Limes berechnen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:40 So 03.10.2010 | | Autor: | Pruckcy |
Hallo ihr Lieben!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich gehe gerade alte Protokolle durch und will einmal [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(-x)*ln(x) [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(-x)*(ln(x))^2 [/mm] berechnen.
für mich ist irgendwie ersichtlich dass
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(-x)*ln(x)=-\infty
[/mm]
und
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(-x)*(ln(x))^2=-\infty
[/mm]
jedoch weiss ich nicht genau wie ich das zeigen soll.
Ich habe mir überlegt, dass ich ja zumindest beim ersten Term das (-x) in der Logarithmus ziehen kann. Aber ist es dann eindeutiger bzw. darf ich das so sagen?
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}*ln(\bruch{1}{x^x})
[/mm]
und bringt mich das wirklich weiter?
Leider habe ich keine Lösungen dazu, so dass ich auch keinen anstoß habe wie ich das lösen könnte.
Schönen Sontag Abend ;o)
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Huhu 
also: Am einfachsten beweisen wirst du das wohl können mit:
Sei [mm] x_n [/mm] eine Folge mit [mm] $\lim_{n\to\infty} x_n [/mm] = [mm] \infty$ [/mm] und [mm] y_n [/mm] eine Folge mit $0 < [mm] \lim_{n\to\infty} y_n \le \infty$, [/mm] so gilt auch [mm] $\lim_{n\to\infty} x_n*y_n [/mm] = [mm] \infty$.
[/mm]
Allerdings sollte dir dafür klar sein, was es heisst, dass eine Folge uneigentlich konvergiert. Tut es das denn?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 So 03.10.2010 | | Autor: | Pruckcy |
Hallo, vielen Dank für die schnelle Antwort.
Du meinst, ich weiss das die beiden Terme einzeln gegen unendlich konvergieren und das dann das zusammenspiel auch konvergiert, da wir hier multiplizieren?
[mm] x_n [/mm] ist dann mein (-x) und 0 < [mm] \lim_{n\to\infty} y_n \le \infty [/mm] mein ln(x) weil das ja die am langsamsten wachsende Funktion überhaupt ist. Ich weiss was uneigentlich konvergenz bedeutet.
Habe die Aufgabe gerade eben noch auf einem anderen Protokoll gelesen. Da steht als Tipp: ersetze t durch [mm] e^x. [/mm] anschließend schreibt man [mm] e^x [/mm] in eine Reihe und schätzt dies ab.
würde man das machen erhalte ich:
[mm] -e^x*(ln(e^x))^2=-e^x*e^{2x}=-e^{3x}
[/mm]
betrachte ich davon den Limes ist ja klar, dass das ganze gegen [mm] -\infty [/mm] geht. Was soll man da noch abschätzen?
Igrnedwie komisch diese Mathematik :D
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:15 So 03.10.2010 | | Autor: | MorgiJL |
Hey!
mach es lieber mit dem math. Satz meines Vorredners (Folgenkriterium, wenn ich mich nich irre).
JA im Endeffekt kannst du dir jeden Faktor einzeln nehmen und abschätzen und dann sagen, dass man multipliziert.
Man sollte in der Vorlesung auch so etwas wie Unendlich * Unendlich ist unendlich bewiesen bekommen.
JAn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:17 So 03.10.2010 | | Autor: | Pruckcy |
ok danke euch Zwein!
In einer mündlichen Prüfung würde ich schon irgendetwas dazu erzählt bekommen :D
Zur Not sage ich einfach "weibliche Intuition" hihihihi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:19 So 03.10.2010 | | Autor: | MorgiJL |
sowas würde ich nieeeee zu nem Mathe Prof sagen, die verstehen das nich ;)
(sorry an alle mathe profs in diesem forum....war nur en scherz :) )
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:23 So 03.10.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
es gelten für Folgen die "normalen" Rechenregeln:
a) [mm] $\pm [/mm] c * [mm] \infty [/mm] = [mm] c*(\pm \infty) [/mm] = [mm] \pm \infty, [/mm] c > 0$
b) [mm] $\pm\infty [/mm] * [mm] (\pm\infty) [/mm] = [mm] \infty$
[/mm]
c) [mm] $\mp\infty [/mm] * [mm] (\pm\infty) [/mm] = - [mm] \infty$
[/mm]
Das einzige, worüber man nicht umgehend eine Antwort geben kann, wäre [mm] $0*(\pm\infty)$.
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 So 03.10.2010 | | Autor: | Pruckcy |
Hallo, jetzt habe ich doch noch eine Frage...
Das mit der 0 und dem unendlich überrascht mich. Ist es nicht egal was ich mit null multipliziere? es ergibt immer 0?
Habe nämlich ein uneigentliches Integral berechnet von
[mm] \integral_{0}^{1}{x*ln(x) dx}
[/mm]
wenn ich das Umforme habe ich am Schluss stehen:
[mm] \limes_{a\rightarrow 0}-ln(x)*\bruch{1}{2}x^2-\bruch{1}{4}+\bruch{1}{4}x^2 [/mm] über die Grenzen von a bis 1
nun geht das
[mm] \bruch{1}{4}a^2 [/mm] gegen 0
[mm] -ln(a)*\bruch{1}{2}a^2 [/mm] und hiervon der ln Term gegen [mm] \infty [/mm] und der [mm] \bruch{1}{2}a^2 [/mm] Term gegen 0
habe daraus geschlossen, dass das Produkt null ist.
Mein Ergebnis von [mm] -\bruch{1}{4} [/mm] stimmt laut derive.
Warum darf ich hier denn [mm] 0*\infty [/mm] als 0 gelten lassen?
Merke gerade, dass ich ausversehen eine Mitteilung geschrieben habe. Schaffe es gerade nicht das rückgängig zu machen. Entschuldigung.
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> Hallo, jetzt habe ich doch noch eine Frage...
> Das mit der 0 und dem unendlich überrascht mich. Ist es
> nicht egal was ich mit null multipliziere? es ergibt immer
> 0?
Betrachte [mm] x_n=\frac{1}{n} [/mm] und [mm] y_n=n^2. [/mm] Dann konvergiert das Produkt offenbar gegen unendlich.
Oder noch extremer:
Sei [mm] x_n=\frac{1}{n} [/mm] und [mm] y_n=an [/mm] mit [mm] $a\in\IR$ [/mm] beliebig. Dann konvergiert das Produkt gegen $a$.
Gruß Patrick
>
> Habe nämlich ein uneigentliches Integral berechnet von
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{x*ln(x) dx}[/mm]
>
> wenn ich das Umforme habe ich am Schluss stehen:
>
> [mm]\limes_{a\rightarrow 0}-ln(x)*\bruch{1}{2}x^2-\bruch{1}{4}+\bruch{1}{4}x^2[/mm]
> über die Grenzen von a bis 1
>
> nun geht das
> [mm]\bruch{1}{4}a^2[/mm] gegen 0
> [mm]-ln(a)*\bruch{1}{2}a^2[/mm] und hiervon der ln Term gegen
> [mm]\infty[/mm] und der [mm]\bruch{1}{2}a^2[/mm] Term gegen 0
>
> habe daraus geschlossen, dass das Produkt null ist.
> Mein Ergebnis von [mm]-\bruch{1}{4}[/mm] stimmt laut derive.
>
> Warum darf ich hier denn [mm]0*\infty[/mm] als 0 gelten lassen?
>
> Merke gerade, dass ich ausversehen eine Mitteilung
> geschrieben habe. Schaffe es gerade nicht das rückgängig
> zu machen. Entschuldigung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 So 03.10.2010 | | Autor: | MorgiJL |
ja, wenn du etwas mit (konstant) Null multiplizierst, dann ist es immer null, weil 0* was großes = 0.
Aber das problem was vorn beschrieben wurde ist, dass du keine aussage treffen kannst (zumindest nicht direkt) wenn du ein Produkt von 2 grenzwerten hast, bei dem der eine GEGEN NULL KONVERGIERT (also nicht gleich 0 ist) und einem, der gegen unendlich konvergeiert,
Klar? ;)...
JAn...
p.s. die mathematiker können das wahrscheinlich mit formeln besser beschrieben, aber ich machs lieber verbal.
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