in das anfangs freigestellte r.
Versuch's mal.
Man muß dies oft üben, dann geht es immer leichter von der Hand.
LG Angela
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Hallo,
wir machen das jetzt mal zusammen,
und zwar auf die Weise, die ich vorgeschlagen habe: eine Variable nach der anderen wird herausgeworfen.
Zu bestimmen ist der Schnittpunkt von
> [mm]g:\vec{x}=\vektor{22 \\ -18 \\ 7}+t*\vektor{4 \\ 1 \\ 8}[/mm]
>
> [mm]E:\vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ 0}+r*\vektor{4 \\ -7 \\ 1}+s*\vektor{0 \\ 4 \\ -3}[/mm].
Gleichsetzen liefert das LGS
I. 22+4t=2+4r
II. -18+ t=1-7r+4s
III. 7+8t=r-3s
Beachte zunächst, daß ich die drei Gleichungen numeriert habe.
Dies ist ein wichtiger "Trick", denn so verliert man nicht so schnell die Übersicht und die Nerven.
A.
In der Gleichung I. wird r freigestellt:
I. 22+4t=2+4r [mm] \qquad [/mm] |-2
[mm] 20+4t=4r\qquad [/mm] |:4
[mm] \green{5+t=r}
[/mm]
B.
r=5+t einsetzen in II. und III.
r=5+t in II. -18+ t=1-7r+4s ergibt
-18+ t=1-7(5+t)+4s
-18+t=-34-7t+4s
-4s+8t=-16.
r=5+t in III. 7+8t=r-3s ergbit
7+8t=(5+t)-3s
7+8t=5+t-3s
3s+7t=-2
Wir haben jetzt also zwei Gleichungen, die nur noch von s und t abhängen:
II'. -4s+8t=-16.
III'. 3s+7t=-2
B. In Gleichung II'. wird s freigestellt:
-4s+8t=-16 [mm] \qquad| [/mm] -8t
-4s=-16-8t [mm] \qquad| [/mm] :(-4)
[mm] \green{s= 4+2t}
[/mm]
Einsetzen von s=4+2t in III'. 3s+7t=-2 liefert
3(4+2t)+7t=-2
12+6t+7t=-2
12+13t=-2
13t=-14
[mm] \red{t=\bruch{-14}{13}}
[/mm]
dieses t setzen wir nun in das freigestellte s=4+2t ein und bekommen
[mm] \red{s=}4+\bruch{-28}{13}=\red{\bruch{24}{13}}
[/mm]
und jetzt stecken wir [mm] s=\bruch{24}{13} [/mm] und [mm] t=\bruch{-14}{13}
[/mm]
ins oben freigestellte r=5+t und bekommen
[mm] \red{r=}5+\bruch{-14}{13}=\red{\bruch{51}{13}}
[/mm]
Damit lautet der Ortsvektor des Schnittpunktes
[mm] \vec{x}=\vektor{22 \\ -18 \\ 7}+\bruch{51}{13}*\vektor{4 \\ 1 \\ 8}= [/mm] ...,
und Kontrolle mit s und t in der Ebenengleichung sollte dasselbe ergeben.
Arbeite dies mit Stift und Papier durch.
Versuche danach, die Gleichung allein zu lösen.
Damit Du Dich nicht selbst beschummelst, beginne damit, die erste Gleichung nach t aufzulösen. Dann geht alles so ähnlich, aber doch nicht so, daß Du Dich einfach an Zahlen erinnern kannst.
LG Angela
|
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Do 23.01.2014 | | Autor: | muaz |
> Hallo,
>
> wir machen das jetzt mal zusammen,
> und zwar auf die Weise, die ich vorgeschlagen habe: eine
> Variable nach der anderen wird herausgeworfen.
>
> Zu bestimmen ist der Schnittpunkt von
> > [mm]g:\vec{x}=\vektor{22 \\ -18 \\ 7}+t*\vektor{4 \\ 1 \\ 8}[/mm]
>
> >
> > [mm]E:\vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ 0}+r*\vektor{4 \\ -7 \\ 1}+s*\vektor{0 \\ 4 \\ -3}[/mm].
>
> Gleichsetzen liefert das LGS
>
> I. 22+4t=2+4r
> II. -18+ t=1-7r+4s
> III. 7+8t=r-3s
>
> Beachte zunächst, daß ich die drei Gleichungen numeriert
> habe.
> Dies ist ein wichtiger "Trick", denn so verliert man
> nicht so schnell die Übersicht und die Nerven.
>
> A.
> In der Gleichung I. wird r freigestellt:
>
> I. 22+4t=2+4r [mm]\qquad[/mm] |-2
> [mm]20+4t=4r\qquad[/mm] |:4
> [mm]\green{5+t=r}[/mm]
>
> B.
> r=5+t einsetzen in II. und III.
>
> r=5+t in II. -18+ t=1-7r+4s ergibt
>
> -18+ t=1-7(5+t)+4s
> -18+t=-34-7t+4s
> -4s+8t=-16.
>
> r=5+t in III. 7+8t=r-3s ergbit
>
> 7+8t=(5+t)-3s
> 7+8t=5+t-3s
> 3s+7t=-2
>
> Wir haben jetzt also zwei Gleichungen, die nur noch von s
> und t abhängen:
>
> II'. -4s+8t=-16.
> III'. 3s+7t=-2
>
>
> B. In Gleichung II'. wird s freigestellt:
>
> -4s+8t=-16 [mm]\qquad|[/mm] -8t
> -4s=-16-8t [mm]\qquad|[/mm] :(-4)
> [mm]\green{s= 4+2t}[/mm]
>
> Einsetzen von s=4+2t in III'. 3s+7t=-2 liefert
>
> 3(4+2t)+7t=-2
> 12+6t+7t=-2
> 12+13t=-2
> 13t=-14
> [mm]\red{t=\bruch{-14}{13}}[/mm]
>
> dieses t setzen wir nun in das freigestellte s=4+8t ein
müsste es nicht s=4+ 2t heissen? und
> bekommen
> [mm]\red{s=}4+\bruch{-28}{13}=\red{\bruch{24}{13}}[/mm]
>
> und jetzt stecken wir [mm]s=\bruch{24}{13}[/mm] und
> [mm]t=\bruch{-14}{13}[/mm]
> ins oben freigestellte r=5+t und bekommen
> [mm]\red{r=}5+\bruch{-14}{13}=\red{\bruch{51}{13}}[/mm]
>
> Damit lautet der Ortsvektor des Schnittpunktes
>
> [mm]\vec{x}=\vektor{22 \\ -18 \\ 7}+\bruch{51}{13}*\vektor{4 \\ 1 \\ 8}=[/mm]
> ...,
>
> und Kontrolle mit s und t in der Ebenengleichung sollte
> dasselbe ergeben.
>
>
> Arbeite dies mit Stift und Papier durch.
>
> Versuche danach, die Gleichung allein zu lösen.
> Damit Du Dich nicht selbst beschummelst, beginne damit,
> die erste Gleichung nach t aufzulösen. Dann geht alles so
> ähnlich, aber doch nicht so, daß Du Dich einfach an
> Zahlen erinnern kannst.
>
> LG Angela
>
>
>
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 Do 23.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> > Hallo,
> >
> > wir machen das jetzt mal zusammen,
> > und zwar auf die Weise, die ich vorgeschlagen habe:
> eine
> > Variable nach der anderen wird herausgeworfen.
> >
> > Zu bestimmen ist der Schnittpunkt von
> > > [mm]g:\vec{x}=\vektor{22 \\ -18 \\ 7}+t*\vektor{4 \\ 1 \\ 8}[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]E:\vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ 0}+r*\vektor{4 \\ -7 \\ 1}+s*\vektor{0 \\ 4 \\ -3}[/mm].
>
> >
> > Gleichsetzen liefert das LGS
> >
> > I. 22+4t=2+4r
> > II. -18+ t=1-7r+4s
> > III. 7+8t=r-3s
> >
> > Beachte zunächst, daß ich die drei Gleichungen numeriert
> > habe.
> > Dies ist ein wichtiger "Trick", denn so verliert man
> > nicht so schnell die Übersicht und die Nerven.
> >
> > A.
> > In der Gleichung I. wird r freigestellt:
> >
> > I. 22+4t=2+4r [mm]\qquad[/mm] |-2
> > [mm]20+4t=4r\qquad[/mm] |:4
> > [mm]\green{5+t=r}[/mm]
> >
> > B.
> > r=5+t einsetzen in II. und III.
> >
> > r=5+t in II. -18+ t=1-7r+4s ergibt
> >
> > -18+ t=1-7(5+t)+4s
> > -18+t=-34-7t+4s
> > -4s+8t=-16.
> >
> > r=5+t in III. 7+8t=r-3s ergbit
> >
> > 7+8t=(5+t)-3s
> > 7+8t=5+t-3s
> > 3s+7t=-2
> >
> > Wir haben jetzt also zwei Gleichungen, die nur noch von s
> > und t abhängen:
> >
> > II'. -4s+8t=-16.
> > III'. 3s+7t=-2
> >
> >
> > B. In Gleichung II'. wird s freigestellt:
> >
> > -4s+8t=-16 [mm]\qquad|[/mm] -8t
> > -4s=-16-8t [mm]\qquad|[/mm] :(-4)
> > [mm]\green{s= 4+2t}[/mm]
> >
> > Einsetzen von s=4+2t in III'. 3s+7t=-2 liefert
> >
> > 3(4+2t)+7t=-2
> > 12+6t+7t=-2
> > 12+13t=-2
> > 13t=-14
> > [mm]\red{t=\bruch{-14}{13}}[/mm]
> >
> > dieses t setzen wir nun in das freigestellte s=4+8t ein
> müsste es nicht s=4+ 2t heissen?
Ja, ist es auch!
Wir setzen [mm] $t=-\bruch{14}{13}$ [/mm] in $s$ ein!
Dann gilt:
[mm] s=4+2*t=4+2*(-\bruch{14}{13})=4-\bruch{28}{13}=\frac{52}{13}-\frac{28}{13}=\frac{52-28}{13}=\frac{24}{13}
[/mm]
> > und
> > bekommen
> > [mm]\red{s=}4+\bruch{-28}{13}=\red{\bruch{24}{13}}[/mm]
> >
> > und jetzt stecken wir [mm]s=\bruch{24}{13}[/mm] und
> > [mm]t=\bruch{-14}{13}[/mm]
> > ins oben freigestellte r=5+t und bekommen
> > [mm]\red{r=}5+\bruch{-14}{13}=\red{\bruch{51}{13}}[/mm]
> >
> > Damit lautet der Ortsvektor des Schnittpunktes
> >
> > [mm]\vec{x}=\vektor{22 \\ -18 \\ 7}+\bruch{51}{13}*\vektor{4 \\ 1 \\ 8}=[/mm]
> > ...,
> >
> > und Kontrolle mit s und t in der Ebenengleichung sollte
> > dasselbe ergeben.
> >
> >
> > Arbeite dies mit Stift und Papier durch.
> >
> > Versuche danach, die Gleichung allein zu lösen.
> > Damit Du Dich nicht selbst beschummelst, beginne damit,
> > die erste Gleichung nach t aufzulösen. Dann geht alles so
> > ähnlich, aber doch nicht so, daß Du Dich einfach an
> > Zahlen erinnern kannst.
> >
> > LG Angela
> >
> >
> >
> >
>
DieAcht
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> > [mm]\green{s= 4+2t}[/mm]
[...]
> > dieses t setzen wir nun in das freigestellte s=4+8t ein
> müsste es nicht s=4+ 2t heissen? und
> > bekommen
> > [mm]\red{s=}4+\bruch{-28}{13}=\red{\bruch{24}{13}}[/mm]
Hallo,
ja, natürlich.
Das war eine Unaufmerksamkeit von mir.
LG Angela
> >
> > und jetzt stecken wir [mm]s=\bruch{24}{13}[/mm] und
> > [mm]t=\bruch{-14}{13}[/mm]
> > ins oben freigestellte r=5+t und bekommen
> > [mm]\red{r=}5+\bruch{-14}{13}=\red{\bruch{51}{13}}[/mm]
> >
> > Damit lautet der Ortsvektor des Schnittpunktes
> >
> > [mm]\vec{x}=\vektor{22 \\ -18 \\ 7}+\bruch{51}{13}*\vektor{4 \\ 1 \\ 8}=[/mm]
> > ...,
> >
> > und Kontrolle mit s und t in der Ebenengleichung sollte
> > dasselbe ergeben.
> >
> >
> > Arbeite dies mit Stift und Papier durch.
> >
> > Versuche danach, die Gleichung allein zu lösen.
> > Damit Du Dich nicht selbst beschummelst, beginne damit,
> > die erste Gleichung nach t aufzulösen. Dann geht alles so
> > ähnlich, aber doch nicht so, daß Du Dich einfach an
> > Zahlen erinnern kannst.
> >
> > LG Angela
> >
> >
> >
> >
>
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