Limes < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:28 Do 13.09.2007 | | Autor: | birdie |
| Aufgabe | Es sei (A(n), n [mm] \in \IN) [/mm] eine Folge von Teilmengen einer Menge Omega. Man definiere:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}inf [/mm] A(n) = [mm] \bigcup_{n \in \IN} (\bigcap_{m\ge n}A(m))
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}supA(n) [/mm] = [mm] \bigcap_{n \in \IN} (\bigcup_{m\ge n}A(m))
[/mm]
Zeigen Sie:
a) lim inf A(n) = [mm] \{ kl_omega \in Omega, kl_omega \in A(n) für fast alle n \in \IN\}
[/mm]
b) lim sup A(n) = [mm] \{ kl_omega \in Omega, kl_omega \in A(n) für endlich viele n \in \IN\}
[/mm]
c) lim inf A(n) [mm] \subset [/mm] lim sup A(n) [mm] \subset \bigcup_{n \in \IN}A(n)
[/mm]
d) Seien B, C [mm] \subset [/mm] Omega und A(2n) = B, A(2n-1) =C für alle n [mm] \in \IN. [/mm] Dann gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] inf A(n) = B [mm] \cap [/mm] C,
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup A(n) = B [mm] \cup [/mm] C
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Hallo liebe Mathefreunde,
könnte mir jemand diese Aufgabe zufällig erklären und mir ein paar Tips geben, wie ich dies beweisen soll. Irgendwie verstehe ich das mit dem Limes noch nicht so genau und hab da so meine Schwierigkeiten. Ich weiß nicht wie ich an die Aufgabe rangehen soll.
Für jegliche Tips wäre ich sehr dankbar.
Vielen Dank
birdie
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:18 Fr 14.09.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin birdie,
zunaechst erst einmal ein herzliches ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Gestatte mir zunaechst einmal deine grauselige Formatierung zu
verbessern:
[mm] $\lim\inf [/mm] A(n) = [mm] \{\omega\mid\omega \in \Omega,\omega \in A(n) \mbox{ für fast alle } n \in \IN\}=:M_1 [/mm] $
[mm] $\lim\sup [/mm] A(n) = [mm] \{\omega\mid \omega \in \Omega, \omega \in A(n) \mbox{ für endlich viele } n \in \IN\} [/mm] $
Was haben wir denn hier? Aha, man soll die Identitaet von Mengen $M$ und $N$ nachweisen, also $M=N$. Wie macht man das? Man zeigt, dass jedes Element von $M$ in $N$ ist und umgekehrt.
Nehmen wir a) Sei [mm] $\omega$ [/mm] Element von [mm] $\lim\inf A(n)=\bigcup_{n \in \IN} (\bigcap_{m\ge n}A(m))$. [/mm] Dann ist [mm] $\omega$ [/mm] Element von [mm] $\bigcap_{m\ge n}A(m)$ [/mm] fuer ein $n$. Mithin ist [mm] $\omega\in A_m$
[/mm]
fuer alle [mm] $m\ge [/mm] n$. Damit ist
[mm] $\omega\in M_1$ [/mm] . Ist umgekehrt [mm] $\omega\in M_1$, [/mm] so gibt es nur endlich
viele Zahlen [mm] $m_1,...,m_k$ [/mm] mit [mm] $\omega\not\in A_{m_i}$. [/mm] Sei $n'-1$ die
groesste dieser Zahlen. Dann ist [mm] $\omega\in(\bigcap_{m\ge n'}A(m))\subset \bigcup_{n \in \IN} (\bigcap_{m\ge n}A(m))=\lim\inf [/mm] A(n)$.
Das soll dir mal als Einstieg dienen.
lg
Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 So 16.09.2007 | | Autor: | birdie |
Vielen lieben Dank, luis52!
Es klingt logisch (wobei ich nie darauf gekommen wäre), nur der zweite Schritt, also das Umgekehrte, ist mir noch nicht ganz klar. Reicht das schon als Beweis? Und wieso folgt daraus dies:
$ [mm] \omega\in(\bigcap_{m\ge n'}A(m))\subset \bigcup_{n \in \IN} (\bigcap_{m\ge n}A(m))=\lim\inf [/mm] A(n) $
Der Beweis für b) würde dann ja eigentlich gleich aussehen, oder? Wobei es ja "unendlich viele" n sind, häh???
Please, help.
Bin total verwirrt und versteh das glaub ich doch nicht so recht.
Lg birdie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:39 So 16.09.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo birdie,
> Es klingt logisch (wobei ich nie darauf gekommen wäre), nur
> der zweite Schritt, also das Umgekehrte, ist mir noch nicht
> ganz klar. Reicht das schon als Beweis? Und wieso folgt
> daraus dies:
>
> [mm]\omega\in(\bigcap_{m\ge n'}A(m))\subset \bigcup_{n \in \IN} (\bigcap_{m\ge n}A(m))=\lim\inf A(n)[/mm]
[mm] $\omega \in M_1$ [/mm] heisst ja, dass gilt [mm] $\omega\in [/mm] A(n)$ fuer fast alle
[mm] $n\in\IN$. [/mm] Das bedeutet, dass es nur endlich viele Indices [mm] $m_1,...,m_k$
[/mm]
gibt mit [mm] $\omega\not\in A(m_i)$ [/mm] (hier habe ich etwas mit der Notation
geschludert). Sagen wir es handelt sich um 3, 100 und 4711. Dann ist also
[mm] $\omega\not\in [/mm] A(3)$, [mm] $\omega\not\in [/mm] A(100)$ und [mm] $\omega\not\in [/mm] A(4711)$,
wohl aber [mm] $\omega\in A(4712)$,$\omega\in [/mm] A(4713)$,
[mm] $\omega\in [/mm] A(4714)$,..., also [mm] $\omega\in [/mm] A(m)$ fuer alle [mm] $m\ge [/mm] n'$ mit $n'-1=4711$. Also ist [mm] $\omega\in\bigcap_{m\ge n'}A(m)$. [/mm]
Die Beziehung [mm] $\omega\in\bigcap_{m\ge n'}A(m)\subset \bigcup_{n \in \IN} (\bigcap_{m\ge n}A(m))=\lim\inf [/mm] A(n)$ gilt, da [mm] $\bigcap_{m\ge n'}A(m)=\bigcap_{m\ge 4712}A(m)$ [/mm] die 4712.-te Vereinigungsmenge in [mm] $\bigcup_{n \in \IN} (\bigcap_{m\ge n}A(m))$ [/mm] ist.
>
> Der Beweis für b) würde dann ja eigentlich gleich aussehen,
> oder? Wobei es ja "unendlich viele" n sind, häh???
>
Nicht so schnell...
Fuer b) ist zu zeigen [mm] $\lim\sup [/mm] A(n) = [mm] \bigcap_{n \in \IN} (\bigcup_{m\ge n}A(m)) [/mm] = [mm] \{\omega\mid \omega \in \Omega, \omega \in A(n) \mbox{für unendlich viele } n \in \IN\}=:M_2 [/mm] $. (Ich habe mal deine Vorgabe korrigiert, siehe ![[]](/images/popup.gif) http://www-m12.ma.tum.de/lehre/mi_2006/blaetter/blatt01.pdf)
Sei zunaechst [mm] $\omega\in \bigcap_{n \in \IN} (\bigcup_{m\ge n}A(m))$. [/mm] Dann ist [mm] $\omega\in\bigcup_{m\ge n}A(m)$ [/mm] fuer alle [mm] $n\in\IN$. [/mm] Angenommen, es gaebe nur endlich viele Indices [mm] $n_1,...,n_k$ [/mm] mit [mm] $\omega\in A(n_i)$. [/mm] Sei $n'-1$ die groesste dieser Zahlen. Dann ist [mm] $\omega\not\in\bigcup_{m\ge n'}A(m)$. [/mm] Das aber ist ein Widerspruch.
Sei umgekehrt [mm] $\omega\in [/mm] A(j)$ fuer unendlich viele [mm] $j\in\IN$. [/mm] Dann ist
[mm] $\omega\in\bigcup_{m\ge n}A(m)$ [/mm] fuer beliebiges [mm] $n\in\IN$, [/mm] denn anderenfalls waere [mm] $\omega$ [/mm] kein Element von unendlich vielen Mengen $A(j)$. Mithin ist [mm] $\omega\in \bigcap_{n \in \IN} (\bigcup_{m\ge n}A(m))$.
[/mm]
lg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:37 Mo 17.09.2007 | | Autor: | birdie |
Vielen, vielen Dank Luis52,
Ich glaub das ist mir irgendwie zu hoch... ich versteh das Thema nicht ... aber kann dir auch nicht so genau sagen warum. Irgendwie ist mir der limsup und liminf nicht ganz Freund.
Lg birdie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Di 16.10.2007 | | Autor: | FlorianM |
Hallo,
eine sehr gute und sehr anschauliche Erklärung. Vielen Dank! Hat mir sehr geholfen. 
Kannst du auch nochmal ausführen, wie man zeigen kann, dass der limes inferior eine Teilmenge des limes superior ist?
Anschaulich ist es ja klar, denn nach Definition der Teilmenge folgt ja:
Denn aus x liegt in fast allen Mengen Mn folgt, dass x in unendlich vielen Mengen Mn liegt.
Aber wie kann man dies exakter zeigen?
Gruss Florian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Di 16.10.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo,
du meinst vermutlich Teil c) der Thread-Wurzel.
Na, dann woll'n wir mal...
Sei [mm] $\omega\in \bigcup_{n \in \IN} (\bigcap_{m\ge n}A(m)) [/mm] $. Zu zeigen ist [mm] $\omega \in \bigcap_{n \in \IN} (\bigcup_{m\ge n}A(m)) [/mm] $, d.h. $ [mm] \omega \in \bigcup_{m\ge n}A(m) [/mm] $ fuer alle [mm] $n\in\IN [/mm] $.
Sei $ n [mm] \in \IN$ [/mm] beliebig gewaehlt. Nach Voraussetzung ist [mm] $\omega\in \bigcap_{m\ge n_0}A(m) [/mm] $ fuer ein [mm] $n_0\in \IN$. [/mm] Ist [mm] $nn_0$, [/mm] so gilt [mm] $\omega \in A(n)\subset\bigcup_{m\ge n}A(m)$.
[/mm]
lg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Mi 17.10.2007 | | Autor: | FlorianM |
Hallo,
sehr schön. So ähnlich hatte ich mir das auch gedacht!
Danke!
Was mich jetzt noch interessieren würde: Gibt es ein Beispiel, für das der limes inferior nicht mit dem limes superior übereinstimmt? Ich habe bis jetzt nämlich nur Beispiele konstruieren können, für die das nicht galt.
Hast du da eins auf Lager? :)
Gruss Florian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 Mi 17.10.2007 | | Autor: | andreas |
hi
stelle am besten fragen als fragen und nicht als mitteilungen, ansonsten werden sie häufig übersehen und es dauert länger bis du eine antwort erhälst. aber zu rsache:
> Was mich jetzt noch interessieren würde: Gibt es ein
> Beispiel, für das der limes inferior nicht mit dem limes
> superior übereinstimmt? Ich habe bis jetzt nämlich nur
> Beispiele konstruieren können, für die das nicht galt.
> Hast du da eins auf Lager? :)
aus den beschreibungen a) und b) aus der ersten frage oder alternativ d) sollten sich doch leicht ein beispiel dafür konstruieren lassen. probiere das doch mal.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Sa 20.10.2007 | | Autor: | FlorianM |
Hallo,
hmm... ich habe schon so viel konstruiert, aber ich finde nur Beispiele, bei denen limes inferior und limes superior übereinstimmen. :D
Helft mir bitte mal auf die Sprünge. :) Danke!
Gruss Florian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:12 Sa 20.10.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Florian,
betrachte [mm] $\Omega=[0,1]$, [/mm] $A(n)=[0,1/n]$, [mm] $n\in\IN$. [/mm] Es ist
$ [mm] \lim\inf A(n)=\{0\}$ [/mm] und $ [mm] \lim\sup A(n)=\Omega [/mm] $.
lg
Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:37 So 21.10.2007 | | Autor: | FlorianM |
Hallo,
vielen Dank. Das leuchtet ein. :)
Gruss Florian
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