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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 Di 12.07.2005 | | Autor: | squeezer |
Hallo
Ich habe folgendes zu beweisen:
(a) $ [mm] \limes_{x\rightarrow 0^+} \bruch{1}{x} [/mm] = [mm] +\infty$
[/mm]
(b) $ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{1}{x} [/mm] = 0$
(c) $ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = [mm] \infty \Rightarrow \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{1}{f(x)} [/mm] = 0$
Mir ist schon klar dass das gilt und wie man das Resultat anwenden kann, nur ist mir nicht klar wie man das formell beweisen kann.
Vielen dank für Ihre Hilfe
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Hallo squeezer,
für einen formalen Beweis brauche ich zunächst eine Definition des Grenzwertes einer Funktion. Jetzt weiss ich nicht, welche euch beigebracht wurde. Man kann den Grenzwert einer Funktion [mm]f[/mm] mit Hilfe des Grenzwertes einer Folge definieren, also so:
[mm]\lim_{x \to a}f(x)=c[/mm] falls folgendes gilt: Für jede Folge [mm](x_n)_{n\in\mathbb{N}}[/mm] mit [mm]\lim_{n \to \infty}x_n=a[/mm] ist [mm]\lim_{n \to \infty}f(x_n)=c[/mm].
und per Definition der Konvergenz einer Folge ist [mm]\lim_{n \to \infty}x_n=a[/mm] gleichbedeutend mit:
[mm]\forall \epsilon > 0\text{ gilt: } \exists N\in\mathbb{N}\text{ so dass: }\forall n\ge N\text{ gilt: }\left| x_n - a \right| < \epsilon[/mm].
Also könnte man mit einem Beweis für (a) so beginnen:
Sei [mm]x_n[/mm] eine Folge mit [mm]\lim_{n \to \infty}x_n=0[/mm] und [mm]x_n > 0[/mm] für alle [mm]n \in \mathbb{N}[/mm]. Zu zeigen ist, dass [mm]\lim_{n \to \infty}\frac{1}{x_n}=\infty[/mm] gilt.
Wir tun dies, indem wir zeigen, dass: [mm]\forall K>0\text{ gilt: }\exists N\in\mathbb{N}\text{ so dass: }\forall n \ge N\text{ gilt: }\frac{1}{x_n}>K[/mm] (das ist nämlich gleichbedeutend mit [mm]\lim_{n \to \infty}\frac{1}{x_n}=\infty[/mm]). Es genügt also, dies für ein beliebiges [mm]K>0[/mm] zu zeigen.
Es sei also [mm]K>0[/mm] beliebig (gross) aus [mm]\mathbb{R}[/mm] gewählt. Wegen [mm]\lim_{n \to \infty}x_n=0[/mm] gilt (nach obiger Definition):
[mm]\forall \epsilon >0\text{ gilt: }\exists N\in\mathbb{N}\text{ so dass: }\forall n\ge N\text{ gilt: } x_n <\epsilon[/mm]. Also insbesondere (wenn ich [mm]\epsilon = \frac{1}{K}[/mm] wähle) gilt: [mm]\exists N\in\mathbb{N}\text{ so dass: }\forall n\ge N\text{ gilt: } x_n < \frac{1}{K}\text{ also }\frac{1}{x_n} >K[/mm], was zu zeigen war.
Ganz analog kann man (b) zeigen, nur dass man hier zeigt: für eine beliebige Folge [mm]x_n[/mm] mit [mm]\lim_{n \to \infty}x_n=\infty[/mm] gilt: [mm]\lim_{n \to \infty}\frac{1}{x_n}=0[/mm]. Also quasi die umgekehrte Situation von (a)...
und die (c) kann man ebenfalls mit Hilfe obiger Definitionen lösen... einfach mal ausprobieren - Viel Glück!
Gruss, Lars
PS: hab's im Beweis schon mal benutzt, sag es aber zu Vorsicht nochmal deutlich, damit es keine Verwirrung gibt:
Die obige Definition für die Konvergenz einer Folge ( [mm]\lim_{n \to \infty}x_n=a[/mm] definiert durch:[mm]\forall \epsilon > 0\text{ gilt: } \exists N\in\mathbb{N}\text{ so dass: }\forall n\ge N\text{ gilt: }\left| x_n - a \right| < \epsilon[/mm]) gilt nur, wenn [mm]a[/mm] endlich ist!
Falls [mm]a=\infty[/mm] ist diese Definition wenig hilfreich, denn [mm]\left| x_n - \infty \right|[/mm] für ein [mm]n \in \mathbb{N}[/mm] auszurechnen, bringt wohl kein nützliches Ergebnis. Wie gesagt, statt dessen definiert man: [mm]\lim_{n \to \infty}x_n=\infty[/mm] ist gleichbedeutend mit [mm]\forall K>0\text{ gilt: }\exists N\in\mathbb{N}\text{ so dass: }\forall n \ge N\text{ gilt: }x_n >K[/mm].
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