Lineare Abb. Kern(f)=Bild(f) < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:22 Sa 03.11.2012 | | Autor: | elou |
| Aufgabe | Sei [mm] \IK [/mm] ein Körper, und sei V = [mm] \left\langle 1,T^{2},T^{4},T^{6} \right\rangle \subseteq \IK[T].
[/mm]
Definieren Sie eine lineare Abbildung f: V [mm] \to [/mm] V mit Kern(f) = Bild(f). |
Der Kern einer Funktion enthält doch alle Elemente der Ausgangsmenge, die auf den Nullvektor abgebildet werden.
Wenn jetzt gelten soll Bild(f)=Kern(f), dann enthält doch auch Bild(f) wieder alle Elemente, die auf den Nullvektor abgebildet werden?
Kann mir jemand einen Tipp geben wie ich das auflösen kann?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:52 Sa 03.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo elou und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Der Kern einer Funktion enthält doch alle Elemente der
> Ausgangsmenge, die auf den Nullvektor abgebildet werden.
> Wenn jetzt gelten soll Bild(f)=Kern(f), dann enthält doch
> auch Bild(f) wieder alle Elemente, die auf den Nullvektor
> abgebildet werden?
Genau.
> Kann mir jemand einen Tipp geben wie ich das auflösen
> kann?
Überlege dir, dass [mm] $(1,T^2,T^4,T^6)$ [/mm] eine Basis von V ist.
Also erhältst du eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung [mm] $f\colon V\to [/mm] V$, indem du $f(1)$, [mm] $f(T^2)$, $f(T^4)$ [/mm] und [mm] $f(T^6)$ [/mm] festlegst.
Nach Dimensionsformel soll gelten:
[mm] $4=\dim V=\dim\ker f+\dim \operatorname{im} f=\dim \ker f+\dim \ker f=2*\dim\ker [/mm] f$.
Also soll f erfüllen [mm] $\dim\ker [/mm] f=2$ und somit [mm] $\dim \operatorname{im} [/mm] f=2$.
Wie wäre es z.B. eine lineare Abbildung f zu suchen mit [mm] $\ker f=\operatorname{im}f=<1,T^2>$. [/mm] Hast du dazu eine Idee?
Viele Grüße
Tobias
P.S.: Mit im f meine ich Bild(f) und mit ker f kürze ich Kern(f) ab.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:10 Sa 03.11.2012 | | Autor: | elou |
> Überlege dir, dass [mm](1,T^2,T^4,T^6)[/mm] eine Basis von V ist.
Ok.
> Also erhältst du eine eindeutig bestimmte lineare
> Abbildung [mm]f\colon V\to V[/mm], indem du [mm]f(1)[/mm], [mm]f(T^2)[/mm], [mm]f(T^4)[/mm] und
> [mm]f(T^6)[/mm] festlegst.
>
> Nach Dimensionsformel soll gelten:
>
> [mm]4=\dim V=\dim\ker f+\dim \operatorname{im} f=\dim \ker f+\dim \ker f=2*\dim\ker f[/mm].
>
> Also soll f erfüllen [mm]\dim\ker f=2[/mm] und somit [mm]\dim \operatorname{im} f=2[/mm].
Auch das habe ich verstanden. Konkret ergibt sich das aus dem Rangsatz, richtig?
> Wie wäre es z.B. eine lineare Abbildung f zu suchen mit
> [mm]\ker f=\operatorname{im}f=<1,T^2>[/mm]. Hast du dazu eine Idee?
Und da stehe ich wieder. Mit fehlt das Verständnis wie/warum Kern und Bild identisch sein können.
Viele Grüße
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:32 Sa 03.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > Nach Dimensionsformel soll gelten:
> >
> > [mm]4=\dim V=\dim\ker f+\dim \operatorname{im} f=\dim \ker f+\dim \ker f=2*\dim\ker f[/mm].
>
> >
> > Also soll f erfüllen [mm]\dim\ker f=2[/mm] und somit [mm]\dim \operatorname{im} f=2[/mm].
>
> Auch das habe ich verstanden. Konkret ergibt sich das aus
> dem Rangsatz, richtig?
Genau. Ich kannte den Rangsatz bisher unter dem Namen "Dimensionsformel für lineare Abbildungen".
> > Wie wäre es z.B. eine lineare Abbildung f zu suchen mit
> > [mm]\ker f=\operatorname{im}f=<1,T^2>[/mm]. Hast du dazu eine Idee?
>
> Und da stehe ich wieder. Mit fehlt das Verständnis
> wie/warum Kern und Bild identisch sein können.
[mm] $<1,T^2>\subseteq\ker [/mm] f$ bedeutet: $f(1)=0$ und [mm] $f(T^2)=0$.
[/mm]
Nun triff eine möglichst einfache Wahl von [mm] $f(T^4)$ [/mm] und [mm] $f(T^6)$, [/mm] so dass [mm] $<1,T^2>\subseteq\operatorname{im}f$, [/mm] also [mm] $1\in\operatorname{im}f$ [/mm] und [mm] $T^2\in\operatorname{im}f$ [/mm] gelten.
Zeige dann, dass die so gegebene lineare Abbildung f das Gewünschte leistet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:27 So 04.11.2012 | | Autor: | elou |
Sei f: V [mm] \to [/mm] V definiert durch f(0)=0, [mm] f(T^2)=0, f(T^4)=1, f(T^6)=T^2 [/mm] für alle 1, [mm] T^2, T^4, T^6 \in [/mm] V.
Dann gilt Bild(f) = Kern(f)= [mm] \left\langle 1, T^2 \right\rangle \in [/mm] V.
Wäre das die korrekte Aussage?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:50 So 04.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Sei f: V [mm]\to[/mm] V definiert durch f(01)=0, [mm]f(T^2)=0, f(T^4)=1, f(T^6)=T^2[/mm]
> für alle 1, [mm]T^2, T^4, T^6 \in[/mm] V.
f sei definiert als die eindeutig bestimmte lineare Abbildung mit diesen Eigenschaften.
> Dann gilt Bild(f) = Kern(f)= [mm]\left\langle 1, T^2 \right\rangle \red{\subseteq}[/mm] V.
>
> Wäre das die korrekte Aussage?
Ja! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:06 So 04.11.2012 | | Autor: | elou |
Herzlichsten Dank!
Jetzt hab ich es sogar begriffen ;)
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