Lim sup < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:49 Mo 06.05.2013 | | Autor: | Kueken |
Hallo,
ich habe ein kleines Anschauungsproblem. Und zwar der folgende Lim sup. Was bedeutet der? Ich habs versucht mir aufzumalen, aber dabei nur gemerkt, dass ich keine Ahnung habe, was die eigentliche Bedeutung ist.
[mm] u^{*}(x)= [/mm] lim [mm] sup_{r\to 0 (von oben)} [/mm] {u(y)| |y-x| [mm] \le [/mm] r}
Mich bringt vor allem das y durcheinander.
Vielen Dank und viele Grüße
Kerstin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:22 Mo 06.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> ich habe ein kleines Anschauungsproblem. Und zwar der
> folgende Lim sup. Was bedeutet der? Ich habs versucht mir
> aufzumalen, aber dabei nur gemerkt, dass ich keine Ahnung
> habe, was die eigentliche Bedeutung ist.
> [mm] u^{*}(x)=lim sup\{r\to 0 (von oben)} [/mm] {u(y)| |y-x| [mm] \le r\}
[/mm]
> Mich bringt vor allem das y durcheinander.
ich schätze, da steht halt nicht [mm] $\limsup\,$ [/mm] sondern der [mm] $\lim_{r \downarrow 0}\;\;\;\;\sup\{u(y):\;\;|y-x| \le r\}\,.$
[/mm]
D.h. für jedes $r [mm] \ge [/mm] 0$ hast Du die Menge aller Werte [mm] $u(y)\,,$ [/mm] für die $|y-x| [mm] \le [/mm] r$ gilt.
Das Supremum davon ist halt [mm] $\in (-\infty,\infty]$:
[/mm]
[mm] $$\sup\{u(y):\;\;|y-x| \le r\} \in (-\infty,\infty]\,.$$
[/mm]
(Denn wenn die Menge nach dem sup nach oben beschränkt ist, ist es [mm] $\in (-\infty,\infty)\,,$
[/mm]
ist die Menge nach oben unbeschränkt, dann ist das Supremum halt [mm] $\infty\,.$)
[/mm]
Und jetzt läßt Du $r [mm] \downarrow [/mm] 0$ laufen...
[mm] ($\lim_{r \downarrow 0}...$ [/mm] steht etwa für sowas: Für jede (streng) monoton fallende
Nullfolge [mm] ${(r_n)}_n$ [/mm] gilt...)
Sollte ich mich irren, so stelle vielleicht mal den ganzen Zusammenhang
dar, wo das auftaucht! (Dann müssten wir gucken, ob das vielleicht zu
der Definition des Limsup bei Mengen passt: ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Limes_superior_und_Limes_inferior#Limes_superior_und_Limes_inferior
bzw. vielleicht sogar eher hierhin: http://de.wikipedia.org/wiki/Limes_superior_und_Limes_inferior#Verallgemeinerung!)
P.S. Und wenn das y Dich durcheinanderbringt, dann schreibe halt etwa ein
[mm] $t\,$ [/mm] dafür, damit es in etwas gewohnterer Notation da steht:
[mm] $$...\sup\{u(t):\;\;|t-x| \le r\}$$
[/mm]
Ich verstehe immer noch nicht, warum sich jeder an Variablennamen stört.
Demnächst schreibe ich nur aus Trotz:
Sei $f [mm] \colon \IR \to \IR$ [/mm] definiert durch [mm] $f\,$( [/mm]  [mm] )$:=\,($ [/mm] [mm] $)^2=$ [/mm] [mm] $*\,$ [/mm] ...
Gruß,
Marcel
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:45 Di 07.05.2013 | | Autor: | Kueken |
Hi!
Danke dir für deine Antwort,
das Problem ergibt sich bei mir nicht durch den Variablennamen, sondern wirklich der Zusammenhang.
Ich schreibe gerade an einem Vortrag über lösungen von Hamilton-Jacobi-Gleichungen (also nichtlineare PDGl erster Ordnung) und deren Lösung mit der Perron-Methode.
Gerade bin ich dabei mich selbst erfolgreich zu verwirren ;)
Das Problem ist, dass hier eine Definition der oberhalb stetigen Hülle und der unterhalb stetigen Hülle von einer Viskositätslösung steht. Danach kommt der Satz, dass diese Definition (oberhalb stetige Hülle ist das Infimum der stetigen Funktionen für die gilt, dass sie im Definitionsbereich meiner Viskositätslösung u(x) größer gleich u(x) ist; unterhalb stetige Hülle analog, also supremum und kleinergleich) eine äquivalente Deinition darstellt und das was du dann so schön umgeschrieben hast (sorry hab die Zeichen nicht gleich gefunden) kommt daraufhin. Jetzt wurde aber y nirgends definiert und ich kann mir anschaulich auch nicht klar machen wieso dieser Satz eine äquivalente Definition der oberhalb stetigen Hülle darstellt.
Also was ich mir jetzt aus deinen Erklärungen rausgezogen habe (vielleicht macht das jetzt im Kontext mehr Sinn). Der lim sup ist hier nicht der limes superior, sondern einfach nur der limes über das supremum, das von r abhängig ist und deswegen bildet das Supremum eine Folge. Richtig?
Die oberhalb stetige Hülle einer Viskositätslösung ist zunächst einmal der lim mit r gegen 0 über das Supremum der Bildwerte der Lösung unter der Bedingung, dass das Urbild nicht weiter als r von der Variable der oberhalb stetigen Hülle entfernt ist. Wenn jetzt r gegen null läuft, dann werden meine Bildwerte (es ist handelt sich ja um stetige Funktionen) auch konvergieren. Aber wenn ich jetzt den größten Bildwert nehme, dann würde das ja bedeuten, dass meine Hülle möglichst weit um meine eigentliche Lösung liegt. Oder nicht?
Wenn das so ist, dann hätte ich ein Erwartungsproblem gehabt. Ich dachte meine Hülle muss möglichst dicht an der Lösung sein.
Ich hoffe du kannst was damit anfangen... Es gibt leider nicht so viele, die ich bezüglich dieses Themas fragen könnte :)
Vielen Dank für deine Mühe
Grüße
Kerstin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:22 Di 07.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Kerstin,
ich habe gerade zu wenig Zeit, und ich kenne mich auch mit dem, was Du
da gerade machst, aus dem Stehgreif nicht aus, aber:
> ...
> Gerade bin ich dabei mich selbst erfolgreich zu verwirren
> ;)
Sowas kann ich auch gut. Wenn Du jetzt noch andere überzeugend
mitverwirren kannst, hast Du gewonnen. ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]") Aber Spaß beiseite:
> Das Problem ist, dass hier eine Definition der oberhalb
> stetigen Hülle und der unterhalb stetigen Hülle von einer
> Viskositätslösung steht. Danach kommt der Satz, dass
> diese Definition (oberhalb stetige Hülle ist das Infimum
> der stetigen Funktionen für die gilt, dass sie im
> Definitionsbereich meiner Viskositätslösung u(x) größer
> gleich u(x) ist; unterhalb stetige Hülle analog, also
> supremum und kleinergleich) eine äquivalente Deinition
> darstellt und das was du dann so schön umgeschrieben hast
> (sorry hab die Zeichen nicht gleich gefunden) kommt
> daraufhin. Jetzt wurde aber y nirgends definiert und ich
> kann mir anschaulich auch nicht klar machen wieso dieser
> Satz eine äquivalente Definition der oberhalb stetigen
> Hülle darstellt.
Warum brauchst Du in der Notation [mm] $\{u(y):\;\;|y-x| \le r\}$ [/mm] eine Definition für [mm] $y\,$? [/mm]
Oder was meinst Du? Es sollte doch nur [mm] $y\,$ [/mm] im Definitionsbereich von [mm] $u\,$ [/mm] liegen...
> Also was ich mir jetzt aus deinen Erklärungen rausgezogen
> habe (vielleicht macht das jetzt im Kontext mehr Sinn). Der
> lim sup ist hier nicht der limes superior, sondern einfach
> nur der limes über das supremum, das von r abhängig ist
> und deswegen bildet das Supremum eine Folge. Richtig?
Es ist halt die Frage, ob bei Dir wirklich [mm] $\limsup_{r \downarrow 0}...$ [/mm] (Code:$\limsup_{r \downarrow 0}$
oder [mm] $\lim_{r \downarrow 0}\;\;\sup...$ [/mm] steht bzw. gemeint ist. In ersterem Falle müßte ich mir erstmal
Gedanken über den Sinn davon machen, aber dazu habe ich auch schon
auf Wiki verwiesen, so dass Du selbst auch mal gucken kannst, ob das in
dem Zusammenhang passt. In letzterem Falle kannst Du das so
interpretieren - mir scheint, dass Dir das nicht klar ist:
Falls also [mm] $\lim_{r \downarrow 0}\;\;\;\sup\{u(y):\;\;|y-x| \le r\}$ [/mm] gemeint ist, so betrachte die Funktion
[mm] $h_x(r):=h(r):=\sup\{u(y):\;\;|y-x| \le r\},$
[/mm]
sicher ist stets $h(r) [mm] \in (-\infty,\infty]\,.$
[/mm]
Dann ist [mm] $\lim_{r \downarrow 0}\;\;\;\sup\{u(y):\;\;|y-x| \le r\}$ [/mm] der rechtsseitige Grenzwert von [mm] $h\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $0\,:$
[/mm]
[mm] $\lim_{r \downarrow 0}\;\;\;\sup\{u(y):\;\;|y-x| \le r\}=\lim_{r \downarrow 0}h(r)\,.$
[/mm]
Und das, was ich mit "den Folgen" meinte, ist was, das mit Definition 10.4
zusammenhängt. (Wobei ich der Meinung bin, dass man im Skript besser
erstmal eine [mm] $\varepsilon-\delta-x^{(0)}$-Definition [/mm] hätte hinschreiben sollen. Aber
diese Definitionen sind dann einander äquivalent!)
So, vielleicht kann ja jemand anderes mehr mit Deiner Frage anfangen, ich
stelle sie mal auf halb beantwortet...
Gruß,
Marcel
> Die oberhalb stetige Hülle einer Viskositätslösung ist
> zunächst einmal der lim mit r gegen 0 über das Supremum
> der Bildwerte der Lösung unter der Bedingung, dass das
> Urbild nicht weiter als r von der Variable der oberhalb
> stetigen Hülle entfernt ist. Wenn jetzt r gegen null
> läuft, dann werden meine Bildwerte (es ist handelt sich ja
> um stetige Funktionen) auch konvergieren. Aber wenn ich
> jetzt den größten Bildwert nehme, dann würde das ja
> bedeuten, dass meine Hülle möglichst weit um meine
> eigentliche Lösung liegt. Oder nicht?
> Wenn das so ist, dann hätte ich ein Erwartungsproblem
> gehabt. Ich dachte meine Hülle muss möglichst dicht an
> der Lösung sein.
>
>
> Ich hoffe du kannst was damit anfangen... Es gibt leider
> nicht so viele, die ich bezüglich dieses Themas fragen
> könnte :)
>
> Vielen Dank für deine Mühe
> Grüße
> Kerstin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:32 Di 07.05.2013 | | Autor: | Kueken |
Hi!
Danke abermals :)
Ja, das mit dem helfen ist eine schwierige Sache... das Paper auf das ich mich beziehe ist grad mal 3 Jahre alt oder so. Und da das Grundthema ja schon ziemlich speziell ist... Ein Prof ist schon an meinen Fragen gescheitert, dessen Spezialgebiet gerade die partiellen DGLn sind.
Das was du da geschrieben hast, also der zweite Fall, war auch das Problem. Da hab ich im Kopf was vermurkst. Wahrscheinlich weil mir diese Schreibweise noch nie vorher über den Weg gelaufen ist.
Vielen Dank! Hast mir sehr geholfen :)
LG
Kerstin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Do 09.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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