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Limes: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:22 Mo 26.05.2008
Autor: Albtalrobin

Aufgabe
Bestimmen Sie den Grenzwert für x [mm] \in \IR: [/mm]

[mm] \limes_{s\rightarrow0} (1+sx)^{1/s} [/mm]

Kann mir jemand nen Ansatz geben, wie ich da rangehe?

        
Bezug
Limes: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:36 Mo 26.05.2008
Autor: Albtalrobin

ok, also der Grenzwert müsste [mm] e^x [/mm] sein, wenn man sich den graphen anschaut...aber wie komm ich darauf?

Bezug
        
Bezug
Limes: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:43 Mo 26.05.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Albtalrobin,

> Bestimmen Sie den Grenzwert für x [mm]\in \IR:[/mm]
>  
> [mm]\limes_{s\rightarrow0} (1+sx)^{1/s}[/mm]
>  Kann mir jemand nen
> Ansatz geben, wie ich da rangehe?

Schreibe [mm] $(1+sx)^{\frac{1}{s}}$ [/mm] mit Hilfe der Definition der allg. Potenz um:

[mm] $a^b=e^{\ln\left(a^b\right)}=e^{b\cdot{}\ln(a)}$ [/mm]

Also [mm] $(1+sx)^{\frac{1}{s}}=e^{\frac{1}{s}\cdot{}\ln(1+sx)}$ [/mm]

Dann nimm dir den Exponenten [mm] $\frac{\ln(1+sx)}{s}$ [/mm] heraus

Der strebt für [mm] $s\to [/mm] 0$ gegen den unbestimmten Ausdruck [mm] $\frac{\ln(1)}{0}=\frac{0}{0}$ [/mm]

Also kannst du mit de l'Hôpital zubeißen und dann am Ende das Ergebnis noch [mm] $e^{(..)}$ [/mm] nehmen ..


LG

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Limes: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:41 Di 27.05.2008
Autor: Albtalrobin

Ok, stimmt, danke!
Jetzt hab ich noch Teilaufgabe b):
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{x}{n})^{n} [/mm]
der ist ja auch [mm] e^{x}.... [/mm]
Ich hab jetzt wie folgt argumentiert:
Setze [mm] n=:\bruch{1}{s} [/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{x}{n})^{n} [/mm] = [mm] \limes_{\bruch{1}{s}\rightarrow\infty} (1+sx)^{\bruch{1}{s}} [/mm] = [mm] \limes_{s\rightarrow0} (1+sx)^{\bruch{1}{s}} [/mm] = [mm] e^{x} [/mm]

Ist das so ein sauberer Beweis? Oder sollte ich den Limes vieleicht doch lieber nochmal genau wie in a) ausrechnen?

Bezug
                        
Bezug
Limes: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:28 Di 27.05.2008
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Ok, stimmt, danke!
>  Jetzt hab ich noch Teilaufgabe b):
>  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{x}{n})^{n}[/mm]
>  der ist
> ja auch [mm]e^{x}....[/mm]
>  Ich hab jetzt wie folgt argumentiert:
>  Setze [mm]n=:\bruch{1}{s}[/mm]
>  [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{x}{n})^{n}[/mm]
> = [mm]\limes_{\bruch{1}{s}\rightarrow\infty} (1+sx)^{\bruch{1}{s}}[/mm]
> = [mm]\limes_{s\rightarrow0} (1+sx)^{\bruch{1}{s}}[/mm] = [mm]e^{x}[/mm] [daumenhoch]
>  
> Ist das so ein sauberer Beweis? Oder sollte ich den Limes
> vieleicht doch lieber nochmal genau wie in a) ausrechnen?

Nö, das sieht doch gut aus, und bereits Gezeigtes - also das Ergenis aus (a) - kannst und sollst du natürlich verwenden


LG

schachuzipus


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