LimSup/LimInf < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich muss mir für eine Aufgabe etwas zu dem Thema überlegen. Nun wollte ich nur nochmal nachprüfen, ob ich die Definition überhaupt verstanden habe:
Sei [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] eine Folge. Dann ist das Supremum die kleinste obere Schranke. Nun ist dann LimInf das Supremum der Menge von Werten x für die die Menge der Werte y endlich ist und alle Folgenglieder ab [mm] (a_{y}) [/mm] echt kleiner als x bleiben!
Ist das so richtig?
Was mich dann aber verwirrt ist die Lösung einer Aufgabe: Dort heißt es, dass es eine Folge gibt, deren LimInf zwar größer als [mm] -\infty [/mm] ist, aber unter dem LimInf noch ein Inf der Folge existiert. Kann es denn sein, dass die Glieder der Folge unter einem LimInf nicht unendlich sind?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:37 Sa 22.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
[Edit]
ACHTUNG: hier steht Unsinn !! (habe limes superior mit Supremum verwechselt - sorry !!)
[/EDIT]
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:50 Sa 22.01.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo DaMenge und wurzelquadrat,
> Also (lim sup)=Supremum=:S=die kleinste obere Schranke,
Mit [mm] $\limsup$ [/mm] ist doch der größte Häufungspunkt einer Menge gemeint (falls er existiert), also das Supremum der Menge der Häufungspunkte einer Folge.
Siehe  liminf.
Viele Grüße,
Marc
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Gut, dann ist das ja schon mal richtig. Ich habe für LimInf folgende Definition:
[mm] LimInf(a_{n}) [/mm] := sup {x [mm] \in\IR [/mm] | {y [mm] \in\IN [/mm] | [mm] a_{y} [/mm] < x} endlich}
Irgendwie mag der die Formel nicht! Naja egal. Also ich versteh darunter, dass eben der LimInf die kleinste obere Schranke der Menge aller x ist, für die alle Folgenglieder ab einem y endlich werden. D.h. der LimInf von [mm] (a_{n})=\bruch{1}{n} [/mm] wäre damit 0?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:17 So 23.01.2005 | | Autor: | taura |
> Gut, dann ist das ja schon mal richtig. Ich habe für LimInf
> folgende Definition:
>
> [mm]LimInf(a_{n}) := sup \{x \in\IR| \{y \in\IN | a_{y} < x\} endlich\}[/mm]
Es gibt noch eine andere, wie ich finde, etwas anschaulichere Definition von limsup und liminf:
Sei [mm]a_n[/mm] eine Folge und [mm]b_n[/mm] wie folgt definiert:
[mm]b_n=sup\{a_k|k \ge n\}[/mm] Dann gilt: [mm]limsup \; a_n=\limes_{n\rightarrow\infty}b_n[/mm]
Für liminf gilt analoges, nur dass in der Definition der [mm]b_n[/mm] das Infimum statt des Supremums steht.
Versuch dir also mal vorzustellen, wie die Folge deiner [mm]b_n[/mm] aussieht, dann kannst du dir vielleicht auch vorstellen, wie der limsup bzw. liminf aussehen.
Hoffe, das hilft dir weiter.
> Irgendwie mag der die Formel nicht! Naja egal. Also ich
> versteh darunter, dass eben der LimInf die kleinste obere
> Schranke der Menge aller x ist, für die alle Folgenglieder
> ab einem y endlich werden. D.h. der LimInf von
> [mm](a_{n})=\bruch{1}{n}[/mm] wäre damit 0?
>
Das ist richtig, kannst du dir auch so überlegen, dass ja
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}=0[/mm] und wenn der Limes existiert, sind limsup und liminf immer gleich dem Limes.
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