Linear unabhängige Vektoren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 Mo 06.09.2004 | | Autor: | marius |
Wie löse ich folgende Aufgabe?
Bestimmen sie zwei linear unabhängige Vektoren des IR4, die nicht in
[mm] <\vektor{1\\ 2\\3\\4},\vektor{10\\ 20\\30\\40},\vektor{5\\ -10\\-15\\-21}>
[/mm]
liegen ?
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:23 Mo 06.09.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Marius,
> Wie löse ich folgende Aufgabe?
> Bestimmen sie zwei linear unabhängige Vektoren des IR4,
> die nicht in
>
> [mm]<\vektor{1\\ 2\\3\\4},\vektor{10\\ 20\\30\\40},\vektor{5\\ -10\\-15\\-21}>[/mm]
>
>
> liegen ?
>
> Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
>
Zunächst einmal ist ja [mm]V:=<\vektor{1\\ 2\\3\\4},\vektor{10\\ 20\\30\\40},\vektor{5\\ -10\\-15\\-21}>[/mm] ein Unter(vektor)raum des [m]\IR^4[/m]. Dieser Unterraum $V$ hat natürlich auch eine Basis. Versuche einmal, dafür eine Basis aufzustellen.
Warum ist [mm](\vektor{1\\ 2\\3\\4},\vektor{10\\ 20\\30\\40},\vektor{5\\ -10\\-15\\-21})[/mm] offensichtlich keine Basis?
Wie sieht eine Basis des [mm] $\IR^4$ [/mm] aus (eine möglichst einfache)?
Weiter geht es dann mit dem Austauchsatz von Steinitz (das sagt dir hoffentlich etwas?). (Mit dessen Hilfe kann man dann nämlich dann zwei Vektoren aus der Basis des [mm] $\IR^4$ [/mm] auswählen, die nicht in $V$ liegen...)
So, ich hoffe, diese Hinweise/Tipps helfen dir, den Weg zu finden, ggf. frage bitte nochmal nach. Da ich aber zur Zeit
a) Kopfweh und
b) generell wenig Zeit
habe, kann es sein, dass jemand anderes deine Fragen beantwortet...
Viele Grüße
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:31 Di 07.09.2004 | | Autor: | marius |
Hi Marcel,
danke für deine Tipps.
Nun eine Basis kann ich aufstellen , aber den Austauschsatz von Steinitz kenne ich leider nicht. Gibt es noch eine andere Methode um die Vektoren zu bestimmen die nicht im V liegen?
Gruss Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:56 Di 07.09.2004 | | Autor: | Wessel |
Hallo,
wenn du eine Basis von $V$ hast mit den Vektoren [mm] $v_1, v_2$, [/mm] dann stellst du dir ein Lineares Gleichungssystem auf, z.B. [mm] $\lambda_1 v_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 v_2 [/mm] = w$. Dann überlegt man sich, wie $w$ aussehen muß, wenn für alle [mm] $\lambda_1,\lambda_2$ [/mm] das LGS keine Lösung haben soll.
Gruß,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 Di 07.09.2004 | | Autor: | marius |
Danke Stefan,
das hat mich weiter gebracht.
Ich habe noch eine weiter kleine Frage zur diesen Vektoren.
Wie bestimme ich zwei lineare unabhängige Vektoren, deren 1 Komponente jeweils 7 lautet?
unabhängige vektoren kann ich wohl bestimmen, aber mit der 1 Komponente als 7 ?? wie geht das??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:35 Di 07.09.2004 | | Autor: | Wessel |
Hallo Marius,
ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich Deine Frage richtig verstanden habe, aber:
Setze [mm] $v_1 [/mm] := [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4}$ [/mm] und [mm] $v_2 [/mm] := [mm] \vektor{5 \\-10\\ -15 \\ -21}$.
[/mm]
Dann sind [mm] $v_1,v_2 \in [/mm] V$ und [mm] $v_1,v_2$ [/mm] linear unabhängig. Dann haben aber die Vektoren
[mm] $w_1 [/mm] := 7 * [mm] v_1$ [/mm] und [mm] $w_2 [/mm] := [mm] \bruch{7}{5} v_2$
[/mm]
jeweils eine 7 in der ersten Komponente. Da [mm] $v_1,v_2$ [/mm] linear unabhängig sind, gilt für alle [mm] $\lambda \in \IR: \lambda v_1\not [/mm] = [mm] v_2$. [/mm] Daraus kann man dann folgern, dass auch [mm] $w_1, w_2 [/mm] $ linear unabhängig sind.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:27 Mi 08.09.2004 | | Autor: | marius |
Danke, das ist echt klasse.
Gruss Marius
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