Limes Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 21:34 Di 21.12.2004 | | Autor: | SERIF |
Hallo zusammen. Ich kann die Formeln nicht umformen, um Grenzwerte zu finden. Kann bitte jemand mir helfen.?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ( [mm] 5^{n}-4^{n}n^{6})
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}((1)+ x/n^{2})^{n} [/mm] mit x [mm] \in \IR
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x^{n}-n/x^{n}+n [/mm] mit x [mm] \in [/mm] [0, [mm] \infty)
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:55 Mi 22.12.2004 | | Autor: | SERIF |
Sorry. Aber wieso hilft mir niemenad. ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:16 Mi 22.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ganz einfach: Weil du keinerlei eigene Ansätze oder Ideen lieferst. Darauf wurdest du vor dem Abschicken deines Beitrages auch extra hingewiesen. Deswegen hat unser Webmaster zurecht auch den Status deines Artikels auf "nur für Interessierte, nicht für Hilfsbereite" eingestuft. Selbstverständlich könnte zum Beispiel ich die Aufgabe ohne Probleme in kürzester Zeit lösen, aber warum sollte ich dir deine Hausaufgaben machen, wenn bei dir selber keinerlei Bemühungen erkennbar sind? Andere sehen das ähnlich, sonst hätte dir längst jemand geantwortet.
Also: Liefere jetzt mal eigene Ansätze (aber ernsthafte, keine Pseudogeschichten) und dann wird sich jemand deiner Probleme annehmen (ich allerdings nicht, denn ich habe gleich einen Kurs).
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:27 Mi 22.12.2004 | | Autor: | SERIF |
Danke für eure Hilfe, war echt net, Danke
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Hallo Marcel,
Also bisher habe ich noch nicht verstanden, was ich mit dieser Wurzeldarstellung anfangen soll. Die Abschätzung finde ich auch seltsam. Sei z.B $x = [mm] 2\!$. [/mm] Dann würde gelten:
[m]0 < e \le \limes_{n \to \infty}{\left(1+\bruch{2}{n^2}\right)^\bruch{n^2}{n}}[/m]
Das kann aber nicht sein, oder? Für $n = [mm] 1\!$ [/mm] ist nämlich $e > [mm] 2\!$ [/mm] und für jedes größere [mm] $n\!$ [/mm] konvergiert das Ganze gegen 1 (wie wir ja jetzt wissen).
Viele Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:31 Fr 24.12.2004 | | Autor: | Karl_Pech |
hab's jetzt an weiteren Beispielen nochmal überprüft. Du hast schon recht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:09 Fr 24.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Karl,
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") , momentan weiß ich jetzt nicht, ob dir die Abschätzung klar ist oder nicht? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Jedenfalls:
[m]0 < e^{x-1} \le \left(1+\frac{x}{n^2}\right)^{n^2} \le e^{x+1} < \infty[/m] für $n [mm] \ge n_0$, [/mm] wobei [mm] $n_0$ [/mm] genügend groß sein soll, hatte ich ja als Tipp gegeben.
Diese Abschätzung stimmt für genügend großes [mm] $n_0$, [/mm] weil:
[m]\left(1+\frac{x}{n^2}\right)^{n^2} \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} e^x[/m] und weil die $e-$Funktion streng monoton wachsend ist. (Die Abschätzungen $0 < [mm] e^{x-1}$ [/mm] und [m]e^{x+1}<\infty[/m] sind dabei ja klar!))
Das hier: [m]\left(1+\frac{x}{n^2}\right)^{n^2} \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} e^x[/m] wiederum gilt, weil die Folge [m]\left(\left(1+\frac{x}{n^2}\right)^{n^2}\right)_{n \in \IN}[/m] eine Teilfolge der Folge [m]\left(\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}\right)_{n \in \IN}[/m] ist, die ja bekanntlich gegen [mm] $e^x$ [/mm] konvergiert.
Etwas unglücklich in dem Tipp ist vielleicht meine Schreibweise mit dem [mm] $n_0$, [/mm] denn das [mm] $n_0$ [/mm] ist von dem $x$ abhängig, also eigentlich [mm] $n_0=n_{0,x}$ [/mm] (diese Schreibweise soll die Abhängigkeit des [mm] $n_0$'s [/mm] von $x$ verdeutlichen).
An dieser Stelle, wo du schreibst:
"[m]0 < e \le \limes_{n \to \infty}{\left(1+\bruch{2}{n^2}\right)^\bruch{n^2}{n}}[/m]"
hattest du anscheinend meinen Tipp nicht genau genug gelesen, laut meines Tippes müßte da eher stehen:
[m]0 < e \le \limes_{n \to \infty}{\left(1+\bruch{2}{n^2}\right)^{n^2}}[/m]
Wenn du es noch nachprüfen möchtest. 
Ich führe es aber mal weiter:
Sei $x [mm] \in \IR$ [/mm] beliebig, aber fest vorgegeben. Dann wissen wir:
[mm] $(\star)$[/mm] [m]0 < e^{x-1} \le \left(1+\frac{x}{n^2}\right)^{n^2} \le e^{x+1} < \infty[/m] gilt für alle $n [mm] \ge n_{0}$, [/mm] wobei [mm] $n_0=n_{0,x}$ [/mm] genügend groß sein soll.
Da die n-te Wurzel (also [mm] $\wurzel[n]{\;_}$) [/mm] für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] für positive Argumente stets wohldefiniert ist und monoton wachsend ist, folgt, wenn wir sie auf [mm] $(\star)$ [/mm] anwenden:
[m]\wurzel[n]{e^{x-1}} \le \wurzel[n]{\left(1+\frac{x}{n^2}\right)^{n^2}} \le \wurzel[n]{e^{x+1}}[/m] für alle $n [mm] \ge n_0=n_{0,x}$, [/mm]
und damit
[m]1 \longleftarrow \wurzel[n]{e^{x-1}} \le \wurzel[n]{\left(1+\frac{x}{n^2}\right)^{n^2}} \le \wurzel[n]{e^{x+1}} \longrightarrow 1[/m] bei $n [mm] \to \infty$, [/mm] und damit wegen des Einschließkriteriums:
[m]\wurzel[n]{\left(1+\frac{x}{n^2}\right)^{n^2}} \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} 1[/m].
Viele Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 Fr 24.12.2004 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo Marcel,
Danke erstmal für die Antwort!
Der Knackpunkt des Beweis bestand offenbar darin zu erkennen, daß es egal ist in welchen Schritten man sich einem Grenzwert (z.B. [mm] $e^x$) [/mm] nähert! Es können quadratische Schritte,
gerade, ungerade, ... Schritte sein, aber nähert man sich der
Unendlichkeit ist das Ergebnis zumindest bei Folgen wohl gleich,
richtig?
Grüße
Karl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:14 Fr 24.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Karl,
> Hallo Marcel,
>
> Danke erstmal für die Antwort!
>
> Der Knackpunkt des Beweis bestand offenbar darin zu
> erkennen, daß es egal ist in welchen Schritten man sich
> einem Grenzwert (z.B. [mm]e^x[/mm]) nähert! Es können quadratische
> Schritte,
> gerade, ungerade, ... Schritte sein, aber nähert man sich
> der
> Unendlichkeit ist das Ergebnis zumindest bei Folgen wohl
> gleich,
> richtig?
Ich denke, du meinst das richtige: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
Das kannst du auch hier nachlesen:
![[]](/images/popup.gif) http://www.math.uni-sb.de/~ag-wittstock/lehre/WS00/analysis1/Vorlesung/node60.html,
Bemerkung 2.7.3
Das ist auch eine leicht zu beweisende Aussage, wobei man nicht mehr als die Definition des Grenzwertes benötigt.
Ein weiterer Knackpunkt ist:
[mm] $\wurzel[n]{r}\stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} [/mm] 1$ für [m]r\in \IR_{>0}[/m].
Viele Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:00 Fr 24.12.2004 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo Marcel,
Ich wollte noch wissen, ob meine ursprüngliche Lösung richtig war?
Grüße
Karl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:46 Fr 24.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Karl,
deine "ursprüngliche Lösung" hat, denke ich, einen kleinen "Schnitzer":
Dieser Schritt
[m]\lim_{n \to \infty}{\left(1+\bruch{\bruch{x}{n}}{n}\right)^n} = \lim_{n \to \infty}e^{\left(\bruch{x}{n}\right)}[/m]
stimmt so ja nicht, da [mm] $\frac{x}{n}$ [/mm] ja keine konstante Zahl ist, sondern eine von $n$ abhängige Folge, also [mm] $\left(\frac{x}{n}\right)_{n \in \IN}$.
[/mm]
Es gilt zwar:
[mm] $\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} e^x$, [/mm] aber dabei wird $x$ ja als feste (reelle) Zahl vorausgesetzt.
Vielleicht kann man deine Argumentation auch noch irgendwie retten (indem mit Stetigkeit zu argumentieren versucht); dazu habe ich mir keine Gedanken mehr gemacht. Vielleicht kommen ja noch andersweitig Vorschläge dazu?!
Und noch nachträglich:
Frohe Weihnachten!
Viele Grüße,
Marcel
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![[clown]](/images/smileys/clown.gif "[clown]"){kind=small}
