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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 Fr 18.11.2011 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | 1. Seien n,m [mm] \in \IN [/mm] und [mm] a_{ij} \in \IR. [/mm] Zeige, dass die Abbildung [mm] \delta [/mm] : [mm] \IR^n [/mm] -> [mm] \IR^m,
[/mm]
[mm] \delta \begin{pmatrix} x_1\\.\\.\\.\\x_n \end{pmatrix} [/mm] := [mm] \begin{pmatrix} a_{11}x_1+...+a_{1n}x_n\\.\\.\\.\\a_{m1}x_1+...+a_{mn}x_n \end{pmatrix} [/mm] = [mm] x_1 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} a_{11}\\.\\.\\.\\a_{m1} \end{pmatrix} [/mm] + ...+ [mm] x_n \begin{pmatrix} a_{1n}\\.\\.\\.\\a_{mn} \end{pmatrix}
[/mm]
linear ist, d.h. für alle x, ˜x [mm] \in \IR^n [/mm] und alle [mm] \lambda \in \IR [/mm] gilt
[mm] \delta [/mm] (x + ˜x) = [mm] \delta [/mm] (x) + [mm] \delta [/mm] (˜x) und [mm] \delta [/mm] ( [mm] \lambda [/mm] x) [mm] =\lambda [/mm] (x). |
Ich schau dass an und verzweifle innerlich!
Abbildung.
y ist sozusagen das hier
[mm] \begin{pmatrix} a_{11}x_1+...+a_{1n}x_n\\.\\.\\.\\a_{m1}x_1+...+a_{mn}x_n \end{pmatrix}
[/mm]
Was setzte ich ein für ˜x und x?
[mm] \delta [/mm] (x + ˜x) = [mm] \delta [/mm] (x) + [mm] \delta [/mm] (˜x) und [mm] \delta (\lambda [/mm] x) [mm] =\lambda [/mm] (x).
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Hi,
darf ich dir die Aufgabe umformulieren?
Seien [mm]n,m \in \IN[/mm] und [mm]a_{ij} \in \IR.[/mm] Zeige, dass die Abbildung [mm]\delta : \IR^n \to\IR^m,[/mm]
mit [mm] \delta \begin{pmatrix} x_1\\
\vdots\\
x_n \end{pmatrix} := \blue{\begin{pmatrix} a_{11}x_1+...+a_{1n}x_n\\
.\\
.\\
.\\
a_{m1}x_1+...+a_{mn}x_n \end{pmatrix}}=\underbrace{\begin{pmatrix} a_{11}+...+a_{1n}\\
.\\
.\\
.\\
a_{m1}+...+a_{mn} \end{pmatrix}}_{=:A}\begin{pmatrix} x_1\\
\vdots\\
x_n \end{pmatrix}[/mm]
linear ist, d.h. für alle [mm]x,y \in \IR^n[/mm] und alle
[mm]\lambda \in \IR[/mm] gilt
[mm]\delta(x+y)=\delta(x)+\delta(y)[/mm] und [mm]\delta(\lambda x)=\lambda \delta(x)[/mm]
oder in Matrizenschreibweise
[mm]A(x+y)=Ax+Ay[/mm] und [mm]A(\lambda x)=\lambda Ax[/mm]
Lösungsweg:
Nimm dir den Vektor
[mm]x+y=\vektor{x_1+y_1\\
\vdots \\
x_n+y_n}[/mm]
her und wende darauf [mm]\delta[/mm] an.
[mm] $\delta (x+y)=\delta (\vektor{x_1+y_1\\ \vdots \\ x_n+y_n})$ [/mm] (*)
Da erhälst du vom Format eine Matrix wie die blaue Matrix oben.
Berechne getrennt [mm]\delta(x)[/mm] und [mm]\delta(y)[/mm] und addiere danach
[mm]\delta(x)+\delta(y)[/mm] (**)
Das (*) und (**) sollte nach ausklammern gleich aussehen.
Bekommst du das hin, da klappt das auch mit [mm]\lambda[/mm]. Oder verwirrt dich nur die Schreibweise in der Aufgabenstellung?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Fr 18.11.2011 | | Autor: | sissile |
Ich versuchs
[mm] \delta [/mm] (x +y) = [mm] \begin{pmatrix} (x_1+y_1)*(a_{11}+...+a_{1n})\\.\\.\\.\\(x_n+y_n)*(a_{m1}+...+a_{mn})\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \delta [/mm] x = [mm] \begin{pmatrix} (x_1)*(a_{11}+...+a_{1n})\\.\\.\\.\\(x_n)*(a_{m1}+...+a_{mn})\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \delta [/mm] y = [mm] \begin{pmatrix} (y_1)*(a_{11}+...+a_{1n})\\.\\.\\.\\(y_n)*(a_{m1}+...+a_{mn})\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \delta [/mm] x + [mm] \delta [/mm] y = [mm] \begin{pmatrix} (y_1)*(a_{11}+...+a_{1n})+(x_1)*(a_{11}+...+a_{1n})\\.\\.\\.\\(y_n)*(a_{m1}+...+a_{mn})+(x_n)*(a_{m1}+...+a_{mn})\end{pmatrix}
[/mm]
Jetzt ausklammern, irgenwie korrekt ;(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:21 Fr 18.11.2011 | | Autor: | Stoecki |
ich glaube du hast noch ein problem mit matrixmultiplikation.
Ax = [mm] \pmat{ a_{1,1} & ... & a_{1,n} \\ ... \\ a_{m,1}& ... & a_{m,n} } [/mm] * [mm] \vektor{x_{1} \\ ... \\ x_{n}} [/mm] = [mm] \vektor{a_{1,1} * x_{1} + ... + a_{1,n} * x_{n} \\ ... \\ a_{m,1} * x_{1} + ... + a_{m,n} * x_{n}}
[/mm]
A*(x+y) = [mm] \pmat{ a_{1,1} & ... & a_{1,n} \\ ... \\ a_{m,1}& ... & a_{m,n} } [/mm] * [mm] \vektor{x_{1} + y_{1} \\ ... \\ x_{n}+y_{n}} [/mm] = [mm] \vektor{a_{1,1} * (x_{1} + y_{1}) + ... + a_{1,n} * (x_{n} + y_{n)}\\ ... \\ a_{m,1} * (x_{1}+y_{1}) + ... + a_{m,n} * (x_{n}+y_{n})}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Fr 18.11.2011 | | Autor: | sissile |
achso ja, sry - war vewirrt!
Okay also das hab ich geschafft!
Wie mache ich es nun mit Skalar?
[mm] \delta (\lambda [/mm] x ) [mm] =\lambda [/mm] * [mm] \delta [/mm] (x )
[mm] \delta [/mm] (x ) = $ [mm] \vektor{a_{1,1} \cdot{} x_{1} + ... + a_{1,n} \cdot{} x_{n} \\ ... \\ a_{m,1} \cdot{} x_{1} + ... + a_{m,n} \cdot{} x_{n}} [/mm] $
[mm] \lambda [/mm] * [mm] \delta [/mm] (x )
Ich weiß nicht wie ich ein sklara mal einer Matrix rechne.
[mm] \delta (\lamda [/mm] x )= [mm] \delta (\lambda [/mm] $ [mm] \vektor{x_{1} \\ ... \\ x_{n}} [/mm] $)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:46 Fr 18.11.2011 | | Autor: | Stoecki |
ein skalar wird in jede komponente reingerechnet (genau wie beim vektor):
[mm] \lambda [/mm] *A = [mm] \pmat{ \lambda * a_{1,1} & ... & \lambda * a_{1,n} \\ ... \\ \lambda * a_{m,1}& ... & \lambda * a_{m,n} } [/mm]
[mm] \lambda [/mm] * x = [mm] \vektor{\lambda * x_{1} \\ ... \\ \lambda * x_{n}} [/mm]
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