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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Sa 03.12.2005 | | Autor: | Nescio |
Hallo,
ich habe die folgende Aufgabe zu lösen:
(a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n}=1
[/mm]
Habe dazu bisher folgendes:
z.z: [mm] \forall \varepsilon>0 \exists N\in \IN \forall n\ge [/mm] N:
[mm] |\wurzel[n]{n}-1|< \varepsilon
[/mm]
Nach der Bernoullischen Ungleichung [mm] (\forall [/mm] x [mm] \ge [/mm] -1) erhalte ich:
[mm] (1+(\wurzel[n]{n}-1)^{n} \ge [/mm] 1+ [mm] n(\wurzel[n]{n}-1)
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1+ [mm] n(\wurzel[n]{n}-1) [/mm] dann gilt auch:
n [mm] \ge n(\wurzel[n]{n}-1) [/mm] |:n
[mm] \gdw [/mm] 1 [mm] \ge n(\wurzel[n]{n}-1)
[/mm]
also es lässt sich schreiben:
[mm] |\wurzel[n]{n}-1| \ge [/mm] 1 < [mm] \varepsilon [/mm]
irgendiwe fehlt mir hier die N Bestimmung. Was habe ich falsch gemacht? Wie kann ich mein N bestimmen?
Vielen Dank im Voraus!:)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:24 Sa 03.12.2005 | | Autor: | MrPink |
Hallo, wenn ihr L'hopital benutzen dürft geht es wesentlich einfacher:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:25 Sa 03.12.2005 | | Autor: | MrPink |
Das x beim limes soll natürlich ein n sein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:33 So 04.12.2005 | | Autor: | Nescio |
Hallo:),
danke für deine Antwort. Lieder haben wir bisher das, was du vorgeschlagen hast noch nicht gemacht. Wir sollen die Aufgabe durch Epsilon und N-Bestimmung lösen. Ist mein Weg den so richtig??
Danke: im Voraus!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 So 04.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Nescio
Du hast leider nix bewiesen!
> ich habe die folgende Aufgabe zu lösen:
> (a) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n}=1[/mm]
> Habe
> dazu bisher folgendes:
> z.z: [mm]\forall \varepsilon>0 \exists N\in \IN \forall n\ge[/mm]
> N:
> [mm]|\wurzel[n]{n}-1|< \varepsilon[/mm]
> Nach der Bernoullischen
> Ungleichung [mm](\forall[/mm] x [mm]\ge[/mm] -1) erhalte ich:
> [mm](1+(\wurzel[n]{n}-1)^{n} \ge[/mm] 1+ [mm]n(\wurzel[n]{n}-1)[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] n [mm]\ge[/mm] 1+ [mm]n(\wurzel[n]{n}-1)[/mm] dann gilt auch:
> n [mm]\ge n(\wurzel[n]{n}-1)[/mm] |:n
> [mm]\gdw[/mm] 1 [mm]\ge n(\wurzel[n]{n}-1)[/mm]
hier ist ein Schreibfehler
[mm]\gdw[/mm] 1 [mm]\ge 1*(\wurzel[n]{n}-1)[/mm]
> also es lässt sich schreiben:
> [mm]|\wurzel[n]{n}-1| \ge[/mm] 1 < [mm]\varepsilon[/mm]
hier hast du die Ungleichung umgekehrt?
du hast nur gezeigt, dass [mm]|\wurzel[n]{n}-1| \le[/mm] 1,d.h. dass [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] zwischen 1 und 2 liegt! also noch nichts nützliches.
betrachte [mm] (1+e_{n})^{n}>n [/mm] und suche ne Nullfolge [mm] e_{n} [/mm] die das tut.
Bernoulli allein genügt nicht:
[mm] (1+e_{n})^{n} [/mm] > [mm] 1+n*e_{n}+n*(n-1)/2*e_{n}^{2}>n*(n-1)/2*e_{n}^{2}
[/mm]
mit [mm] e_{n}^{2}=2/(n-1) [/mm] hast du ne Nullfolge und [mm] (1+e_{n})^{n}>n [/mm] also nimm dein [mm] N=2/\varepsilon^{2}+1.
[/mm]
Was du in der letzten Zeile geschrieben hast, musst du doch wohl selbst als Unsinn sehen!
Gruss leduart
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