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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:07 So 04.12.2011 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Man zeige:
[mm] $\{v_1,v_2,v_3\}$ [/mm] l.u. [mm] \Rightarrow $\{v_1,v_2\}, \{v_1,v_3\}, \{v_2,v_3\}, \{v_1\}, \{v_2\}, \{v_3\} [/mm] $ l.u. |
Da ich keine unnötoge Fleißaufgabe machen will, versuche ich gleich folgende Verallgemeinerung dessen zu beweisen:
Ich zeige, dass jede nichtleere Teilmenge einer linear unabhängigen Menge $S = [mm] \{v_1,v_2,\ldots, v_r \}$ [/mm] selbst linear unab. ist.
Und zwar folgendermaßen:
Sei $S= [mm] \{v_1, v_2, \ldots, v_r\} \subseteq \mathbb{R}^n [/mm] $
Seien
[mm] v_1 [/mm] = [mm] (v_{11}, v_{12},\ldots, v_{1r}) [/mm]
[mm] v_2 [/mm] = [mm] (v_{21}, v_{12}, \ldots, v_{2r}) [/mm]
[mm] \vdots [/mm]
[mm] v_r [/mm] = [mm] (v_{r1}, v_{r_2}, \ldots, v_{r_n}) [/mm]
Nun gilt nach Voraussetzung:
[mm] v_{11} k_1 [/mm] + [mm] v_{21}{k_2} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] v_{r_1}k_n [/mm] = 0, [mm] k_i [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] i
[mm] \vdots [/mm]
[mm] v_{1n }k_1 [/mm] + [mm] v_{2n}{k_2}+ \ldots [/mm] + [mm] v_{rn}k_n [/mm] = 0, [mm] k_i [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] i
Nun, wenn alle [mm] $k_i$ [/mm] 0 sind, dann doch erst recht alle vorherigen. Ich kann jedoch nicht ganz sicher begründen, warum es für alle vorigen nur triviale Lösungen geben kann und bitte Euch hier um Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:32 Mo 05.12.2011 | | Autor: | Stoecki |
überlege dir folgenden widerspruchsbeweis:
seien [mm] {v_i,..., v_n} [/mm] linear unabhängig. dann gilt [mm] k_1 v_1 [/mm] +...+ [mm] k_n v_n [/mm] = 0 hat nur die lösung [mm] k_i [/mm] = 0 für alle i=1,...,n
was wäre denn jetzt, wenn nur eine teilsumme davon betrachtet werden würde (z.B. i=1,...,n-1)?
kann es dann eine andere lösung als [mm] k_1 [/mm] = ... = [mm] k_{n-1} [/mm] = 0 geben? warum nicht?
wenn das klar ist, hast du für deine aussagen einen beweis
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