Lim sup/inf und Häufungswerte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei H [mm] \subset \IR \cup \{-\infty, +\infty\} [/mm] die Menge der Häufungswerte der reellen Folge [mm] (a_n). [/mm] Dann
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] a_n [/mm] = max H, [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] inf [mm] a_n [/mm] = min H |
Hallo,
wir hatten dies in der Vorlesung, aber ich verstehe den folgenden Beweis nicht.
Beweis:
Sei S := max H [mm] \in \IR \cup \{-\infty, +\infty\}. [/mm] Seien m < S < M. Da S ein Häufungswert von [mm] (a_n) [/mm] ist, gilt m < [mm] a_n [/mm] < M für unendlich viele n.
(Bemerkung: Die folgende Stelle bis zum Doppelpunkt verstehe ich nicht. Warum ist das so?) Da S der größte Häufungswert von [mm] (a_n) [/mm] in [mm] \IR \cup \{-\infty, +\infty\} [/mm] ist, ist [mm] a_n [/mm] < M für fast alle n : Wenn das nicht wahr ist, dann gilt [mm] a_n \ge [/mm] M für unendlich viele n; die Teilfolge, die aus diesen Indizes besteht, besitzt einen Häufungswert [mm] \ge [/mm] M > S und das ist ein Widerspruch. Also gelten (a) und (b) der Charakterisierung (iv) vom Limes superior aus Lemma 13.14, und damit S = max H = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup a_n. [/mm] Durch Betrachtung der Folge [mm] (-a_n) [/mm] finden wir min H = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}inf a_n.
[/mm]
[mm] \Box
[/mm]
Noch eine Frage am Rande: Gibt es immer Häufungswerte?
Ich hoffe, einer kann mir helfen. :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:05 Di 27.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Sei H [mm]\subset \IR \cup \{-\infty, +\infty\}[/mm] die Menge der
> Häufungswerte der reellen Folge [mm](a_n).[/mm] Dann
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup [mm]a_n[/mm] = max H,
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] inf [mm]a_n[/mm] = min H
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> Hallo,
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> wir hatten dies in der Vorlesung, aber ich verstehe den
> folgenden Beweis nicht.
>
> Beweis:
>
> Sei S := max H [mm]\in \IR \cup \{-\infty, +\infty\}.[/mm] Seien m <
> S < M. Da S ein Häufungswert von [mm](a_n)[/mm] ist, gilt m < [mm]a_n[/mm] <
> M für unendlich viele n.
> (Bemerkung: Die folgende Stelle bis zum Doppelpunkt
> verstehe ich nicht. Warum ist das so?) Da S der größte
> Häufungswert von [mm](a_n)[/mm] in [mm]\IR \cup \{-\infty, +\infty\}[/mm]
> ist, ist [mm]a_n[/mm] < M für fast alle n : Wenn das nicht wahr
> ist, dann gilt [mm]a_n \ge[/mm] M für unendlich viele n; die
> Teilfolge, die aus diesen Indizes besteht, besitzt einen
> Häufungswert [mm]\ge[/mm] M > S und das ist ein Widerspruch. Also
> gelten (a) und (b) der Charakterisierung (iv) vom Limes
> superior aus Lemma 13.14, und damit S = max H =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}sup a_n.[/mm] Durch Betrachtung der
> Folge [mm](-a_n)[/mm] finden wir min H =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}inf a_n.[/mm]
>
> [mm]\Box[/mm]
Die Stelle bis zum Doppelpunkt wird ja nach dem Doppelpunkt bis zum Punkt begründet.
Wir wissen, daß $S$ der größte Häufungswert ist. Die Negation von
[mm] $a_n [/mm] < M$ für fast alle n
ist
[mm] $a_n \ge [/mm] M$ für unendlich viele n.
Und eine Teilfolge mit diesen unendlich vielen Indizes konvergiert gegen einen Grenzwert [mm] $g\in \IR$ [/mm] bzw. divergiert bestimmt gegen [mm] $g=\infty$. [/mm] Nun ist $g$ ein Häufungswert der ursprünglichen Folge und größer als S. Widerspruch!
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> Noch eine Frage am Rande: Gibt es immer Häufungswerte?
Wenn Du, so wie hier, [mm] $\pm \infty$ [/mm] auch als Häufungswert zuläßt, hat jede Folge einen Häufungswert. Wenn nicht, so gilt dies nach Bolzano-Weierstraß für beschränkte Folgen. Unbeschränkte Folgen können einen endlichen Häufungswert haben, müssen aber nicht.
So hat $(n)$ keinen endlichen Häufungswert, $(1/n)$ als beschränkte Folge einen endlichen Häufungswert, nämlich $0$ und [mm] $(a_n)$ [/mm] mit [mm] $a_{2n}= 1,\; a_{2n+1}=n$ [/mm] sowohl einen endlichen als auch einen unendlichen Häufungswert.
Grüße,
Wolfgang
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Danke für deine Hilfe. Leuchtet alles ein.
Ich habe sogar gerade gesehen, dass wir bewiesen haben, dass jede reelle Folge einen Häufungswert in [mm] \overline{\IR} [/mm] hat.
Bezog sich jetzt deine Aussage nur auf reelle Folgen, oder kann man auch sagen, dass jede komplexe Folge [mm] x_n [/mm] einen Häufungswert w [mm] \in \IC [/mm] hat?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:42 Di 27.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Danke für deine Hilfe. Leuchtet alles ein.
> Ich habe sogar gerade gesehen, dass wir bewiesen haben,
> dass jede reelle Folge einen Häufungswert in
> [mm]\overline{\IR}[/mm] hat.
>
> Bezog sich jetzt deine Aussage nur auf reelle Folgen, oder
> kann man auch sagen, dass jede komplexe Folge [mm]x_n[/mm] einen
> Häufungswert w [mm]\in \IC[/mm] hat?
Nein. Das kann man nicht. Dies klappt so nur für [mm] $\IR$. [/mm] In [mm] $\IR$ [/mm] gibt es nur zwei Richtungen, in denen eine unbeschränkte Folge abhauen kann, nämlich Richtung [mm] $-\infty$ [/mm] oder Richtung [mm] $+\infty$. [/mm] Einer der Werte ist dann auch ein Häufungswert. Aber stelle Dir mal eine Folge auf einer unendlichen Spirale in der komplexen Ebene vor. Solchen Folgen kann man beim besten Willen keinen Häufungswert zusprechen.
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:08 Di 27.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Danke für deine Hilfe. Leuchtet alles ein.
> > Ich habe sogar gerade gesehen, dass wir bewiesen haben,
> > dass jede reelle Folge einen Häufungswert in
> > [mm]\overline{\IR}[/mm] hat.
> >
> > Bezog sich jetzt deine Aussage nur auf reelle Folgen, oder
> > kann man auch sagen, dass jede komplexe Folge [mm]x_n[/mm] einen
> > Häufungswert w [mm]\in \IC[/mm] hat?
>
> Nein. Das kann man nicht. Dies klappt so nur für [mm]\IR[/mm]. In
> [mm]\IR[/mm] gibt es nur zwei Richtungen, in denen eine
> unbeschränkte Folge abhauen kann, nämlich Richtung
> [mm]-\infty[/mm] oder Richtung [mm]+\infty[/mm]. Einer der Werte ist dann
> auch ein Häufungswert. Aber stelle Dir mal eine Folge auf
> einer unendlichen Spirale in der komplexen Ebene vor.
> Solchen Folgen kann man beim besten Willen keinen
> Häufungswert zusprechen.
Hallo Wolfgang,
mit Deinen Ausführungen bin ich nicht ganz einverstanden. Stichwort: Riemannsche Zahlenkugel.
FRED
>
> Gruß,
> Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:12 Di 27.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> > > Danke für deine Hilfe. Leuchtet alles ein.
> > > Ich habe sogar gerade gesehen, dass wir bewiesen
> haben,
> > > dass jede reelle Folge einen Häufungswert in
> > > [mm]\overline{\IR}[/mm] hat.
> > >
> > > Bezog sich jetzt deine Aussage nur auf reelle Folgen, oder
> > > kann man auch sagen, dass jede komplexe Folge [mm]x_n[/mm] einen
> > > Häufungswert w [mm]\in \IC[/mm] hat?
> >
> > Nein. Das kann man nicht. Dies klappt so nur für [mm]\IR[/mm]. In
> > [mm]\IR[/mm] gibt es nur zwei Richtungen, in denen eine
> > unbeschränkte Folge abhauen kann, nämlich Richtung
> > [mm]-\infty[/mm] oder Richtung [mm]+\infty[/mm]. Einer der Werte ist dann
> > auch ein Häufungswert. Aber stelle Dir mal eine Folge auf
> > einer unendlichen Spirale in der komplexen Ebene vor.
> > Solchen Folgen kann man beim besten Willen keinen
> > Häufungswert zusprechen.
>
>
> Hallo Wolfgang,
>
> mit Deinen Ausführungen bin ich nicht ganz einverstanden.
> Stichwort: Riemannsche Zahlenkugel.
Hallo FRED,
Da hast Du recht. Auf der Zahlenkugel wäre [mm] $\infty$ [/mm] z. B. Grenzwert der Folge [mm] $\bigl((-1)^n*n\bigr)\,.$ [/mm] Aber dies sehe ich nicht als Verallgemeinerung des Begriffs Häufungswert der abgeschlossenen Zahlengerade.
Grüße,
Wolfgang
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Ok, das macht Sinn. Danke für eure Hilfe.
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