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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 Sa 19.11.2005 | | Autor: | Niente |
Hallo,
ich soll bei folgenden Folgen den Limes bestimmen
a) ( [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] - [mm] \bruch{n+1}{n})_{n \ge1}
[/mm]
Zunächst einmal habe ich die beiden Brüch umformuliert, erhalte:
[mm] \bruch{-2n - 1}{n(n+1)}. [/mm] Durch einsetzen beliebiger Zahlen habe ich die Vermutung, dass der Bruch gegen 0 strebt. Der Zähler strebt dabei gegen
[mm] -\infty [/mm] und der Nenner gegen [mm] +\infty.
[/mm]
Stimmen meine Überlegungen? Wenn nicht, wie bekomme ich dann einen möglichen Grenzwert raus? Kann ich das auch irgendwie ausrechnen, oder nur abschätzen?
Jetzt vermute ich ma, muss ich das Ganze auch noch irgendwie mit [mm] \varepsilon [/mm] > 0 und N beweisen....
Wie geht das dann? Etwa so?:
[mm] |a_{n}- [/mm] a| < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N
also [mm] |\bruch{-2n - 1}{n(n+1)} [/mm] - 0| < [mm] \varepsilon [/mm]
Wie wähle ich dann das Epsilon? Wie funktioniert das alles?
Bei der Folge
[mm] (\bruch{3n^{4}+2n^{2}+55}{n^{4}})_{n \ge 1}
[/mm]
komme ich genau so wenig voran. Da der Zähler bei großem n beliebig groß ist und der Nenner wesentlich kleiner als der Zähler, glaube ich, dass die Folge gegen unendlich strebt... stimmt das? Und wie zeige ich das?
In der Hoffnung auf Hilfe,
ganz liebe Grüße
;)
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Hallo Niente,
> a) ( [mm]\bruch{n}{n+1}[/mm] - [mm]\bruch{n+1}{n})_{n \ge1}[/mm]
>
> Zunächst einmal habe ich die beiden Brüch umformuliert,
> erhalte:
> [mm]\bruch{-2n - 1}{n(n+1)}.[/mm] Durch einsetzen beliebiger
> Zahlen habe ich die Vermutung, dass der Bruch gegen 0
> strebt.
Das tut er auch. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Bei solchen Folgen ist das Limes-Kalkül sehr nützlich.
Um das "auszurechen" benötigen wir einen Ausklammer-Trick:
[mm]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{ - 2n - 1}}
{{n\left( {n + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n\left( { - 2 - \frac{1}
{n}} \right)}}
{{n\left( {n + 1} \right)}}\mathop = \limits^{\begin{subarray}{l}
{\textrm{und jetzt}} \\
{\textrm{kürzen}} \ldots
\end{subarray}} \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{ - 2 - \frac{1}
{n}}}
{{n + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{ - 2}}
{{n + 1}} = 0[/mm]
Bei der anderen Folge müßtest Du ähnlich vorgehen ("Ausklammer-Trick").
Viele Grüße
Karl
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Wozu der ganze Aufwand? Beide Summanden des Ausgangsterms gehen gegen 1, also geht die Differenz gegen 0.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Sa 19.11.2005 | | Autor: | Niente |
Hallo Karl,
vielen Dank für deine Antwort;).
[mm] {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{ - 2 - \frac{1}
{n}}}
[/mm]
{{n + 1}} = [mm] \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{ - 2}}
[/mm]
{{n + 1}} = 0[/mm]
Wie kommst du denn von dem vorletzen auf den letzen Schritt? Wieso fällt das (- [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] im Zähler weg?
Muss ich denn gar nichts mit der Epsilonumgebung und dem gewählten N machen? Reicht das denn so aus? Ich habe doch gar nicht bewiesen, dass der Grenzwert wirklich 0 ist, oder?
Viele liebe Grüße und nochmal danke;)
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Hallo Niente,
Der Zähler des Bruches besteht ja aus einer konstanten Zahl und aus [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] und Letzteres geht ja für genügend große n gegen 0. Gleichzeitig wird der Nenner des Bruches immer größer.
Viele Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 So 20.11.2005 | | Autor: | Niente |
Hallo,
ich habe von meinem Tutor eine Mail bekommen, dass der ermittelte Grenzwert bewiesen werden muss.
Zu der ersten Aufgabe muss ich also beweisen, dass der Grenzwert 0 stimmt:
[mm] \forall \varepsilon> [/mm] 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N:
[mm] |a_{n} [/mm] - 0| = | [mm] \bruch{-2n-1}{n(n+1)}| [/mm] > [mm] \varepsilon
[/mm]
wie muss ich denn jetzt Epsilon und N wählen? Ich verstehe gar nicht, wie man das überhaupt macht;( :(... HILFE!!!
Danke im Voraus!!
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Hallo,
laß uns nocheinmal zum Anfang zurückgehen.
Das Ziel ist ja die Bestimmung des Grenzwertes von
( [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] - [mm] \bruch{n+1}{n})_{n \ge1},
[/mm]
also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}( \bruch{n}{n+1} [/mm] - [mm] \bruch{n+1}{n}).
[/mm]
Eine weitere Tatsache ist die, daß nahezu kein Student das Hantieren mit [mm] \varepsilon [/mm] und [mm] \delta [/mm] liebt...
Jetzt guck mal in Deine Vorlesungsmitschrift. Dorthin, wo etwas steht über Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten konvergenter Folgen.
Das werden wir nun anwenden:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}( \bruch{n}{n+1} [/mm] - [mm] \bruch{n+1}{n})
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}( \bruch{n}{n+1}) [/mm] - [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}( \bruch{n+1}{n})
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}( \bruch{n}{n+1}* \bruch{ \bruch{1}{n}}{ \bruch{1}{n}}) [/mm] - [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}( \bruch{n+1}{n}*\bruch{ \bruch{1}{n}}{ \bruch{1}{n}})
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}( \bruch{1}{1+ \bruch{1}{n}}) [/mm] - [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+ \bruch{1}{n})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{ \limes_{n\rightarrow\infty}(1+ \bruch{1}{n})} [/mm] - [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+ \bruch{1}{n})
[/mm]
=1-1=0.
Völlig ohne [mm] \varepsilon. [/mm] Klasse, oder?!
Aber ich will mich Deiner [mm] \varepsilon [/mm] - Frage nicht entziehen. Schon um zu zeigen, daß ich das auch kann...
Was will man mit dieser [mm] \varepsilon- [/mm] Geschichte eigentlich? Was soll das? Was verbirgt sich hinter
[mm] (a_n) [/mm] konvergiert gegen a, wenn es
für jedes [mm] \varepsilon \ge0 [/mm] ein N [mm] \in \IN [/mm] gibt mit
[mm] |a_n-a|< \varepsilon [/mm] ?
Auf deutsch heißt das, daß die Folgenglieder beliebig dicht (< [mm] \varepsilon) [/mm] an a heranrücken ( [mm] |a_n-a| [/mm] ). Das N ? Da die Folgenglieder bei Konvergenz beliebig dicht an den Grenzwert heranrücken, findet man eine "Schwelle" N, ab der alle weiteren Folgenglieder einen kleineren Abstand als [mm] \varepsilon [/mm] von a haben. Die Folgenglieder [mm] a_{N+1}, a_{N+2}, a_{N+3}, a_{N+4}... [/mm] liegen dichter als [mm] \varepsilon [/mm] am Grenzwert a. Also liegen die Folgenglieder für jede natürliche Zahl n, die größer ist als N (für alle n>N) dichter als [mm] \varepsilon [/mm] am Grenzwert a.
Das war eine lange Vorrede in der Hoffnung, daß Du meine Rechnung, welche nun folgt, verstehst. Noch eines: nachgedacht darüber, wie ich das N wählen muß, habe ich zuvor auf Schmierpapier. Das sieht, wenn man es präsentiert bekommt, immer so aus, als wäre es vom Himmel gefallen. In Wahrheit schätzt man erstmal klammheimlich ab, überlegt sich ein N, mit welchem es klappt, und schreibt dann alles schön schlüssig auf.
Jetzt geht's wirklich los:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0,
sei N [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] N>\bruch{3}{\varepsilon} [/mm] [So etwas darf man nur schreiben, wenn man sich sicher ist, daß es so ein N auch wirklich gibt. Ich weiß das, und Du solltest es auch wissen: es ist eine Folgerung aus dem Archimedischen Axiom. Das muß man nicht immer schreiben, aber sich zumindest einmal klargemacht haben.]
Es ist
[mm] |a_{n} [/mm] - 0| = | [mm] \bruch{-2n-1}{n(n+1)}| [/mm] =| [mm] \bruch{2n+1}{n(n+1)}| [/mm] =| [mm] \bruch{2n+1}{n^2+n}| \le [/mm] | [mm] \bruch{2n+1}{n^2}|= \bruch{2}{n}+ \bruch{1}{n^2} \le \bruch{2}{n}+\bruch{1}{n}=\bruch{3}{n} \le \bruch{3}{N} \le \bruch{3}{\bruch{3}{\varepsilon}}= \varepsilon
[/mm]
Also konvergiert Deine Folge [mm] (\bruch{-2n-1}{n(n+1)}) [/mm] gegen 0.
Gruß v. Angela
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