Linear (un)abhängig < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es seien K ein Körper, V un W K-Vekorräume und f: V -> W eine K-lineare Abbildung. Zeigen Sie: Sind v,w [mm] \in [/mm] V und ist (f(v), f(w)) linear unabhängig, dann ist (v,w) linear unabhängig. |
Hallo,
Könnte ich die Aufgabe folgendermasse beweisen?
Indirekter Beweis:
Sei (v,w) lin. abhängig, dann existiert ein a [mm] \in [/mm] K, so das v =a*w , mit a [mm] \not= [/mm] 0.
Daraus folgt: v = a*w
[mm] \gdw [/mm] f(v) = f(a*w)
[mm] \gdw [/mm] f(v) = af(w)
Draus folgt, da a ungleich 0 ist, (f(v), f(w) linear abhängig.
Und somit ein Wiederspruch zu der Annahme. Also kann es nach Aufgabenstellung keien lineare Abbildung f gegeben, so dass (f(v), f(w)) lineare unabhängig ist und auch (v,w) linear unabhängig ist.
mfg
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Hallo,
einverstanden mit dem Beweis !
Gruss,
Mathias
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