Limsup & Liminf < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmes Sie Limessuperior und Limesinferior für folgende Folgen [mm] (a_{n})_{n \in \IN} (\IN [/mm] ohne 0) mit
(i) [mm] a_{n}=\bruch{3n+(-1)^{n} * (5n+1)}{2n}
[/mm]
(ii) [mm] a_{n}=(-1)^{n} [/mm] * [mm] \bruch{n^{2}+1}{n} [/mm] |
Hi,
also meine Vorüberlegungen waren:
(i)
[mm] \bruch{3n+(-1)^{n} * (5n+1)}{2n} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] + [mm] (-1)^{n} [/mm] * [mm] \bruch{5n+1}{2n}, [/mm] also habe ich zwei Teilfolgen [mm] b_{n}=\bruch{3}{2} [/mm] und [mm] c_{n}=(-1)^{n} [/mm] * [mm] \bruch{5n+1}{2n}.
[/mm]
Da [mm] b_{n}= [/mm] konst. ist ja [mm] limsup(b_{n})=liminf(b_{n})=b_{n}
[/mm]
Der [mm] limsup(c_{n}) [/mm] müsste [mm] \bruch{5}{2} [/mm] sein und der [mm] liminf(c_{n}) =-\bruch{5}{2}
[/mm]
Somit ist [mm] limsup(a_{n})= \bruch{3}{2} [/mm] + [mm] \bruch{5}{2} [/mm] = 4
und der [mm] liminf(a_{n}) [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] - [mm] \bruch{5}{2} [/mm] = -1
(ii)
[mm] b_{n}=\bruch{n^{2}+1}{n} [/mm]
[mm] c_{n}=-\bruch{n^{2}+1}{n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow limsup(a_{n})=\infty [/mm] und [mm] liminf(a_{n})=-\infty
[/mm]
Ich hoffe, dass meine Überlegungen bis hier hin i.O. sind.
Meine eigentliche Frage wäre nun: Muss ich das ganze jetzt nun mit einem best. Satz/Def/Kriterium beweisen, dass das so stimmt?
Und wie schreibe ich das ganze mathematisch korrekt auf?
Danke für Feedback
|
|
| |
|
Huhu mathestudi,
> also meine Vorüberlegungen waren:
>
> (i)
> [mm]\bruch{3n+(-1)^{n} * (5n+1)}{2n}[/mm] = [mm]\bruch{3}{2}[/mm] + [mm](-1)^{n}[/mm]
> * [mm]\bruch{5n+1}{2n},[/mm] also habe ich zwei Teilfolgen
> [mm]b_{n}=\bruch{3}{2}[/mm] und [mm]c_{n}=(-1)^{n}[/mm] * [mm]\bruch{5n+1}{2n}.[/mm]
> Da [mm]b_{n}=[/mm] konst. ist ja [mm]limsup(b_{n})=liminf(b_{n})=b_{n}[/mm]
> Der [mm]limsup(c_{n})[/mm] müsste [mm]\bruch{5}{2}[/mm] sein und der
> [mm]liminf(c_{n}) =-\bruch{5}{2}[/mm]
> Somit ist [mm]limsup(a_{n})= \bruch{3}{2}[/mm]
> + [mm]\bruch{5}{2}[/mm] = 4
> und der [mm]liminf(a_{n})[/mm] = [mm]\bruch{3}{2}[/mm] - [mm]\bruch{5}{2}[/mm] = -1
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Man könnte das sogar in 3 TF aufteilen, denn $ [mm] \bruch{5n+1}{2n}$ [/mm] hat ja auch einen eindeutigen Grenzwert, d.h. die "relevante" Folge wäre dann nur [mm] $(-1)^n$
[/mm]
Ober so wie du es gemacht hast, gehts natürlich auch 
> (ii)
> [mm]b_{n}=\bruch{n^{2}+1}{n}[/mm]
> [mm]c_{n}=-\bruch{n^{2}+1}{n}[/mm]
> [mm]\Rightarrow limsup(a_{n})=\infty[/mm] und
> [mm]liminf(a_{n})=-\infty[/mm]
> Ich hoffe, dass meine Überlegungen bis hier hin i.O.
> sind.
> Meine eigentliche Frage wäre nun: Muss ich das ganze
> jetzt nun mit einem best. Satz/Def/Kriterium beweisen, dass
> das so stimmt?
> Und wie schreibe ich das ganze mathematisch korrekt auf?
Nunja, es kommt drauf an, was für Sätze ihr bereits hattet.
Wenn du die GW-Sätze für [mm] \limsup [/mm] und [mm] \liminf [/mm] bereits verwenden darfst, passt das alles so.
Aber auch da würde ich bei der b) das nochmal aufteilen.
MFG,
Gono.
|
|
|
|
