Limes durch Integral zeigen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Beweisen sie durch Betrachten von [mm] \integral_{0}^{1}{x^{m} dx} [/mm] die Formel:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1^{m} + 2^{m} + ... + n^{m}}{n^{m+1}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{m+1}
[/mm]
b) Berechnen Sie [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] n [mm] (\bruch{1}{1^{2} + n^{2}} [/mm] + ... + [mm] \bruch{1}{n^{2} + n^{2}}) [/mm] Hinweis: Betrachte [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{1}{1+x^{2}}dx} [/mm] |
So hier komme ich nicht weiter ich kann zwar jeweils die Integrale berechnen
aber keinerlei Schimmer wie ich das zur Anwendung bringe
Bei der a) kommt ja als Stammfunktion [mm] \bruch{1}{m+1}*x^{m+1} [/mm] heraus, wenn ich jetzt die Grenzen einsetze habe ich nachdem Hauptsatz [mm] \bruch{1}{m+1}. [/mm] Aber wie übertrage ich das auf den Limes??
Und bei der b) weiss ich lediglich dass das Integral der arctan ist sonst komm ich hier nicht weiter
lg eddie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:01 Do 24.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> a) Beweisen sie durch Betrachten von
> [mm]\integral_{0}^{1}{x^{m} dx}[/mm] die Formel:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1^{m} + 2^{m} + ... + n^{m}}{n^{m+1}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{m+1}[/mm]
>
> b) Berechnen Sie [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] n
> [mm](\bruch{1}{1^{2} + n^{2}}[/mm] + ... + [mm]\bruch{1}{n^{2} + n^{2}})[/mm]
> Hinweis: Betrachte [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{1}{1+x^{2}}dx}[/mm]
>
> So hier komme ich nicht weiter ich kann zwar jeweils die
> Integrale berechnen
> aber keinerlei Schimmer wie ich das zur Anwendung bringe
>
> Bei der a) kommt ja als Stammfunktion
> [mm]\bruch{1}{m+1}*x^{m+1}[/mm] heraus, wenn ich jetzt die Grenzen
> einsetze habe ich nachdem Hauptsatz [mm]\bruch{1}{m+1}.[/mm] Aber
> wie übertrage ich das auf den Limes??
Für n [mm] \in \IN [/mm] betrachte die Zerlegung
[mm] $\{0, \bruch{1}{n}, \bruch{2}{n}, ...., \bruch{n-1}{n}, \bruch{n}{n}\}$
[/mm]
von [0,1]. Dann hst Du mit
[mm] $S_n:= \summe_{j=0}^{n}\bruch{1}{n}f(\bruch{j}{n})$
[/mm]
eine Riemannsche Zwischensumme für das Integral [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx}
[/mm]
Da [mm] f(x)=x^m [/mm] integrierbar ist, konvergiert [mm] S_n [/mm] wogegen ? Als was erkennst Du [mm] S_n [/mm] wieder ?
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> Und bei der b) weiss ich lediglich dass das Integral der
> arctan ist sonst komm ich hier nicht weiter
Vefahre ähnlich wie bei a)
FRED
>
> lg eddie
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Okay die a) hab ich gelöst bei der b) ist mein Problem dass ich ja keine Grenze an dem Intervall habe soll ich da dann auch einfach 0 und 1 nehmen und wie gehe ich hier vor?
lg eddie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:19 Do 24.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum fragst du und überlegst nicht selbst oder probierst aus, welche Grenzen???
Gruss leduart
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