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Limes Superior: Verständnisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:56 Sa 03.11.2007
Autor: MartinS83

Aufgabe
Ordnen Sie die folgenden Funktionen aufsteigend nach der Ordnung f(n) [mm] \in [/mm] O(g(n)) und beweisen Sie die Korrektheit der Anordnung.

1: f(n) = [mm] n^{2} [/mm]
2: f(n) = n!

Hallo,

wie oben beschrieben, soll ich die beiden Funkionen nach dem asymptotischen Wachstum ordnen und die Reihenfolge beweisen. Dazu gibt es folgende Definition:

f [mm] \in [/mm] O(g) = 0 [mm] \le \limes_{n\rightarrow\infty}sup \bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] < [mm] \infty [/mm]

Für f(x) habe ich nun [mm] n^{2} [/mm] eingesetzt und für g(x), n!.

Also [mm] :\bruch{n^{2}}{n!} [/mm]

Was sich umformen lässt zu: [mm] \bruch{1}{(n-2)(1-\bruch{1}{n})} [/mm]

Von diesem Ausdruck soll ich nun den limes lim superior berechnen. Falls dieser < [mm] \infty [/mm] ist, so gilt f [mm] \in [/mm] O(g).

Wenn ich in meine obige Gleichung 2 einsetze, erhalte ich als Ergebnis 2. Für jede größere Zahl wird das Ergebnis kleiner. Bedeutet das, dass der lim sup = 2 ist? Ich habe leider Ahnung, wie man den lim sup berechnet. Könnt ihr mir bitte helfen?





        
Bezug
Limes Superior: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:26 So 04.11.2007
Autor: Somebody


> Ordnen Sie die folgenden Funktionen aufsteigend nach der
> Ordnung f(n) [mm]\in[/mm] O(g(n)) und beweisen Sie die Korrektheit
> der Anordnung.
>  
> 1: f(n) = [mm]n^{2}[/mm]
> 2: f(n) = n!
>  Hallo,
>  
> wie oben beschrieben, soll ich die beiden Funkionen nach
> dem asymptotischen Wachstum ordnen und die Reihenfolge
> beweisen. Dazu gibt es folgende Definition:
>  
> f [mm]\in[/mm] O(g) = 0 [mm]\le \limes_{n\rightarrow\infty}sup \bruch{f(x)}{g(x)}[/mm]
> < [mm]\infty[/mm]
>  
> Für f(x) habe ich nun [mm]n^{2}[/mm] eingesetzt und für g(x), n!.
>  
> Also [mm]:\bruch{n^{2}}{n!}[/mm]
>  
> Was sich umformen lässt zu:
> [mm]\bruch{1}{(n-2)(1-\bruch{1}{n})}[/mm]

[notok]

Aber was Du z.B. machen kannst, ist dies:
[mm]\limsup_{n\rightarrow \infty}\frac{n^2}{n!} =\limsup_{n\rightarrow \infty}\left(\frac{1}{(n-2)!}\cdot \frac{n}{n-1}\cdot \frac{n}{n}\right)=\limsup_{n\rightarrow \infty}\left(\frac{1}{(n-2)!}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{n}}\right)=0[/mm]


Das letzte Gleichheitszeichen gilt, weil sogar der Limes des Arguments des vorhergehenden [mm] $\limsup$ [/mm] existiert und gleich $0$ ist.

>  
> Von diesem Ausdruck soll ich nun den limes lim superior
> berechnen. Falls dieser < [mm]\infty[/mm] ist, so gilt f [mm]\in[/mm] O(g).
>  
> Wenn ich in meine obige Gleichung 2 einsetze, erhalte ich
> als Ergebnis 2. Für jede größere Zahl wird das Ergebnis
> kleiner. Bedeutet das, dass der lim sup = 2 ist? Ich habe
> leider Ahnung, wie man den lim sup berechnet.

In einem Falle wie diesem, bei dem sogar der [mm] $\lim$ [/mm] existiert, ist der [mm] $\limsup$ [/mm] einfach gleich dem [mm] $\lim$. [/mm]

Betrachte aber einen Fall, bei dem der [mm] $\lim$ [/mm] nicht existiert, wie etwa
[mm] [center]$\limsup_{n\rightarrow \infty}\left[(-1)^n\cdot \left(1+\frac{3}{n}\right)^n\right]=\mathrm{e}^3$[/center] [/mm]
Dies gilt, weil immerhin der Limes
[mm] [center]$\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{3}{n}\right)^n=\mathrm{e}^3$[/center] [/mm]
existiert und für gerade $n$ jeweils ein positives Argument des obigen [mm] $\limsup$ [/mm] resultiert. Der [mm] $\liminf$ [/mm] wäre entsprechend [mm] $-\mathrm{e}^3$. [/mm]


Bezug
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