Limes Integral Funktionenfolge < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechne [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{\infty}{n*sin(x/n)/(x(1+x²)) dx} [/mm] |
Um das Integral zu berechnen möchte ich entweder den Satz von Riesz-Fischer oder den Satz von der majorisierten Konvergenz verwenden (das waren die, die wir zu diesem Thema in der Vorlesung hatten).
Aber bei Riesz-Fischer ist die Vorraussetzung, dass die Funktionenfolge unter dem Integral [mm] (f_n:=n*sin(x/n)/(x(1+x²))) [/mm] eine Cauchy-Folge ist - da seh ich hier bei dem sinus keine Möglichkeit, oder habe ich da was übersehen?
Beim Satz von der majorisierten Konvergenz muss [mm] (f_n) [/mm] punktweise gegen eine Funktion f konvergieren - auch das seh ich bei dieser Funktion nicht.
Hab ich ein falsches Bild von der Funktionenfolge und eine der beiden Varianten geht doch?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:32 Fr 15.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Berechne [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{\infty}{n*sin(x/n)/(x(1+x²)) dx}[/mm]
Im Quelltext sehe ich, dass es so lautet:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{\infty}{n*sin(x/n)/(x(1+x^2)) dx}[/mm]
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> Um das Integral zu berechnen möchte ich entweder den Satz
> von Riesz-Fischer oder den Satz von der majorisierten
> Konvergenz verwenden (das waren die, die wir zu diesem
> Thema in der Vorlesung hatten).
> Aber bei Riesz-Fischer ist die Vorraussetzung, dass die
> Funktionenfolge unter dem Integral
> [mm](f_n:=n*sin(x/n)/(x(1+x²)))[/mm] eine Cauchy-Folge ist - da seh
> ich hier bei dem sinus keine Möglichkeit, oder habe ich da
> was übersehen?
> Beim Satz von der majorisierten Konvergenz muss [mm](f_n)[/mm]
> punktweise gegen eine Funktion f konvergieren - auch das
> seh ich bei dieser Funktion nicht.
>
> Hab ich ein falsches Bild von der Funktionenfolge und eine
> der beiden Varianten geht doch?
Es ist [mm] f_n(x)=\bruch{sin(x/n)}{x/n}*\bruch{1}{1+x^2}
[/mm]
Damit konv. [mm] (f_n) [/mm] punktweise gegen [mm] \bruch{1}{1+x^2}
[/mm]
Jetzt kannst Du Lebesgue bemühen.
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Ah ja, ok, stimmt. Ein Blick auf die Entwicklung von $ [mm] \bruch{sin(x/n)}{x/n} [/mm] $ zeigt, dass das gegen 1 konvergiert. Danke!
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