Linea. Gleichungssystem lösen. < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:17 Fr 12.09.2008 | | Autor: | low_head |
| Aufgabe | | Lösen sie das lineare Gleichungssystem. |
Ich wollte die Aufgabe mit dem Gauss-Verfahren lösen, hab aber eine Schwierigkeit bekommen.
0x1+0,6x2+1,8x3=3
0,3x1+1,2x2+0x3=0
0,5x1+0x2+1x3=1
In der Matrixschreibweise ergibt das:
1) 0 0,6 1,8 | 3
2) 0,3 1,2 0 | 0
3) 0,5 0 1 | 1
Nun weiß ich aber nicht, was ich aus der 0 bei x1 in der ersten Gleichung mache. Ich benötige da ja eine 1.
Kann mir wer einen Tipp bzw. Hilfe geben?
Gruß low
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:22 Fr 12.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Vertausche dann einfach mal die Zeilen das geht ja:
Aus
[mm] \pmat{0&0,6&1,8&|&3\\0,3&1,2&0&|&0\\0,5&0&1&|&1}
[/mm]
Kannst du ja ohne Probleme
[mm] \pmat{0,3&1,2&0&|&0\\0&0,6&1,8&|&3\\0,5&0&1&|&1}
[/mm]
machen
Marius
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:37 Fr 12.09.2008 | | Autor: | low_head |
Das hab ich auch gemacht, aber
wie gehe ich dann mit den x1 Wert in der 3ten Gleichung um?
Kann ich sie mit der 0 aus der 2ten Gleichung eliminieren?
Ich kann die 0,3 aus der 1st Gleichung ja nicht nehmen, da aus der später durch Multiplikation eine eins werden soll.. oder irre ich mich?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 Fr 12.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Das hab ich auch gemacht, aber
> wie gehe ich dann mit den x1 Wert in der 3ten Gleichung um?
>
> Kann ich sie mit der 0 aus der 2ten Gleichung eliminieren?
>
> Ich kann die 0,3 aus der 1st Gleichung ja nicht nehmen, da
> aus der später durch Multiplikation eine eins werden soll..
> oder irre ich mich?
Du nimmst die erste Gleichung zur Hilfe, um damit aus der dritten Gleichung in der ersten Zeile eine Null zu bekommen.
Hier also:
$ [mm] \pmat{0,3&1,2&0&|&0\\0&0,6&1,8&|&3\\0,5&0&1&|&1} [/mm] $
Gl1*0,5 und Gl3*0,3
$ [mm] \pmat{0,15&0,6&0&|&0\\0&0,6&1,8&|&3\\0,15&0&0,3&|&0,3} [/mm] $
Und jetzt GL1-GL3:
$ [mm] \pmat{0,15&0,6&0&|&0\\0&\green{0,6}&1,8&|&3\\\red{0}&\green{0,6}&-0,3&|&-0,3} [/mm] $
Jetzt solltest du keine Probleme mehr bekommen, du kannst jetzt GL2 direkt mit GL3 "verarbeiten"
$ [mm] \pmat{0,15&0,6&0&|&0\\0&0,6&1,8&|&3\\0&\green{0}&2,1&|&3,3} [/mm] $
Marius
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Fr 12.09.2008 | | Autor: | low_head |
$ [mm] \pmat{0,15&0,6&0&|&0\\0&0,6&1,8&|&3\\0,15&0&0,3&|&0,3} [/mm] $
soweit kann ich dir Folgen. Nun versteh ich aber nicht wie du von diesem Schritt auf den:
$ [mm] \pmat{0,15&0,6&0&|&0\\0&\green{0,6}&1,8&|&3\\\red{0}&\green{0,6}&-0,3&|&-0,3} [/mm] $
gekommen bist.
Wieso ist das x1 der 3ten Gleichung nun eine 0 aber das x1 der 1st immer noch 0,15. Müsste dies auch nicht zur 0 werden?
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> [mm]\pmat{0,15&0,6&0&|&0\\0&0,6&1,8&|&3\\0,15&0&0,3&|&0,3}[/mm]
>
> soweit kann ich dir Folgen. Nun versteh ich aber nicht wie
> du von diesem Schritt auf den:
>
> [mm]\pmat{0,15&0,6&0&|&0\\0&\green{0,6}&1,8&|&3\\\red{0}&\green{0,6}&-0,3&|&-0,3}[/mm]
>
> gekommen bist.
>
> Wieso ist das x1 der 3ten Gleichung nun eine 0 aber das x1
> der 1st immer noch 0,15. Müsste dies auch nicht zur 0
> werden?
Hallo,
die erste Gleichung ist völlig unberührt geblieben.
Die dritte ist entstanden, indem zu der alten dritten das (-1)fache der ersten addiert wurde.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Fr 12.09.2008 | | Autor: | low_head |
Ich habs nun versucht ganz zu lösen.. und dabei kam raus:
$ [mm] \pmat{0,15&0,6&0&|&0\\0&0,6&1,8&|&3\\0&\green{0}&2,1&|&3,3} [/mm] $
-0,15 0 1,8 | 3
0 0,6 1,8 | 3
0 0 2,1 | 3,3
-0,15 0 0 | 3
0 0,6 0 | 3
0 0 2,1| 3,3
1 0 0 | -20
0 1 0 | 5
0 0 1 | 11/7
Ich denke ich hab nen Fehler gemacht :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Fr 12.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Wo ist denn die 1,8 (2. Zeile, 3. Stelle geblieben)?
$ [mm] \pmat{0,15&0,6&0&|&0\\0&0,6&\red{1,8}&|&3\\0&0&\red{2,1}&|&3,3} [/mm] $
An den beiden Rot markierten Stellen müssen jetzt im nächsten Schritt identische Zahlen stehen (oder auch Gegenzahlen, z.B. -4 und 4)
Dazu nimm man GL2*2,1 und GL3*1,8
Somit ergibt sich:
[mm] \pmat{0,15&0,6&0&|&0\\0&3,5&\red{3,78}&|&6,3\\0&0&\red{3,78}&|&5,94} [/mm]
Jetzt GL2-GL3 (ersetze mit dem Ergebnis GL2)
[mm] \pmat{0,15&0,6&0&|&0\\0&3,5&\red{0}&|&0,36\\0&0&3,78&|&5,94} [/mm]
Jetzt musst du nur noch GL2 und GL1 passend verarbeiten, dass du folgendes hast:
[mm] \pmat{0,15&\blue{0}&0&|&\blue{...}\\0&\blue{...}&0&|&\blue{...}\\0&0&3,78&|&5,94} [/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Fr 12.09.2008 | | Autor: | low_head |
So.. erstmal..
$ [mm] \pmat{0,15&0,6&0&|&0\\0&3,5&\red{3,78}&|&6,3\\0&0&\red{3,78}&|&5,94} [/mm] $
Wie kommst du da auf 3,5 bei x2 in Gl 2? Ich komme auf 1,26 wenn ich 0,6 mit 2,1 multipliziere. Tippfehler oder hab ich was vergessen zu berechnen?
Dann kommt bei mir das raus:
0,15 0,6 0 | 0
0 1,26 3,78 | 6,3
0 0 3,78 | 5,94
dann subtrahiere ich Gl2 und Gl3
0,15 0,6 0 | 0
0 1,26 0 | 0,36
0 0 3,78 | 5,94
dann Gl1*1,26 und Gl2*0,6
0,189 0,756 0 | 0
0 0,756 0 | 0,216
0 0 3,78 | 5,94
Gl1-Gl2
0,189 0 0 | -0,216
0 0,756 0 | 0,216
0 0 3,78 | 5,94
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> So.. erstmal..
>
> [mm]\pmat{0,15&0,6&0&|&0\\0&3,5&\red{3,78}&|&6,3\\0&0&\red{3,78}&|&5,94}[/mm]
>
> Wie kommst du da auf 3,5 bei x2 in Gl 2? Ich komme auf 1,26
> wenn ich 0,6 mit 2,1 multipliziere. Tippfehler oder hab ich
> was vergessen zu berechnen?
Hallo,
Du rechnest völlig richtig. die 3.5 ist ein Fehler.
>
> Dann kommt bei mir das raus:
>
> 0,15 0,6 0 | 0
> 0 1,26 3,78 | 6,3
> 0 0 3,78 | 5,94
>
> dann subtrahiere ich Gl2 und Gl3
>
> 0,15 0,6 0 | 0
> 0 1,26 0 | 0,36
> 0 0 3,78 | 5,94
>
> dann Gl1*1,26 und Gl2*0,6
>
> 0,189 0,756 0 | 0
> 0 0,756 0 | 0,216
> 0 0 3,78 | 5,94
>
> Gl1-Gl2
>
> 0,189 0 0 | -0,216
> 0 0,756 0 | 0,216
> 0 0 3,78 | 5,94
>
Das, was Du hier tust, sieht sinnvoll aus, jede Multiplikation nachrechnen tue ich jetzt nicht. Aus der letzten Matrix erhältst Du ja die Lösung. Das Ergebnis kannst Du durch Einsetzen kontrollieren.
Ich weiß ja nicht, wie gut Du rechnen kannst. Ich selbst bin nicht so'n toller Rechner, daher trenne ich mich gerne schnell von Kommazahlen und versuche außerdem Einsen zu erzeugen, auch wenn ich 'ne Zeile mehr schreiben muß.
$ [mm] \pmat{0,3&1,2&0&|&0\\0&0,6&1,8&|&3\\0,5&0&1&|&1} [/mm] $ --> $ [mm] \pmat{3&12&0&|&0\\0&6&18&|&30\\5&0&10&|&10} [/mm] $ --> $ [mm] \pmat{1&4&0&|&0\\0&1&3&|&5\\1&0&2&|&2} [/mm] $ --> [mm] \pmat{1&4&0&|&0\\0&1&3&|&5\\0&4&-2&|&-2} [/mm] --> [mm] \pmat{1&4&0&|&0\\0&4&12&|&20\\0&4&-2&|&-2} [/mm] --> [mm] \pmat{1&4&0&|&0\\0&4&12&|&20\\0&0&14&|&22} [/mm] --> [mm] \pmat{1&4&0&|&0\\0&4&12&|&20\\0&0&1&|&\bruch{11}{7}} [/mm] --> [mm] \pmat{1&4&0&|&0\\0&\bruch{1}{3}&1&|&\bruch{5}{3}\\0&0&1&|&\bruch{11}{7}} [/mm] --> [mm] \pmat{1&4&0&|&0\\0&\bruch{1}{3}&0&|&\bruch{5}{3}-\bruch{11}{7}\\0&0&1&|&\bruch{11}{7}} [/mm] --> [mm] \pmat{1&4&0&|&0\\0&1&0&|&5-\bruch{33}{7}\\0&0&1&|&\bruch{11}{7}} [/mm] --> [mm] \pmat{\bruch{1}{4}&1&0&|&0\\0&1&0&|&5-\bruch{33}{7}\\0&0&1&|&\bruch{11}{7}} [/mm] --> [mm] \pmat{\bruch{1}{4}&0&0&|&-5+\bruch{33}{7}\\0&1&0&|&5-\bruch{33}{7}\\0&0&1&|&\bruch{11}{7}} [/mm] --> [mm] \pmat{\1&0&0&|&-20+\bruch{33*4}{7}\\0&1&0&|&5-\bruch{33}{7}\\0&0&1&|&\bruch{11}{7}} [/mm]
ergibt
[mm] x_1=-\bruch{-8}{7}
[/mm]
[mm] x_2=\bruch{2}{7}
[/mm]
[mm] x_3=\bruch{11}{7},
[/mm]
und ich sehe (nun doch unter Zuhilfenahme des Taschenrechners...), daß Du zur selben Lösung gekommen bist. Sie ist richtig, wie die Probe bestätigt.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:38 Fr 12.09.2008 | | Autor: | Timmi |
Hallo!
Nur mal als Tipp:
Das Gausverfahren kann zwar schnell zu Lösung führen aber oft dreht man sich auch im Kreis.
So würde ich raten (wenn es mit Gaus harpert!) es mit der Cramerschen Regel zu machen.
das dauert zwar, aber es geht nach dem Schema F und führt sicher zur richtigen Lösung.
So geht es mir!
Nur ne Idee!
Viele Grüße Timmi
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Fr 12.09.2008 | | Autor: | low_head |
Wie sieht den die Cramerschen Regel aus?
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> Wie sieht den die Cramerschen Regel aus?
Hallo,
Du kannst das ![[]](/images/popup.gif) hier nachlesen.
Sehr weit kommt man mit dieser Regel nicht, denn sie taugt prinzipiell nur fürs Lösen von linearen Gleichungssystemen, welche eine eindeutige Lösung haben.
Außerdem sind lauter Determinanten zu berechnen, was (wenn sie größer als 2x2 sind) mühsam und fehlerträchtig ist.
Ein richtig durchgeführter Gaußalgorithmus funktioniert immer. Nix dreht sich da, sondern man geht geraden Schrittes auf das Ziel zu. Und kommt an.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:45 Fr 12.09.2008 | | Autor: | abakus |
>
> Hallo!
>
> Nur mal als Tipp:
> Das Gausverfahren kann zwar schnell zu Lösung führen aber
> oft dreht man sich auch im Kreis.
Hallo, wenn eine Lösung eindeutig existiert und man das Verfahren konsequent durchzieht, dreht man sich nie im Kreis.
Gruß Abakus
> So würde ich raten (wenn es mit Gaus harpert!) es mit der
> Cramerschen Regel zu machen.
> das dauert zwar, aber es geht nach dem Schema F und führt
> sicher zur richtigen Lösung.
>
> So geht es mir!
>
> Nur ne Idee!
>
> Viele Grüße Timmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:16 Fr 12.09.2008 | | Autor: | Timmi |
> >
> > Hallo!
> >
> > Nur mal als Tipp:
> > Das Gausverfahren kann zwar schnell zu Lösung führen
> aber
> > oft dreht man sich auch im Kreis.
>
> Hallo, wenn eine Lösung eindeutig existiert und man das
> Verfahren konsequent durchzieht, dreht man sich nie im
> Kreis.
>
natürlich, wenn man fitt ist und es beherrscht, keine Frage.
Aber hier zeigt sich und ich weiß es aus eigener Erfahrung, dass man oft Schritte macht die man gar nicht bräuchte.
Und so länger für das Ergebnis braucht.
Man kann es in 4 Schritten schaffen und wenn man fitt ist ja auch 3 gleichzeitig machen.
Nur es kann eben längst nicht jeder und Fehler sind immer möglich.
Bei Cramer kann man nach einem Schema vorgehen "fast" ohne zu überlegen was man als nächtes macht da jeder Schritt
vorgegeben ist. Größer als 2*2 Matrix geht natürlich auch!
Den Aufwand zweifel ich auch gar nicht an, aber mit Übung alles machbar!
und um zu prüfen ob es Lösungen gibt kann man ja den Taschenrechner benutzen, der macht das in ner Minute..
Auch bei Determinanten hilft das.Natürlich nur zur Fehlervorbeugung
Muss natürlich jeder selbst wissen...
Gruß Timmi
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> 1) 0 0,6 1,8 | 3
> 2) 0,3 1,2 0 | 0
> 3) 0,5 0 1 | 1
Es fällt hier auf:
Wenn du Gleichung 1) mit zwei multiplizierst und dann von Gleichung 2) subtrahierst, dann fällt [mm] x_{2} [/mm] weg.
In Gleichung 3) ist [mm] x_{2} [/mm] schon von Anfang an weg.
Also hast du nun nur noch 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten, und das sollte für dich lösbar sein.
GANZ ALLGEMEIN kannst du immer aus x Gleichungen mit x Unbekannten ==> (x-1) Gleichungen mit (x-1) Unbekannten machen ==> und daraus dann (x-2) Gleichungen mit (x-2) Unbekannten etc. bis du am Ende bei 1 Gleichung mit 1 Unbekannten angelangt bist.
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