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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:41 Mo 25.07.2011 | | Autor: | leonie86 |
| Aufgabe | Ein Massenartikel entspricht mit Wahrscheinlichkeit p nicht den Qualitätsanforderungen. Die Zufallsgröße X beschreibe die Anzahl der bei einer Qualitätsprüfung untersuchten Artikel vor dem Fund des ersten Ausschußteuls.
a) Welche Verteilung hat X?
b) Bestimme MM- Schätzer p* und den ML- Schätzer p für den unbekannten Parameter p bei einer gegebenen Stichprobe X1,....,Xn. |
Hallo, könnte mir bei dieser Aufgabe jemand weiter helfen? Ich stecke irgendwie fest und weiß nicht weiter.
Also zu a) gehe ich von einer geometrischen Verteilung aus.
zu b) den MM- Schätzer habe ich wie folgt ermittelt:
Ex= [mm] \bruch{1}{p} [/mm] --> [mm] p=\bruch{1}{Ex+1}
[/mm]
Bei dem MLM-Schätzer komme ich jetzt jedoch nicht weiter:
L(p)= [mm] \produkt_{i=1}^{n}(1-p)^{n}*p
[/mm]
dann in die ln Funktion umgewandelt:
ln (p)= [mm] \summe_{i=1}^{n}ln((1-p)^{n}*p) [/mm]
[mm] =\summe_{i=1}^{n}n*ln((1-p)+lnp
[/mm]
stimmt das bis dahin? und wie geht es weiter, um die Funktion zu maximieren?
Wäre toll, wenn mir da jemand helfen könnte!
Vielen Dank, leonie
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:00 Mo 25.07.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
a.) Richtig.
b.) Solltest etwas bei der Notation aufpassen:
1.) L(p) = [mm] \produkt_{i=1}^{n}(1-p)^{X_{i}}\cdot{}p
[/mm]
2.) Dann logarithmieren, genau.
3.) Nach p ableiten! Du willst ja wissen für welches p, L(p) maximal wird.
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:32 Mo 25.07.2011 | | Autor: | leonie86 |
Danke für die schnelle Antwort! Genau da hakts leider bei mir gerade.
[mm] \bruch{\partial}{\partial p}=0=xi*\bruch{1}{1-p}+xi*\bruch{1}{p}
[/mm]
das stimmt ja hinten und vorne nicht. Wo muss ich denn hier welche Rechenregel anwenden, ich bin mir nicht sicher, wie das mit der Summe und und dem xi funktioniert!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:38 Mo 25.07.2011 | | Autor: | luis52 |
> Danke für die schnelle Antwort! Genau da hakts leider bei
> mir gerade.
Schreibe
$L(p) = [mm] \produkt_{i=1}^{n}(1-p)^{X_{i}}\cdot{}p=(1-p)^{\sum X_i}p^n [/mm] $ und folge den weiteren Instruktionen von qsxqsx.
vg :uis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:35 Mo 25.07.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin Leonie
> zu b) den MM- Schätzer habe ich wie folgt ermittelt:
> Ex= [mm]\bruch{1}{p}[/mm] --> [mm]p=\bruch{1}{Ex+1}[/mm]
Das ergibt keinen Sinn. Wo geht denn hier die Stichprobe [mm] $X_1,\dots,X_n$
[/mm]
ein? Besser:
[mm] $\bar X=\frac{1}{p}\Rightarrow\dots$ [/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:51 Mo 25.07.2011 | | Autor: | leonie86 |
ok, wenn ich dann logarithmiere:
l (p)= [mm] \summe_{i=1}^{n}xi*ln(1-p)+ln(p^{n})
[/mm]
diese will ich nach p ableiten und maximieren:
[mm] o=\bruch{\partial}{\partialp}l(p)=-\bruch{1}{1-p}*\summe_{i=1}^{n}xi [/mm] + [mm] \bruch{1}{p}*n
[/mm]
sieht das soweit in Ordnung aus?? dann:
[mm] \bruch{1}{1-p}*\summe_{}^{}xi=\bruch{1}{p}*n
[/mm]
p= [mm] \bruch{n}{\summe_{}^{}xi+1}
[/mm]
Vielen Dank schonmal für die Hilfe!
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Hallo Leonie,
> ok, wenn ich dann logarithmiere:
>
> l (p)= [mm]\summe_{i=1}^{n}xi*ln(1-p)+ln(p^{n})[/mm]
Setze besser mal Klammern oder schreibe das [mm]\log(1-p)[/mm] vor!
[mm]\log(L(p))=\log((1-p))\cdot{}\left[ \ \sum\limits_{i=1}^{n}X_i \ \right] \ + \ n\cdot{}\log(p)[/mm]
>
> diese will ich nach p ableiten und maximieren:
>
> [mm]o=\bruch{\partial}{\partialp}l(p)=-\bruch{1}{1-p}*\summe_{i=1}^{n}xi[/mm] + [mm]\bruch{1}{p}*n[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> sieht das soweit in Ordnung aus??
Ja!
> dann:
> [mm]\bruch{1}{1-p}*\summe_{}^{}xi=\bruch{1}{p}*n[/mm]
>
> p= [mm]\bruch{n}{\summe_{}^{}xi+1}[/mm] ()
Wenn du es so meinst: [mm]p=\frac{n}{\sum\limits_{i=1}^n\red{(}X_i+1\red{)}}[/mm]
Dann noch die Probe, ob dieses mögliche Extremum auch tatsächlich eines ist ...
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> Vielen Dank schonmal für die Hilfe!
>
>
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:05 Di 26.07.2011 | | Autor: | leonie86 |
Alles klar, vielen Dank für die Hilfe!
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