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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:55 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Fry |
Hallo zusammen,
ich hab eine Potenzreihe um 0 mit Konvergenzradius 1 gegeben.
Kann man aus der Existenz von [mm]\limes_{x\rightarrow 1} \summe_{i=1}^{\infty} a_n x^n[/mm] die Konvergenz von [mm]\summe_{i=1}^{\infty} a_n[/mm] folgern?
Falls ja,wieso?
Lieben Gruß
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:15 Mo 10.01.2011 | | Autor: | fred97 |
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> Hallo zusammen,
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> ich hab eine Potenzreihe um 0 mit Konvergenzradius 1
> gegeben.
> Kann man aus der Existenz von [mm]\limes_{x\rightarrow 1} \summe_{i=1}^{\infty} a_n x^n[/mm]
> die Konvergenz von [mm]\summe_{i=1}^{\infty} a_n[/mm] folgern?
> Falls ja,wieso?
Das ist ja mal eine interessante Frage ! Sozusagen die Umkehrung des Abelschen Grenzwertsatzes.
Falls alle [mm] a_n \ge [/mm] 0 sind, habe ich folgende Idee:
Annahme: $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n [/mm] $ wäre divergent.
Ist nun C > 0, so gibt es ein N [mm] \in \IN [/mm] mit: $ [mm] \summe_{n=0}^{N} a_n [/mm] > C$
Wegen $ [mm] \summe_{n=0}^{N} a_n*x^n \to \summe_{n=0}^{N} a_n [/mm] $ für x [mm] \to [/mm] 1, ex. ein r mit 0<r<1 und
$ [mm] \summe_{n=0}^{N} a_n*x^n [/mm] > C/2$
für alle x [mm] \in [/mm] (1-r,1).
Dann gilt aber auch:
$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n*x^n [/mm] > C/2$
für alle x [mm] \in [/mm] (1-r,1). Da C >0 beliebig war, widerspricht das der Existenz von $ [mm] \limes_{x\rightarrow 1} \summe_{n=0}^{\infty} a_n x^n [/mm] $
Somit ist $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n [/mm] $ konvergent.
FRED
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> Lieben Gruß
> Fry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:24 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Fry |
Hey Fred,
vielen Dank für deine schnelle und verständliche Antwort!
Genau um diese "Umkehrung" des AGWS gings mir :).
Daaanke!
LG
Fry
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 13:29 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu fred,
netter Ansatz, aber leider steckt ein Fehler drin.
> Wegen [mm]\summe_{n=0}^{N} a_n*x^n \to \summe_{n=0}^{N} a_n[/mm]
> für x [mm]\to[/mm] 1, ex. ein r mit 0<r<1 und
das muß nicht gelten.
Hier vertauschst du zwei Grenzwerte, was leider (ohne Zusatzvoraussetzungen) nicht funktioniert.
MFG,
Gono.
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 13:37 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
muss meinen Einspruch zurückziehen 
Fred hat natürlich recht.
MFG,
Gono.
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 13:52 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Gono,
> Huhu,
>
> muss meinen Einspruch zurückziehen
> Fred hat natürlich recht.
ja, damit andere es auch sehen, erwähnen wir es mal ausdrücklich:
Bei Fred steht eine "endliche Summe" [mm] $\sum_{n=0}^{\red{N}}\,.$ [/mm] Daher ist seine Vertauschung kein Problem.
Gruß,
Marcel
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Heuser, Aufgaben zu Kapitel 65