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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:45 Do 06.01.2011 | | Autor: | M4nuel |
| Aufgabe 1 | | [mm] \limes_{n \to \infty}sin(n*\pi) [/mm] |
| Aufgabe 2 | | [mm] \limes_{n \to \infty}cos(n*\pi) [/mm] |
Hallo Zusammen,
ich habe größere Probleme beim Lösen der obigen Aufgaben. Wie man soweit rationale Funktionen im Grenzwert betrachtet ist mit klar. Jedoch komme ich bei den trigonometrischen Funktionen ins' Stolpern.
n ist Ganzzahlig - das ist mir soweit klar. Auch, dass sich der Grenzwert zwischen 1 und -1 bewegen muss. Für Aufgabe 1 kommt heraus, dass der Grenzwert gegen 0 geht und bei Aufgabe 2 gegen 1 oder -1. Aber warum?
Ich habe schon einige Sachen durchgeforstet, komme aber auf kein zufriedenstellendes Ergebnis. Muss ich da l' Hospital anwenden? Wie ist da die allgemeine Vorgehensweise?
Ich bin um jede Hilfestellung sehr dankbar!
Grüße, Manuel
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Hallo Manuel!
Hast Du einfach mal die ersten Glieder der Folgen berechnet durch einsetzen von $n \ = \ 1, \ 2, \ 3, \ ...$ ?
Gruß vom
Roadrunner
PS: Im übrigen kann ein Grenzwert immer nur exakt ein Wert sein und nicht zwei.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:12 Do 06.01.2011 | | Autor: | M4nuel |
Ja, ich habe mal Werte dafür eingesetzt. Leider kann ich da keine Regelmäßigkeit erkennen. Weil zum Beispiel für n=[5;10;100] erhalte ich [0,27;0,52;-0,71] und da lässt sich nur Erkennen, dass der Wert zwischen 1 und -1 pendelt.
(Zu dem Einsetzten: Unser Prof. nennt das "Taschenrechnermathematik" und akzeptiert diese Lösung nicht :( )
Wegen der 2 Lösungen für die 2. Aufgabe: Muss man da nicht eine Fallunterscheidung für gerade und ungerade machen? Also gäbe es ja theoretisch zwei Grenzwerte...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:34 Do 06.01.2011 | | Autor: | XPatrickX |
Hallo,
> Ja, ich habe mal Werte dafür eingesetzt. Leider kann ich
> da keine Regelmäßigkeit erkennen. Weil zum Beispiel für
> n=[5;10;100] erhalte ich [0,27;0,52;-0,71] und da lässt
> sich nur Erkennen, dass der Wert zwischen 1 und -1
> pendelt.
Ich weiß nicht, was du berechnet hast, aber für
[mm] sin(\pi) [/mm] , [mm] sin(2\pi), sin(3\pi), sin(4\pi), sin(5\pi), [/mm] ....
erhalte ich "schöne" Werte.
> (Zu dem Einsetzten: Unser Prof. nennt das
> "Taschenrechnermathematik" und akzeptiert diese Lösung
> nicht :( )
>
> Wegen der 2 Lösungen für die 2. Aufgabe: Muss man da
> nicht eine Fallunterscheidung für gerade und ungerade
> machen? Also gäbe es ja theoretisch zwei Grenzwerte...
Nicht jede Folge konvergiert.......
Es gibt aber so etwas wie Häufungspunkte, davon darf es mehrere geben.
Gruß Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:37 Do 06.01.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo M4nuel,
> Ja, ich habe mal Werte dafür eingesetzt. Leider kann ich
> da keine Regelmäßigkeit erkennen. Weil zum Beispiel für
> n=[5;10;100] erhalte ich [0,27;0,52;-0,71] und da lässt
> sich nur Erkennen, dass der Wert zwischen 1 und -1
> pendelt.
Nee, erst denken, dann rechnen.
Und vielleicht stellst Du den Taschenrechner mal auf Bogenmaß auf ("RAD"), dann bekommst Du immer das gleiche Ergebnis, nämlich 0.
> (Zu dem Einsetzten: Unser Prof. nennt das
> "Taschenrechnermathematik" und akzeptiert diese Lösung
> nicht :( )
Offenbar mit gutem Grund, siehe oben.
Eine kleine Versuchsreihe kann aber nie schaden, wenn man die Aufgabe so nicht durchblickt.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:11 Do 06.01.2011 | | Autor: | M4nuel |
Momentmal, deine Lösung zu meiner Frage ist also, dass ich den TR auf "RAD" umstellen muss, dann immer das gleiche Ergebnis rausbekomme und das keine "Taschenrechnermathematik" sein soll?!
Ok, der Fehler war also, dass ich nicht auf RAD umgestellt habe. Aber was ist denn die mathematische Begründung dafür? Nur weil ich jetzt durch Einsetzen 0 herausbekomme, ist das ja noch keine Lösung..
Ich habe mir jetzt das Bogenmaß und das mit den Vielfachen von sinus mal angeschaut und da erkennt man ja, dass sinus die Abzisse immer dann schneidet, wenn x = pi ist. Also muss im unendlichen der Grenzwert ja 0 sein, zumal auch deshalb, weil n nur ganzzahlig ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:29 Do 06.01.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo M4nuel,
> Momentmal, deine Lösung zu meiner Frage ist also, dass ich
> den TR auf "RAD" umstellen muss, dann immer das gleiche
> Ergebnis rausbekomme und das keine
> "Taschenrechnermathematik" sein soll?!
Ja, die korrekte Bedienung des Taschenrechners ist schon unumgänglich, wenn man damit zu einer Lösung kommen will. 
> Ok, der Fehler war also, dass ich nicht auf RAD umgestellt
> habe. Aber was ist denn die mathematische Begründung
> dafür? Nur weil ich jetzt durch Einsetzen 0 herausbekomme,
> ist das ja noch keine Lösung..
Natürlich nicht. Aber dass (im Bogenmaß) für $ [mm] k\in\IZ\ \sin{k\pi}=0 [/mm] $ ist, sollte man in der Tat wissen - da bin ich mit weightgainer ganz einig.
> Ich habe mir jetzt das Bogenmaß und das mit den Vielfachen
> von sinus mal angeschaut und da erkennt man ja, dass sinus
> die Abzisse immer dann schneidet, wenn x = pi ist. Also
> muss im unendlichen der Grenzwert ja 0 sein, zumal auch
> deshalb, weil n nur ganzzahlig ist.
Um genau zu sein, sogar nur deshalb.
Du hast es also jetzt durchschaut.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:44 Do 06.01.2011 | | Autor: | M4nuel |
> Natürlich nicht. Aber dass (im Bogenmaß) für [mm]k\in\IZ\ \sin{k\pi}=0[/mm]
> ist, sollte man in der Tat wissen - da bin ich mit
> weightgainer ganz einig.
Super, das hatte mir auch gefehlt - und jetzt weiß ich es!
> Um genau zu sein, sogar nur deshalb.
> Du hast es also jetzt durchschaut.
Super, ihr habt mir weitergeholfen! Danke 
Schönen Abend noch
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Hi,
stell mal Bogenmaß bei deinem Taschenrechner ein - wenn du schon einen benutzen musst.
Eigentlich kann man auch wissen, wie der SIN und COS der Vielfachen von [mm] \pi [/mm] ist.
Dann wird dir auch klar, warum das in diesem Fall so einfach klappt.
lg weightgainer
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