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| Aufgabe | Gegeben sei ein Folge [mm] $(\mu_n)_{n\in\IN}$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] mit [mm] $\mu_n \uparrow \infty$.
[/mm]
Zeige, dass es [mm] $t\in \IR$ [/mm] gibt, sodass der Limes [mm] $\lim_{n\to\infty}e^{i t \mu_n}$ [/mm] nicht existiert. |
Hallo,
im Zusammenhang mit der Konvergenz von charakteristischen Funktionen (Stochastik) ist bei mir dieses relativ elementare Problem oben aufgetaucht.
Kennt jemand von Euch einen eleganten Ansatz zur Lösung?
Von der Konvergenz von [mm] $e^{i t \mu_n}$ [/mm] kann man ja leider nicht auf die Konvergenz von [mm] $\mu_n$ [/mm] schließen...
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Viele Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:07 So 23.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Stephan,
> Gegeben sei ein Folge [mm](\mu_n)_{n\in\IN}[/mm] in [mm]\IR[/mm] mit [mm]\mu_n \uparrow \infty[/mm].
>
> Zeige, dass es [mm]t\in \IR[/mm] gibt, sodass der Limes
> [mm]\lim_{n\to\infty}e^{i t \mu_n}[/mm] nicht existiert.
> Hallo,
>
> im Zusammenhang mit der Konvergenz von charakteristischen
> Funktionen (Stochastik) ist bei mir dieses relativ
> elementare Problem oben aufgetaucht.
>
> Kennt jemand von Euch einen eleganten Ansatz zur Lösung?
> Von der Konvergenz von [mm]e^{i t \mu_n}[/mm] kann man ja leider
> nicht auf die Konvergenz von [mm]\mu_n[/mm] schließen...
das klingt in der Tat ziemlich selbstverständlich (insbesondere kann man
[mm] $t=1\,$ [/mm] setzen, wenn [mm] $(e^{i \mu_n})_n$ [/mm] divergiert). Zudem kann man oben o.E. $t [mm] \not=0$ [/mm] annehmen.
Ich sage jetzt mal dazu, dass ich mir nicht allzu viele Gedanken dazu
gemacht habe. Aber folgendes könnte helfen:
Wegen [mm] $e^{it \mu_n}=\cos(t\mu_n)+i \sin(t\mu_n)$ [/mm] konvergiert [mm] $(e^{it\mu_n})_n$ [/mm] genau dann, wenn sowohl [mm] $(\cos(t \mu_n))_n$ [/mm]
als auch [mm] $(\sin(t \mu_n))_n$ [/mm] (in [mm] $\IR$) [/mm] konvergieren.
Wegen o.E. $t [mm] \not=0$ [/mm] gilt $|t| [mm] \mu_n \to \infty\,,$ [/mm] da ja [mm] $\mu_n \to \infty\,.$ [/mm] Es reicht also,
dass wir uns zunächst mal Gedanken machen:
Wenn wir eine reellwertige Folge [mm] $(r_n)_n$ [/mm] mit [mm] $r_n \to \infty$ [/mm] haben, wie können wir
dann die Konvergenz von [mm] $(\cos(r_n))_n$ [/mm] charakterisieren?
Analoges gilt dann für die Konvergenz von [mm] $(\sin(r_n))_n\,.$
[/mm]
Und dann musst Du im Prinzip ja nur zeigen:
Sei [mm] $\mu_n \to \infty$ [/mm] so, dass sowohl [mm] $(\cos(\mu_n))_n$ [/mm] als auch [mm] $(\sin(\mu_n))$ [/mm] beide konvergieren.
(Denn wenn eine der beiden Folge divergiert, so divergiert auch [mm] $(e^{i \mu_n})_n\,,$
[/mm]
und Du kannst einfach [mm] $t=1\,$ [/mm] wählen...)
Dann existiert ein reelles [mm] $t\not=0$ [/mm] derart, dass [mm] $(\cos(t \mu_n))_n$ [/mm] divergiert oder [mm] $(\sin(t \mu_n))_n$ [/mm]
divergiert.
Den Anfang dafür würde ich so machen:
Es konvergiere also [mm] $(\cos(\mu_n))_n$ [/mm] gegen $c [mm] \in [/mm] [-1,1]$ und [mm] $(\sin(\mu_n))_n$ [/mm] gegen $s [mm] \in [-1,1]\,.$
[/mm]
Definiere zunächst mal [mm] $\phi_c:=\cos^{-1}(c)$ [/mm] und [mm] $\phi_s:=\sin^{-1}(s)\,.$
[/mm]
Jetzt denke mal nach, wo man die [mm] $\mu_n$ [/mm] für genügend große [mm] $n\,$ [/mm] "ansiedeln" muss:
Du kannst die natürlich nicht in eine [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] von [mm] $\phi_c$ [/mm] oder
[mm] $\phi_s$ [/mm] "drängen", aber betrachte halt gewisse solche Umgebungen, wobei Du
"Eigenschaften" von [mm] $\sin$ [/mm] und [mm] $\cos$ [/mm] ausnutzt, sowas wie die [mm] $2\pi$-Periodizität
[/mm]
und auch sowas wie [mm] $\sin(x)=\sin(\pi-x)\,.$ [/mm] Am Besten:
Beschränke Dich meinetwegen erstmal auf den Sinus. Zeichne Dir mal den
Graphen und nimm' an, es wäre [mm] $r_n \to \infty$ [/mm] mit [mm] $\sin(r_n) \to 1/2\,.$ [/mm] Dann kannst Du folgern:
Zu einem genügend kleinen [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ gibt es ein [mm] $\delta=\delta_\epsilon [/mm] > 0$ so, dass [mm] $\mu_n \in (k_n2\pi+\pi/6-\delta,\;k_n2\pi+\pi/6+\delta) \cup^d (k_n2\pi+5/6\pi-\delta,\;k_n2\pi+5/6\pi+\delta)\,.$ [/mm] Dabei meint [mm] $\cup^d$ [/mm]
"disjunkte Vereinigung"; das erreicht man, indem man [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ (und damit [mm] $\delta [/mm] > 0$)
ggf. verkleinert, und [mm] $(k_n)_n$ [/mm] ist eine (streng wachsende) Folge in [mm] $\IZ\,.$
[/mm]
(Der Sinn des [mm] $\epsilon [/mm] > 0$: Fast alle [mm] $\mu_n$ [/mm] müssen so geschaffen sein, dass wir
[mm] $\sin(\mu_n) \in \left(\lim_{n \to \infty} \sin(\mu_n)-\epsilon,\;\lim_{n \to \infty} \sin(\mu_n)+\epsilon\right)$ [/mm] haben.)
Wenn Du das genauer begründen willst, dann benutzt Du sowas wie Injektivität, strenge Monotonie
und Stetigkeit von entsprechenden Einschränkungen des [mm] $\sin$ [/mm] bzw. [mm] $\cos$ [/mm] auf je passende
Intervalle der Länge [mm] $\pi\,,$ [/mm] und natürlich auch die [mm] $2\pi$-Periodizität [/mm] (natürlich auf [mm] $\sin$ [/mm]
bzw. [mm] $\cos$ [/mm] als Funktionen [mm] $\IR \to [/mm] [-1,1]$ - also keine eingeschränkte Funktionen), die ich
oben angesprochen habe.
Jetzt ist das ganze sicher nicht so schwer, wenn die Abstände der
Intervallmittelpunkte [mm] $m_n\,,$ [/mm] dabei sei [mm] $m_n$ [/mm] der Intervallmittelpunkt des Intervalls
der oben erwähnten Art (allgemeiner formuliert), dass [mm] $\mu_n$ [/mm] beinhalte, die Eigenschaft
haben, dass [mm] $(m_{n+1}-m_n)_n$ [/mm] eine beschränkte Folge ist: Dann kann man sicher "mehr oder weniger
schnell" ein [mm] $t\,$ [/mm] so definieren, dass [mm] $(\cos(t \mu_n))_n$ [/mm] divergiert.
Im anderen Fall, also falls die oben erwähnte Folge der Differenz
der Intervallmittelpunkte nicht beschränkt ist, wird das ganze sicher
schwerer werden.
Ich bin mir daher auch gerade noch nicht sicher, ob die Aussage so, wie sie
da formuliert ist, i.a. auch stimmt.
Es kann auch durchaus sein, dass ich hier einige Patzer drin habe. Es ist
spät, und das Ganze ist jetzt mehr ein gedanklicher Schnellschuss. Ich
hoffe nur, dass ich da nicht totalen Unsinn stehen habe. 
Sehe es also eher als "Idee/mögliche Beweisskizze", die (teilweise?) ein
Grundgerüst für einen (sauberen) Beweis liefern könnte. Vielleicht auch
nur für einen Teilbeweis (evtl. Fallunterscheidungen). Auf gar keinen Fall
betrachte das Ganze schon als Beweis oder "ultimative Idee für einen
Beweis" - denn dass das so noch nicht taugt, das merkt man alleine schon
an der Tatsache, dass ich zum einen darauf hingewiesen habe, dass ich
noch nicht alles vollständig behandelt (und damit durchdacht) habe, zum
anderen steht da manches sehr "lax" bzw. ohne detaillierte, saubere
Begründung. Solche Stellen sind IMMER fehleranfällig und gehören nochmal
separat geprüft.
P.S. Vom Gefühl her würde ich auch im allgemeinen Fall sagen, dass
[mm] $t=\frac{1}{\pi}*\text{const}$ [/mm] mit einer geeigneten Konstante [mm] $\text{const}$ [/mm] gewählt werden
kann. Und irgendwie denke ich auch, dass ich mir die Sache hier schwerer
mache, als sie eigentlich sein müßte. ( Meistens liefert Fred dann die
einfacheren Ideen nach. )
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
danke für deine Mühe 
Ich würde deinen Vorschlag gerne auf der "Exponentialfunktionsebene" umsetzen.
Man kann sich aus der Konvergenz von [mm] $e^{it\mu_n}$ [/mm] gegen [mm] $e^{it\mu}$ [/mm] zunächst eine Konvergenz der Argumente zu holen:
[mm] $e^{it (\mu_n - \mu)} \to [/mm] 1$,
also muss für alle $t [mm] \not= [/mm] 0$ eine Folge [mm] $(k_n(t)) \subset \IZ$ [/mm] existieren mit
[mm] $t(\mu_n [/mm] - [mm] \mu) [/mm] + [mm] 2\pi k_n(t) \to [/mm] 0$.
bzw.
[mm] $(\mu_n [/mm] - [mm] \mu) [/mm] + 2 [mm] \pi \frac{k_n(t)}{t} \to [/mm] 0$.
Dabei muss für festes $t [mm] \not= [/mm] 0$ ebenfalls [mm] $|k_n(t)| \uparrow \infty$ [/mm] gelten, sonst wäre das ein Widerspruch zu [mm] $\mu_n \uparrow \infty$.
[/mm]
Nun ist die Frage, ob man das zum Widerspruch führen kann.
Für festes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ muss also $N [mm] \in \IN$ [/mm] existieren, sodass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt:
[mm] $\left|(\mu_n-\mu) + 2\pi \frac{k_n(t)}{t}\right| [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
Dabei bleibe ich aber wieder stecken - eigentlich ist mir das jetzt auch schon zu "kompliziert",
ich dachte vielleicht gebe es ein leichteres, unanalytischeres Argument...
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 25.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 Mo 24.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei ein Folge [mm](\mu_n)_{n\in\IN}[/mm] in [mm]\IR[/mm] mit [mm]\mu_n \uparrow \infty[/mm].
>
> Zeige, dass es [mm]t\in \IR[/mm] gibt, sodass der Limes
> [mm]\lim_{n\to\infty}e^{i t \mu_n}[/mm] nicht existiert.
> Hallo,
>
> im Zusammenhang mit der Konvergenz von charakteristischen
> Funktionen (Stochastik) ist bei mir dieses relativ
> elementare Problem oben aufgetaucht.
>
> Kennt jemand von Euch einen eleganten Ansatz zur Lösung?
> Von der Konvergenz von [mm]e^{i t \mu_n}[/mm] kann man ja leider
> nicht auf die Konvergenz von [mm]\mu_n[/mm] schließen...
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe!
>
> Viele Grüße,
> Stefan
Auf die Schnelle folgende Idee:
Es sei [mm] $L^2:=L^2([0, [/mm] 2 [mm] \pi], \IC)$ [/mm] und [mm] $C^1:=C^1([0, [/mm] 2 [mm] \pi], \IC)$
[/mm]
Das Innenprodukt auf [mm] L^2 [/mm] bezeichne ich mit $(*|*)$ und es sei [mm] $||*||_2^2=(*|*)$
[/mm]
Sei [mm] f_n(t):=e^{it\mu_n}.
[/mm]
Klar: [mm] f_n \in L^2 [/mm] für jedes n.
Mit partieller Integration sieht man:
[mm] (f_n|g) \to [/mm] 0 (n [mm] \to \infty) [/mm] für jedes g [mm] \in C^1.
[/mm]
Da [mm] C^1 [/mm] dicht in [mm] L^2 [/mm] ist, folgt:
(*) [mm] (f_n|g) \to [/mm] 0 (n [mm] \to \infty) [/mm] für jedes g [mm] \in L^2.
[/mm]
Nun nehmen wir an, dass [mm] (f_n) [/mm] auf [mm] \IR [/mm] punktweise konvergiert.
Sei [mm] f(t):=\limes_{n\rightarrow\infty}f_n(t) [/mm] für t [mm] \in \IR.
[/mm]
Dann ist f [mm] \in L^2 [/mm] und [mm] ||f_n-f||_2 \to [/mm] 0 (n [mm] \to \infty).
[/mm]
Dann ist [mm] $(f|f)=\limes_{n\rightarrow\infty}(f_n|f)$. [/mm] Mit (*) folgt: (f|f)=0, also
f=0 f.ü.
Es ist aber |f(t)|=1 für alle t.
Ich hoffe, dass alles passt.
FRED
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Hallo fred,
> > Gegeben sei ein Folge [mm](\mu_n)_{n\in\IN}[/mm] in [mm]\IR[/mm] mit [mm]\mu_n \uparrow \infty[/mm].
>
> >
> > Zeige, dass es [mm]t\in \IR[/mm] gibt, sodass der Limes
> > [mm]\lim_{n\to\infty}e^{i t \mu_n}[/mm] nicht existiert.
> Auf die Schnelle folgende Idee:
>
> Es sei [mm]L^2:=L^2([0, 2 \pi], \IC)[/mm] und [mm]C^1:=C^1([0, 2 \pi], \IC)[/mm]
>
> Das Innenprodukt auf [mm]L^2[/mm] bezeichne ich mit [mm](*|*)[/mm] und es sei
> [mm]||*||_2^2=(*|*)[/mm]
>
> Sei [mm]f_n(t):=e^{it\mu_n}.[/mm]
>
> Klar: [mm]f_n \in L^2[/mm] für jedes n.
>
>
> Mit partieller Integration sieht man:
>
> [mm](f_n|g) \to[/mm] 0 (n [mm]\to \infty)[/mm] für jedes g [mm]\in C^1.[/mm]
>
> Da [mm]C^1[/mm] dicht in [mm]L^2[/mm] ist, folgt:
>
> (*) [mm](f_n|g) \to[/mm] 0 (n [mm]\to \infty)[/mm] für jedes g [mm]\in L^2.[/mm]
>
> Nun nehmen wir an, dass [mm](f_n)[/mm] auf [mm]\IR[/mm] punktweise
> konvergiert.
>
> Sei [mm]f(t):=\limes_{n\rightarrow\infty}f_n(t)[/mm] für t [mm]\in \IR.[/mm]
>
> Dann ist f [mm]\in L^2[/mm] und [mm]||f_n-f||_2 \to[/mm] 0 (n [mm]\to \infty).[/mm]
>
> Dann ist [mm](f|f)=\limes_{n\rightarrow\infty}(f_n|f)[/mm].
Danke für die Idee!
Das sieht sehr gut aus
Gehe ich recht in der Annahme, dass $f [mm] \in L^2$, $||f_n [/mm] - [mm] f||_2 \to [/mm] 0$ im Wesentlichen aus der Beschränktheit von [mm] $f_n$ [/mm] (und damit auch $f$) folgen. Allgemein würde das doch nicht gelten, oder?
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:04 Di 25.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Stephan,
> Hallo fred,
>
> > > Gegeben sei ein Folge [mm](\mu_n)_{n\in\IN}[/mm] in [mm]\IR[/mm] mit [mm]\mu_n \uparrow \infty[/mm].
>
> >
> > >
> > > Zeige, dass es [mm]t\in \IR[/mm] gibt, sodass der Limes
> > > [mm]\lim_{n\to\infty}e^{i t \mu_n}[/mm] nicht existiert.
>
>
>
> > Auf die Schnelle folgende Idee:
> >
> > Es sei [mm]L^2:=L^2([0, 2 \pi], \IC)[/mm] und [mm]C^1:=C^1([0, 2 \pi], \IC)[/mm]
>
> >
> > Das Innenprodukt auf [mm]L^2[/mm] bezeichne ich mit [mm](*|*)[/mm] und es sei
> > [mm]||*||_2^2=(*|*)[/mm]
> >
> > Sei [mm]f_n(t):=e^{it\mu_n}.[/mm]
> >
> > Klar: [mm]f_n \in L^2[/mm] für jedes n.
> >
> >
> > Mit partieller Integration sieht man:
> >
> > [mm](f_n|g) \to[/mm] 0 (n [mm]\to \infty)[/mm] für jedes g [mm]\in C^1.[/mm]
> >
> > Da [mm]C^1[/mm] dicht in [mm]L^2[/mm] ist, folgt:
> >
> > (*) [mm](f_n|g) \to[/mm] 0 (n [mm]\to \infty)[/mm] für jedes g [mm]\in L^2.[/mm]
>
> >
> > Nun nehmen wir an, dass [mm](f_n)[/mm] auf [mm]\IR[/mm] punktweise
> > konvergiert.
> >
> > Sei [mm]f(t):=\limes_{n\rightarrow\infty}f_n(t)[/mm] für t [mm]\in \IR.[/mm]
>
> >
> > Dann ist f [mm]\in L^2[/mm] und [mm]||f_n-f||_2 \to[/mm] 0 (n [mm]\to \infty).[/mm]
>
> >
> > Dann ist [mm](f|f)=\limes_{n\rightarrow\infty}(f_n|f)[/mm].
>
>
> Danke für die Idee!
> Das sieht sehr gut aus
>
> Gehe ich recht in der Annahme, dass [mm]f \in L^2[/mm], [mm]||f_n - f||_2 \to 0[/mm]
> im Wesentlichen aus der Beschränktheit von [mm]f_n[/mm] (und damit
> auch [mm]f[/mm]) folgen. Allgemein würde das doch nicht gelten,
> oder?
was meinst Du mit "dass das i.a. doch nicht gelten würde"? Du hast doch
konkrete [mm] $f_n\,.$ [/mm] Und dass [mm] $f_n \colon [0,2\pi] \to \IC$ [/mm] mit [mm] $f_n(t):=e^{it\mu_n}$ [/mm] eine [mm] $L^2$-Funktion [/mm] ist
(genauer: ein Repräsentant einer Äquivalenzklasse aus [mm] $L^2$), [/mm] das kannst
Du doch per Definitionem nachrechnen:
[mm] $$\int_0^{2\pi} |f_n(t)|^2 \;dt=\text{?}$$
[/mm]
Das Fragezeichen kannst Du mir sicher angeben, und Du wirst sehen, dass
es eine Zahl in [mm] $[0,\infty)\,$ [/mm] ist! (Natürlich spielt hier die Beschränktheit der
[mm] $f_n$ [/mm] eine Rolle, aber über eine allgemeine(re) Aussage brauchen wir uns
doch nicht wirklich Gedanken zu machen!)
Und zu $f [mm] \in L^2:$ [/mm] Ich gebe zu, dass ich das nicht mehr alles so ganz auswendig
weiß, und ich zu faul zum Nachgucken bin. Daher "hoffe" ich, dass die Argumente
so stimmen:
Man überzeuge sich, dass [mm] $(f_n)_n$ [/mm] Cauchyfolge ist bzgl. [mm] $\|.\|$ [/mm] mit [mm] $\|g\|:=\sqrt{(g|g)}$ [/mm] für $g [mm] \in L^2\,.$
[/mm]
Weil [mm] $L^2$ [/mm] vollständig ist, gibt es dann ein [mm] $\underline{f} \in L^2$ [/mm] (genauer: ein [mm] $[\;\tilde{f}\;] \in L^2$ [/mm] mit [mm] $\tilde{f} \in \mathcal{L}^2$)
[/mm]
mit [mm] $\|f_n-\tilde{f}\|_2 \to 0\,.$ [/mm] Und dieses [mm] $\underline{f}=[\;\tilde{f}\;] \in L^2$ [/mm] kann man präzisieren:
[mm] $\underline{f}=[f]\,,$ [/mm] wobei $f [mm] \colon [0,2\pi] \to \IC$ [/mm] eben durch [mm] $f(t):=\lim_{n \to \infty}f_n(t)$ [/mm] ($t [mm] \in [0,2\pi]$) [/mm] definiert sei.
(Nebenbei: Mit $[g] [mm] \in L^2$ [/mm] ist die Äquivalenzklasse aller [mm] $\mathcal{L}^2$-Funktionen [/mm] gemeint, die
fast überall mit $g [mm] \in \mathcal{L}^2$ [/mm] übereinstimmen! $g [mm] \in \mathcal{L}^2$ [/mm] ist also ein Repräsentant
der Äquivalenzklasse $[g] [mm] \in L^2\,.$)
[/mm]
Schau' dazu einfach nochmal in die Lebesguesche Integrationstheorie: Aus
[mm] $\|f_n-f\|_{L^p} \to [/mm] 0$ folgt, dass [mm] $f_n(t) \to [/mm] f(t)$ für fast alle [mm] $t\,.$
[/mm]
Bei Dir:
[mm] $(f_n)_n$ [/mm] (genauer: [mm] $([f_n])_n$) [/mm] ist [mm] $L^2$-Cauchyfolge. [/mm] Also gibt es (ein) [mm] $\tilde [/mm] f [mm] \in \mathcal{L}^2$ [/mm] mit [mm] $\|f_n-\tilde{f}\|_{\mathcal{L}^2} \to 0\,.$
[/mm]
Also folgt [mm] $\lim_{n \to \infty}f_n(t)=\tilde{f}(t)$ [/mm] für fast alle [mm] $t\,.$ [/mm] Mit [mm] $f(t):=\lim_{n \to \infty}f_n(t)$ [/mm] gilt dann aber folglich
[mm] $f(t)=\tilde{f}(t)$ [/mm] für fast alle [mm] $t\,.$ [/mm] Also ist [mm] $\mathcal{L}^2 \ni [/mm] f [mm] \in [\;\tilde{f}\;] \in L^2\,.$ [/mm] D.h. [mm] $[f]=[\;\tilde{f}\;]\,,$ [/mm] was man im Sinne von
[mm] "$L^2$-Funktionen" [/mm] einfach als [mm] $f=\tilde{f}$ [/mm] schreiben könnte - es wäre aber ungünstig,
weil man immer dazuschreiben müsste, dass das im [mm] $L^2$-Sinne [/mm] gemeint ist!
(Man kann auch, sowas hatte ich in meiner Diplomarbeit definiert, schreiben $f [mm] \stackrel{L^2}{=}\tilde{f}\,.$
[/mm]
Das bedeutet dann: [mm] $f,\tilde{f} \in \mathcal{L}^2$ [/mm] (bzw. [mm] $[f],[\;\tilde{f}\;] \in L^2$) [/mm] und [mm] $f(t)=\tilde{f}(t)$ [/mm] für fast alle [mm] $t\,.$)
[/mm]
P.S. "Fast alle" hat hier was mit Nullmengen zu tun - es wird nicht so verwendet:
"...alle bis auf endlich viele..."
wie man es etwa aus der Analysis kennt.
P.P.S. Am saubersten wäre es übrigens, immer Funktionen $f [mm] \in \mathcal{L}^2$ [/mm] halt als [mm] $f\,$
[/mm]
zu schreiben, und die zugehörige Äquivalenzklasse $[f] [mm] \in L^2$ [/mm] halt als [mm] $[f]\,.$ [/mm] Das ist aber
nicht immer und überall so üblich, man schreibt gerne einfach $f [mm] \in L^2$ [/mm] für $[f] [mm] \in L^2$ [/mm]
mit einem Repräsentanten $f [mm] \in [f]\,.$
[/mm]
Wenn man nur [mm] $f=\tilde{f}$ [/mm] schreibt, ist nicht klar, ob man nun [mm] $f=\tilde{f}$ [/mm] für $f, [mm] \tilde{f} \in \mathcal{L}^2$
[/mm]
meint, was bedeutet, dass diese Funktionen "komplett gleich" sind, oder,
ob man [mm] $f=\tilde{f}$ [/mm] für [mm] $f,\tilde{f} \in L^2\,,$ [/mm] also genauer: [mm] $[f]=[\;\tilde{f}\;]$ [/mm] meint: Letzteres besagt ja nur
$f, [mm] \tilde{f} \in \mathcal{L}^2$ [/mm] und [mm] $f=\tilde{f}$ [/mm] fast überall. Daher auch meine Notation $f [mm] \stackrel{L^2}{=}\tilde{f}\,:$
[/mm]
Ich schreibe wirklich [mm] $f=\tilde{f}\,,$ [/mm] wenn ich die komplette Gleichheit dieser
[mm] $\mathcal{L}^2$-Funktionen [/mm] meine. Und ich schreibe $f [mm] \stackrel{L^2}{=}\tilde{f}\,,$ [/mm] wenn ich [mm] $[f]=[\;\tilde{f}\;]$ [/mm] (und $f, [mm] \tilde{f} \in \mathcal{L}^2$) [/mm] meine!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:25 Di 25.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred,
>
> > > Gegeben sei ein Folge [mm](\mu_n)_{n\in\IN}[/mm] in [mm]\IR[/mm] mit [mm]\mu_n \uparrow \infty[/mm].
>
> >
> > >
> > > Zeige, dass es [mm]t\in \IR[/mm] gibt, sodass der Limes
> > > [mm]\lim_{n\to\infty}e^{i t \mu_n}[/mm] nicht existiert.
>
>
>
> > Auf die Schnelle folgende Idee:
> >
> > Es sei [mm]L^2:=L^2([0, 2 \pi], \IC)[/mm] und [mm]C^1:=C^1([0, 2 \pi], \IC)[/mm]
>
> >
> > Das Innenprodukt auf [mm]L^2[/mm] bezeichne ich mit [mm](*|*)[/mm] und es sei
> > [mm]||*||_2^2=(*|*)[/mm]
> >
> > Sei [mm]f_n(t):=e^{it\mu_n}.[/mm]
> >
> > Klar: [mm]f_n \in L^2[/mm] für jedes n.
> >
> >
> > Mit partieller Integration sieht man:
> >
> > [mm](f_n|g) \to[/mm] 0 (n [mm]\to \infty)[/mm] für jedes g [mm]\in C^1.[/mm]
> >
> > Da [mm]C^1[/mm] dicht in [mm]L^2[/mm] ist, folgt:
> >
> > (*) [mm](f_n|g) \to[/mm] 0 (n [mm]\to \infty)[/mm] für jedes g [mm]\in L^2.[/mm]
>
> >
> > Nun nehmen wir an, dass [mm](f_n)[/mm] auf [mm]\IR[/mm] punktweise
> > konvergiert.
> >
> > Sei [mm]f(t):=\limes_{n\rightarrow\infty}f_n(t)[/mm] für t [mm]\in \IR.[/mm]
>
> >
> > Dann ist f [mm]\in L^2[/mm] und [mm]||f_n-f||_2 \to[/mm] 0 (n [mm]\to \infty).[/mm]
>
> >
> > Dann ist [mm](f|f)=\limes_{n\rightarrow\infty}(f_n|f)[/mm].
>
>
> Danke für die Idee!
> Das sieht sehr gut aus
>
> Gehe ich recht in der Annahme, dass [mm]f \in L^2[/mm], [mm]||f_n - f||_2 \to 0[/mm]
> im Wesentlichen aus der Beschränktheit von [mm]f_n[/mm] (und damit
> auch [mm]f[/mm]) folgen.
Es ist [mm] |f_n|=1 [/mm] auf [mm] \IR [/mm] und damit auch |f|=1 auf [mm] \IR
[/mm]
Die Aussagen [mm]f \in L^2[/mm] und [mm]||f_n - f||_2 \to 0[/mm] folgen aus dem Konvergenzsatz von Lebesgue
http://www.maphy.uni-tuebingen.de/lehre/ss-2012/mathematik-iv-fur-physiker/scripts/Kapitel2_2012.pdf
Satz 2.7
FRED
> Allgemein würde das doch nicht gelten,
> oder?
>
>
> Viele Grüße,
> Stefan
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