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Seien [mm] v_{1},...,v_{k} \in \IQ^{n} [/mm] linear unabhängig über [mm] \IQ.
[/mm]
Zeige: [mm] v_{1},...,v_{k} [/mm] sind linear unabhängig über [mm] \IR.
[/mm]
(d.h. [mm] \forall \lambda_{1},...,\lambda_{k} \in \IR: \lambda_{1}v_{1}+...+\lambda_{k}v_{k}=0 \Rightarrow \lambda_{1}=...=\lambda_{k}=0)
[/mm]
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:16 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Nette |
Hi!
Sorry, hab das etwas ungeschickt gemacht. Ich bezieh mich auf die Aufgabe von Nix-blicker.
Wir wissen doch, dass [mm] \IQ \subset \IR, [/mm] das heißt doch auch, dass [mm] \IQ^{n} [/mm] ein Untervektorraum von [mm] \IR^{n} [/mm] ist, oder kann ich das nicht schließen?
Ich glaub, ich hab jetzt ne ziemlich falsche Lösung, aber ich schreib sie trotzdem mal:
Man kann ja sagen, dass [mm] v_{1},..., v_{n} [/mm] ne linear unabhängige Familie von [mm] \IQ_{n} [/mm] ist. Diese kann man erweitern zu einer Basis von [mm] \IQ_{n}: (v_{1},..., v_{n},... v_{m}).
[/mm]
Da [mm] \IQ_{n} [/mm] Unterraum von [mm] \IR^{n}... [/mm] kann man Basis von [mm] \IQ_{n} [/mm] erweitern zu Basis von [mm] \IR^{n} [/mm] ...
bringt mich das weiter?? oder ist das vollkommener Blödsinn ??
Gruß
Annette
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:49 Mi 24.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Annette!
Diese Lösung ist in der Tat ziemlich falsch. 
> Wir wissen doch, dass [mm]\IQ \subset \IR,[/mm] das heißt doch
> auch, dass [mm]\IQ^{n}[/mm] ein Untervektorraum von [mm]\IR^{n}[/mm] ist,
> oder kann ich das nicht schließen?
Das ist noch richtig.
> Ich glaub, ich hab jetzt ne ziemlich falsche Lösung, aber
> ich schreib sie trotzdem mal:
> Man kann ja sagen, dass [mm]v_{1},..., v_{n}[/mm] ne linear
> unabhängige Familie von [mm]\IQ_{n}[/mm] ist. Diese kann man
> erweitern zu einer Basis von [mm]\IQ_{n}: (v_{1},..., v_{n},... v_{m}).
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Da [mm]\IQ_{n}[/mm] Unterraum von [mm]\IR^{n}...[/mm] kann man Basis
> von [mm]\IQ_{n}[/mm] erweitern zu Basis von [mm]\IR^{n}[/mm] ...
Hier wird es falsch, denn das ist ja gerade zu zeigen, dass die Vektoren im [mm] $\IR^n$ [/mm] immer noch linear unabhängig sind.
Zu zeigen ist:
Wenn es für [mm] $v_1,v_2\ldots ,v_{n-1},v_n \in \IQ^n$ [/mm] eine nichttriviale Linearkombination
[mm] $\lambda_1 v_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 v_2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \lambda_{n-1} v_{n-1} [/mm] + [mm] \lambda_n v_n=0$
[/mm]
mit reellen [mm] $\lambda_i$ [/mm] gibt, dann gibt es auch bereits so eine nichttriviale Linearkombination mit rationalen [mm] $\lambda_i$.
[/mm]
Vielleicht verrät dir ja NixBlicker noch die Lösung zu dieser Übungsaufgabe, die Fälligkeit ist schließlich abgelaufen.
Liebe Grüße
Julius
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