Lim sup Ungleichungen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:19 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Mija |
| Aufgabe | Beweisen Sie für beliebig beschränkte Folgen [mm] (x_n) [/mm] und [mm] (y_n) [/mm] mit [mm] x_n\ge0 [/mm] sowie [mm] y_n\ge0
[/mm]
(i) [mm] \limsup_{n\rightarrow\infty}(x_n-y_n)\le\limsup_{n\rightarrow\infty} x_n-\liminf_{n\rightarrow\infty}y_n
[/mm]
(ii) [mm] \limsup_{n\rightarrow\infty}(x_n*y_n)\le\limsup_{n\rightarrow\infty} x_n*\limsup_{n\rightarrow\infty}y_n [/mm] |
Hallo,
leider bin ich noch nicht viel weiter gekommen als zu einem "Ansatz" zu (i)..
Aus einem anderen Beweis, weiß ich, dass
[mm] -\liminf_{n\rightarrow\infty}y_n=\limsup_{n\rightarrow\infty}(-y_n)
[/mm]
Somit komme ich zu
[mm] \limsup_{n\rightarrow\infty}(x_n-y_n)\le\limsup_{n\rightarrow\infty}x_n+\limsup_{n\rightarrow\infty}(-y_n)
[/mm]
Aber wie mache ich jetzt weiter?
Und darf ich überhaupt mein Gefundenes verwenden?
Und wie löse ich (ii) ??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:29 Di 25.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Mija!
> Beweisen Sie für beliebig beschränkte Folgen [mm](x_n)[/mm] und
> [mm](y_n)[/mm] mit [mm]x_n\ge0[/mm] sowie [mm]y_n\ge0[/mm]
>
> (i)
> [mm]\limsup_{n\rightarrow\infty}(x_n-y_n)\le\limsup_{n\rightarrow\infty} x_n-\liminf_{n\rightarrow\infty}y_n[/mm]
>
> (ii)
> [mm]\limsup_{n\rightarrow\infty}(x_n*y_n)\le\limsup_{n\rightarrow\infty} x_n*\limsup_{n\rightarrow\infty}y_n[/mm]
>
> Hallo,
>
> leider bin ich noch nicht viel weiter gekommen als zu einem
> "Ansatz" zu (i)..
> Aus einem anderen Beweis, weiß ich, dass
>
> [mm]-\liminf_{n\rightarrow\infty}y_n=\limsup_{n\rightarrow\infty}(-y_n)[/mm]
>
> Somit komme ich zu
>
> [mm]\limsup_{n\rightarrow\infty}(x_n-y_n)\le\limsup_{n\rightarrow\infty}x_n+\limsup_{n\rightarrow\infty}(-y_n)[/mm]
>
> Aber wie mache ich jetzt weiter?
Jetzt brauchst du noch
[mm]\limsup_{n\rightarrow\infty}(x_n\red{+}y_n)\le\limsup_{n\rightarrow\infty}x_n+\limsup_{n\rightarrow\infty}(y_n)[/mm]
um die Behauptung zu beweisen.
> Und wie löse ich (ii) ??
Wie habt ihr denn den limsup definiert?
Tipp: Bedenke, dass [mm] $\sup_{k\ge n} (x_k*y_k) \le (\sup_{k\ge n} x_k) [/mm] * [mm] (\sup_{k\ge n} y_k) [/mm] $ ist!
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
