Linear (un-)abhängig,erzeugend < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 Mi 05.11.2008 | | Autor: | ohlala |
| Aufgabe | | wie bestimmt man bzw. zeigt man, dass Vektoren linear abhängig, linear unabhängig und erzeugend sind? |
Ich möchte gerne wissen wie man solche Aufgaben allgeimen ansetzt bwz. löst.
Danke schonmal
und lg
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> wie bestimmt man bzw. zeigt man, dass Vektoren linear
> abhängig, linear unabhängig und erzeugend sind?
> Ich möchte gerne wissen wie man solche Aufgaben allgeimen
> ansetzt bwz. löst.
> Danke schonmal
> und lg
Hallo,
linear unabhängig: nur die triviale Linearkombination ergibt die Null.
linear abhängig: es gibt eine nichttriviale Linearkombination, die die Null ergibt.
erzeugend: man kann jeden Vektor des fraglichen Raumes als Linearkombination der zu untersuchenden Vektoren schreiben.
Das ist zu untersuchen, alles läuft auf die Lösung linearer Gleichungssysteme hinaus.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:47 Do 06.11.2008 | | Autor: | ohlala |
| Aufgabe | linear unabhängig: nur die triviale Linearkombination ergibt die Null.
linear abhängig: es gibt eine nichttriviale Linearkombination, die die Null ergibt.
erzeugend: man kann jeden Vektor des fraglichen Raumes als Linearkombination der zu untersuchenden Vektoren schreiben.
Das ist zu untersuchen, alles läuft auf die Lösung linearer Gleichungssysteme hinaus. |
Muss ich dann den Gauss anwenden?
Könntest du mir das an einem Beispiel erklären?
z.B.:Bei folgenden Vektoren im [mm] R^3 [/mm] und [mm] R^4:
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 1\end{pmatrix} [/mm] , [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}
[/mm]
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> linear unabhängig: nur die triviale Linearkombination
> ergibt die Null.
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> linear abhängig: es gibt eine nichttriviale
> Linearkombination, die die Null ergibt.
>
> erzeugend: man kann jeden Vektor des fraglichen Raumes als
> Linearkombination der zu untersuchenden Vektoren schreiben.
>
> Das ist zu untersuchen, alles läuft auf die Lösung linearer
> Gleichungssysteme hinaus.
> Muss ich dann den Gauss anwenden?
Hallo,
ja, den Gauß kann man dafür gut gebrauchen.
> Könntest du mir das an einem Beispiel erklären?
> z.B.:Bei folgenden Vektoren im [mm]R^3[/mm] und [mm]R^4:[/mm]
>
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 1\end{pmatrix}[/mm] , [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}[/mm]
Dieses Beispiel ist etwas blöd, weil jede Menge von Vektoren, die den Nullvektor enthält, linear abhängig ist - und genau das macht dieses Beispiel wiederum lehrreich, denn man kann sich fragen, warum das so ist.
Darum:
[mm] 0*\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 1\end{pmatrix} +35*\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix},
[/mm]
also gibt es eine nihttriviale Linearkombination, die Die Null ergibt.
Wenn Du weitere Beispiele besprechen möchtest, poste die vektoren, steck sie als Spalten in eine matrix und bring die Matrix schonmal in Zeilenstufenform.
Dann können wir über die Interpretation der Ergebnisse sprechen.
Gruß v. Angela
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