Lin. unab. lin. Funktionen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:20 Mo 22.10.2007 | | Autor: | MathiasK |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
| Aufgabe | [mm] D_2 [/mm] ist ein linearer Raum aller Polynome [mm] p(x)=a_0+a_1*x+a_2*x^2 [/mm] mit reellen Koeffizienten. Seien [mm] r_1, r_2 [/mm] und [mm] r_3 [/mm] unterschiedliche reelle zahlen, und sei [mm] L_1=p(r_1), L_2=p(r_2) [/mm] und [mm] L_3=p(r_3). [/mm] Zeige, dass die linearen Funktionen [mm] L_1, L_2 [/mm] und [mm] L_3 [/mm] linear unabhängig sind.
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Hallo
Ich komme leider bei dieser Aufgabe nicht weiter. Ob die Funktionen linear unabhängig sind hängt doch auch von den Koeffizienten ab? Wenn zum Beispiel alle Koeffizienten gleich 0 sind, dann sind die linearen Funktionen doch auf keinen Fall linear unabhängig, oder gehe ich in die falsch Richtung?
Besten Dank für jegliche Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:28 Mo 22.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathias,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Stelle die Linearkombination [mm] $k_1*L_1+k_2*L_2+k_3*L_3 [/mm] \ = \ 0 \ = \ [mm] 0+0*r+0*r^2$ [/mm] auf und zeige, dass hier nur die Triviallösung [mm] $k_1=k_2=k_3=0$ [/mm] gültig ist:
[mm] $$k_1*L_1+k_2*L_2+k_3*L_3 [/mm] \ = \ 0$$
[mm] $$k_1*p(r_1)+k_2*p(r_2)+k_3*p(r_3) [/mm] \ = \ 0$$
[mm] $$k_1*\left(a_0+a_1*r_1+a_2*r_1^2\right)+k_2*\left(a_0+a_1*r_2+a_2*r_2^2\right)+k_3*\left(a_0+a_1*r_3+a_2*r_3^2\right) [/mm] \ = \ 0$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Mo 22.10.2007 | | Autor: | MathiasK |
Hallo Loddar
Besten Dank für deine Hilfe!!
Ich habe versucht die lineare Unabhängigkeit durch umformen der Gleichung zu zeigen, aber es leuchtet mir noch nicht ganz ein warum
[mm] k1(a0+a1*r1+a2*r1^2)+k2(ao+a1*r2+a2*r2^2)=k3(ao+a1*r3+a2*r3^2)
[/mm]
nur dann möglich ist, wenn k1=k2=k3=0?
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> Ich habe versucht die lineare Unabhängigkeit durch
> umformen der Gleichung zu zeigen, aber es leuchtet mir noch
> nicht ganz ein warum
Hallo,
ich mag mich täuschen, aber ich habe im Moment den Eindruck, daß Du die Aufgabenstellung nicht so richtig verstanden hast, und sie daher nicht völlig korrekt wiedergegeben.
Ich vermute, daß die Aufgabe so gedacht ist:
Es sei [mm] D_2 [/mm] der lineare Raum der reellen Polynome vom Höchstgrad 2, und [mm] r_1,r_2,r_3 [/mm] paarweise verschiedene reelle Zahlen.
Nun definiert man drei Funktionen
[mm] L_1, L_2, L_3: D_2 \to \IR [/mm] durch
[mm] L_1(p):=p(r_1),
[/mm]
[mm] L_2(p):=p(r_2),
[/mm]
[mm] L_3(p):=p(r_3) [/mm] für alle [mm] p\in D_2.
[/mm]
Diese [mm] L_i [/mm] sind jeweils lineare Funktionen (warum eigentlich?).
Es ist nun zu zeigen, daß die Funktionen [mm] L_1, L_2, L_3 [/mm] linear unabhängig sind.
Nachdem die Aufgabenstellung nun steht, nähern wir uns dem, was Loddar Dir gesagt hat:
Die Frage ist, ob aus [mm] k_1L_1+k_2L_2+k_3L_3=0 [/mm] folgt, daß [mm] k_1=k_2=k_3=0 [/mm] sein muß.
Dieser Frage werden wir nun nachgehen.
Es seien [mm] k_1,k_2,k_3 \in \IR [/mm] mit
[mm] k_1L_1+k_2L_2+k_3L_3=Null.
[/mm]
Laß uns kurz innehalten zur Meditation darüber, was wir da nun vor uns sehen.
Links des Gleicheitszeichens haben wir eine Summe von Funktionen von [mm] D_2 \to \IR [/mm] stehen, also eine Funktion von [mm] D_2 \to \IR.
[/mm]
Und rechts?
Dir wird aufgefallen sein. daß ich "Null" geschrieben habe und nicht die entsprechende Ziffer.
Das hat einen Grund: wir haben es hier nicht mit der Zahl 0 zu tun, sondern mit der Null, dem neutralen Element im Raum der Funktionen von [mm] D_2\to \IR. [/mm] Was ist die Null hier? Die Funktion [mm] N:D_2 \to \IR [/mm] mit N(p):=0 für alle [mm] p\in D_2.
[/mm]
Verwenden wir diese Abkürzung, so haben wir
[mm] k_1L_1+k_2L_2+k_3L_3=N.
[/mm]
Nochmal: es geht hier um die Gleichheit von Funktionen.
Wann sind zwei Funktionen gleich? Wenn sie an allen Stellen übereinstimmen.
Für uns bedeutet das:
(*) Für alle [mm] p\in D_2 [/mm] gilt
[mm] k_1L_1(p)+k_2L_2(p)+k_3L_3(p)=N(p)=0,
[/mm]
und nach Def. der [mm] L_i [/mm] haben wir somit
[mm] k_1p(r_1)+k_2p(r_2)+k_3p(r_3)=0.
[/mm]
Nun erinnern wir uns an (*). Das gilt für alle [mm] p\in D_2.
[/mm]
Also für jedes beliebige Polynom von Höchstgrad 2.
Also gilt das z.B. auch für die Polynome [mm] q,r,s\in D_2 [/mm] mit
q(x):=1, r(x):=x, [mm] s(x):=x^2.
[/mm]
(Ich wähle hier drei Polynome aus, weil wir oben drei Variable haben, die zu berechnen sind.)
Es folgt
[mm] k_1q(r_1)+k_2q(r_2)+k_3q(r_3)=0
[/mm]
[mm] k_1r(r_1)+k_2r(r_2)+k_3r(r_3)=0
[/mm]
[mm] k_1s(r_1)+k_2s(r_2)+k_3s(r_3)=0
[/mm]
<==>
[mm] k_1*1+k_2*1+k_3*1=0
[/mm]
[mm] k_1*r_1+k_2*r_2+k_3*r_3=0
[/mm]
[mm] k_1*r_1^2+k_2*r_2^2+k_3*r_3^2=0
[/mm]
Hier haben wir nun ein lineares Gleichungssystem bestehend aus drei Gleichungen mit den drei Variablen [mm] k_1, k_2, k_3.
[/mm]
Dieses ist nun zu lösen, und an der Lösung kannst Du dann entscheiden, ob die Funktionen [mm] L_i [/mm] linear unabhängig sind, oder nicht.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:03 Mo 22.10.2007 | | Autor: | MathiasK |
Hallo Angela,
Ich habe es nun begriffen. Herzlichen Dank für deine Hilfe!!!
Gruss
Mathias
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