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Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gesucht ist ein linear unabhängiger Beweis,dass sich die Diagonalen im Trapez wie das Verhältnis der Parallelseiten schneiden. (a:c = d1:d2)-> 2. Strahlensatz...
Brauche einen Lösungsweg, da ich bereits viele Vektorzüge und Beziehungen aufgestellt habe,aber auf keinen grünen Zweig komme...
Vielen Dank für die Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 Sa 15.01.2005 | | Autor: | Clemens |
Hallo!
Sei ABCD ein Trapez, wobei die Strecken AB und CD parallel sind und es gilt:
[mm]\bruch{|AB|}{|CD|} = \alpha [/mm]
Wir definieren:
a := Strecke von D nach C
b := Strecke von A nach D
Der Schnittpunkt der beiden Diagonalen sei Q. Dann stellen wir den Vektorzug von A über Q und B nach A auf:
Von A nach Q = [mm] d_{1}(a [/mm] + b)
Von Q nach B = [mm] d_{2}(\alpha*a [/mm] - b)
Von B nach A = [mm] -\alpha*a
[/mm]
Addiert man diese Strecken, ergibt sich:
[mm]a(d_{1} + d_{2}*\alpha - \alpha) + b(d_{1} - d_{2}) = 0 [/mm]
Da a und b linear unabhängig sind, folgt
[mm]d_{1} - d_{2} = 0 = d_{1} + d_{a}*\alpha - \alpha [/mm]
Wir folgern
[mm]d_{1} = d_{2} = \bruch{\alpha}{1 + \alpha}[/mm]
Damit verhalten sich die beiden Teile der jeweiligen Diagonale im Verhältnis:
[mm]\bruch{\bruch{\alpha}{1 + \alpha}}{1 - \bruch{\alpha}{1 + \alpha}} = \alpha [/mm]
Also wie die beiden parallelen Seiten.
Gruß Clemens
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Hallo Clemens,
vielen Dank für die Hilfe.Ich habe noch offene Fragen zu ihrer Lösung:
1. Was beschreiben d1 bzw. d2? Sind das die 2 verschiedenen Diagonalen oder Teile einer Diagonalen.2. Was beschreibt [mm] \alpha? [/mm] Ist das der Streckfaktor oder der Winkel? Schon im vorraus danke für die Antwort
Gruß Stephan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:05 Di 18.01.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Stephan,
> Hallo Clemens,
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> vielen Dank für die Hilfe.Ich habe noch offene Fragen zu
> ihrer Lösung:
> 1. Was beschreiben d1 bzw. d2? Sind das die 2
> verschiedenen Diagonalen oder Teile einer Diagonalen.
[mm] d_1 [/mm] ist der Faktor, dem du [mm] \vec{AC} [/mm] multiplizieren musst, um [mm] \vec{AQ} [/mm] zubekommen. Entsprechendes gilt für [mm] d_2 [/mm] und die 2. Diagonale.
> 2. Was
> beschreibt [mm] \alpha? [/mm] Ist das der Streckfaktor oder der
> Winkel? Schon im vorraus danke für die Antwort
[mm] \alpha [/mm] bezeichnet das Verhältnis [mm] \bruch{a}{c} [/mm]
Gruß Sigrid
>
> Gruß Stephan
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Vielen Dank d1 bzw. d2 sind mir nun klar. Ist Alpha gleich: Strecke AB durch CD (jeweils Betrag), oder ist Alpha gleich: CD durch AB ?
Anmerkung: durch entspricht geteilt
Danke für die Hilfe
Gruß Stephan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:05 Fr 21.01.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Stephan,
> Vielen Dank d1 bzw. d2 sind mir nun klar. Ist Alpha gleich:
> Strecke AB durch CD (jeweils Betrag), oder ist Alpha
> gleich: CD durch AB ?
>
>
> Anmerkung: durch entspricht geteilt
Sieh dir noch einmal die Rechnung von Clemens an. Er hat
[mm] [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{ \overline{AB}} {\overline{CD}} [/mm] gesetzt.
Gruß Sigrid
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> Danke für die Hilfe
>
> Gruß Stephan
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