Lin. DGL-System - Transponiert < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:20 Do 19.01.2012 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Es ist ja so, dass man ein System linearer gekoppelter Differentialgleichungen in der Form x' = A*x schreiben kann. Nehmen wir an in der Regelungsnormalform hätte man die Matrix A. So hat das System in der Beobachternormalform die Matrix B = [mm] A^{T}. [/mm] Das heisst man Transponiert einfach die Matrix A.
Nun frage ich mich wie man die Transponierte eines DGL-Sytems interpretieren kann. Was ändert sich dadurch für die jeweiligen Lösungen des Vektor x?
Falls jemand ne Idee hat würd ich mich freuen.
Danke.
Grüsse
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Hallo,
> Hallo,
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> Es ist ja so, dass man ein System linearer gekoppelter
> Differentialgleichungen in der Form x' = A*x schreiben
> kann. Nehmen wir an in der Regelungsnormalform hätte man
> die Matrix A. So hat das System in der Beobachternormalform
> die Matrix B = [mm]A^{T}.[/mm] Das heisst man Transponiert einfach
> die Matrix A.
> Nun frage ich mich wie man die Transponierte eines
> DGL-Sytems interpretieren kann. Was ändert sich dadurch
> für die jeweiligen Lösungen des Vektor x?
>
> Falls jemand ne Idee hat würd ich mich freuen.
>
ich weiss von dem konkreten problem zu wenig, um wirklich eine kompetente antwort zu geben.
Nur ein Gedanke: die lösung solcher gleichungs-systeme mit konstanten koeffizienten ergibt sich ja im grunde dadurch, dass man das exponential der matrix berechnet (siehe zb. ![[]](/images/popup.gif) hier). für dieses wiederum berechnet man das exponential der jordan-normalform (JNF) der matrix und multipliziert dieses anschliessend mit den entsprechenden basiswechsel-matrizen.
der kern meiner idee: die JNF der transponierten matrix ist gleich der JNF der ursprünglichen matrix, d.h. im prinzip sollten die lösungen der beiden gleichungssysteme sehr eng verwandt sein.
Ich hoffe, ich habe dich mit dieser antwort nicht noch weiter verwirrt... 
gruss
matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:56 Do 26.01.2012 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Danke dir für die Idee. Du hast recht, man muss über diesen Ansatz, dass man die Matrix A zerlegt gehen. Transponiert man eine Diagonalmatrix, so erhält man wieder diese Diagonalmatrix. Die Zeitabhängigen Lösungen bzw. Eigenwerte der Transponierten bleiben gleich. Nur werden sie nachher anders gwichtet zurücktransformiert. Und ich frag mich jetzt, was genau an der Rücktransformation anders ist.
A = [mm] T^{-1}*D*T [/mm] so folgt ---> [mm] A^{T} [/mm] = [mm] T^{T}*D*T^{-1}^{T}
[/mm]
Die Matrix T enthält in der Regel die Eigenvektoren (sofern A Diagonalisierbar ist). Jetzt werden die Transponiert. Was bedeutet das geometrisch?
Durchschau das noch nicht so ganz...
Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:41 Do 26.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Gegeben :
(1) x'=Ax.
Seien [mm] s_1,...,s_n [/mm] die Spalten von [mm] e^{tA} [/mm] (t [mm] \in \IR) [/mm] und [mm] z_1, [/mm] ..., [mm] z_n [/mm] die Zeilen von [mm] e^{tA} [/mm] (t [mm] \in \IR) [/mm]
Es gilt: x ist eine Lösung von (1) [mm] \gdw [/mm] es ex. [mm] a_1,...,a_n \in \IR [/mm] mit
[mm] x=a_1s_1+...+a_ns_n.
[/mm]
Betrachte
(2) $x'=A^Tx$.
Wie oben: allg. Lösung von (2) = Linearkombination der Spalten von [mm] $e^{tA^T}$.
[/mm]
Wegen [mm] (e^{tA})^T= $e^{tA^T}$ [/mm] folgt:
x ist eine Lösung von (2) [mm] \gdw [/mm] es ex. [mm] a_1,...,a_n \in \IR [/mm] mit
[mm] x=a_1z_1+...+a_nz_n.
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:40 Sa 28.01.2012 | | Autor: | qsxqsx |
Vielen dank!
...die [mm] a_{k} [/mm] können für beide Fälle die gleichen sein. Sie kommen ja quasi aus dem Vektor [mm] v_{0} [/mm] der sich aus den Anfangsbedingungen des DGL-Systems ergibt. x(t) = [mm] e^{A*t}*v_{0}. [/mm] Nur irgendwie bin ich immer noch dran am knobeln.
Man kann die Transponierung als Basiswechsel sehen? Man bezieht dann alles auf [mm] A^{T} [/mm] anstelle A. Es gibt ja auch sicherlich sofern A invertierbar ist eine Transformationsmatrix G für die gilt G*A = [mm] A^{T}. [/mm] Irgendwie blick ichs intuitiv leider doch noch nicht.
Grüsse
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