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| Aufgabe | Eine lineare Abbildung [mm] f_A [/mm] : [mm] \IR{^4} [/mm] -> [mm] \IR{^4} [/mm] sei gegeben durch
[mm] f_A \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 2 & 0 \\ -1 & 3 & -2 & 1 \\ 1 & 5 & 1 & 3 } [/mm] * [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} [/mm]
a) Bestimmen Sie je eine Basis vom Kern und vom Bild der Abbildung
b) Welche Dimension hat der von den Vektoren [mm] f_A \vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 1} [/mm] und [mm] f_A \vektor{2 \\ 1 \\ -1 \\ 3} [/mm] erzeugte Bildraum |
Hallo,
ich verstehe die Aufgabe und die Abbildung nicht so richtig. Was soll das für eine Abbildung sein mit dem Vektor [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}
[/mm]
Trotzdem, ich versuche mich an der a)
Also wie ich den Kern berechne, ist mir klar. Ich prüfe erstmal, ob die Determinante gleich 0 ist und dann setze ich die Matrix gleich 0 etc.
Aber inwiefern soll ich diesen Vektor [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} [/mm] beachten ?
Bräuchte mal bitte eine Hilfestellung.
Vielen Dank im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:06 So 15.02.2015 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Eine lineare Abbildung [mm]f_A[/mm] : [mm]\IR{^4}[/mm] -> [mm]\IR{^4}[/mm] sei gegeben
> durch
>
> [mm]f_A \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 2 & 0 \\ -1 & 3 & -2 & 1 \\ 1 & 5 & 1 & 3 }[/mm]
> * [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie je eine Basis vom Kern und vom Bild der
> Abbildung
>
> b) Welche Dimension hat der von den Vektoren [mm]f_A \vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> und [mm]f_A \vektor{2 \\ 1 \\ -1 \\ 3}[/mm] erzeugte Bildraum
> Hallo,
> ich verstehe die Aufgabe und die Abbildung nicht so
> richtig. Was soll das für eine Abbildung sein mit dem
> Vektor [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}[/mm]
Eine lineare Abbildung von [mm] $\IR^4$ [/mm] nach [mm] $\IR^4$.
[/mm]
Bei einer Abbildung $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] schreibt man ja auch $f(x) = [mm] \ldots$.
[/mm]
[mm] $\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}$ [/mm] steht einfach für ein beliebiges Element aus [mm] $\IR^4$.
[/mm]
>
> Trotzdem, ich versuche mich an der a)
>
> Also wie ich den Kern berechne, ist mir klar. Ich prüfe
> erstmal, ob die Determinante gleich 0 ist und dann setze
> ich die Matrix gleich 0 etc.
> Aber inwiefern soll ich diesen Vektor [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}[/mm]
> beachten ?
Nicht die Matrix wird gleich Null gesetzt, sondern Matrix * Vektor = 0.
Siehe  Wie_man_den_Kern_einer_linearen_Abbildung_bestimmt
> Bräuchte mal bitte eine Hilfestellung.
>
> Vielen Dank im Voraus.
Gruß
meili
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Hallo,
okay danke für die Antwort.
Wenn ich aber jetzt den Kern von [mm] f_A \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 2 & 0 \\ -1 & 3 & -2 & 1 \\ 1 & 5 & 1 & 3 } [/mm] * [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} [/mm] bestimmen will, soll ich die Matrix mit [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} [/mm] multiplizieren, (quasi Ax) und dann Ax = 0 das homogene LGS lösen ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 So 15.02.2015 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Hallo,
> okay danke für die Antwort.
>
> Wenn ich aber jetzt den Kern von [mm]f_A \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}[/mm]
> = [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 2 & 0 \\ -1 & 3 & -2 & 1 \\ 1 & 5 & 1 & 3 }[/mm]
> * [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}[/mm] bestimmen will, soll
> ich die Matrix mit [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}[/mm]
> multiplizieren, (quasi Ax) und dann Ax = 0 das homogene LGS
> lösen ?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, entweder kommt [mm] $x_1=x_2=x_3=x_4=0$ [/mm] heraus, oder ein, zwei oder
drei Variablen lassen sich frei Wählen.
Gruß
meili
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Okay, vielen Dank.
Aber der Satz in der Aufgabe "bestimmen Sie die Basis vom Kern" , sagen wir mal der Kern von [mm] f_A [/mm] ist : ker [mm] (f_A [/mm] ) = [mm] \vektor{4\\ 5 \\ 6 \\ 7} [/mm] , irgendein Vektor.
Wie bestimme ich dann die Basis ? Wenn es eine Matrix WÄRE, würde ich den Rang berechnen, wenn er voll wäre (wir sind in [mm] \IR{^4} [/mm] ) dann wären alle 4 Spaltenvektoren die Basis.
Aber das Problem hierbei, das mich verwirrt , ist, dass ich einfach nur einen Vektor kriege, der dann der Kern ist. Und davon gilt es die Basis zu bestimmen. Da fehlt mir der Ansatz, oder die Vorgehensweise. Weil mit einem Vektor weiß ich nicht so viel anzufangen.
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Hi.
zu Teil a):
Du bekommst für den Kern dieser Abbildung, der dem Kern der Matrix entspricht natürlich nicht einen Vektor raus, sondern einen von einem Paramter abhängigen Vektor, der also einem Erzeugnis entspricht. Namentlich wäre der gesuchte Kern das Erzeugnis des Vektors [mm] \vektor{-1/2 \\ -1/2 \\ 0 \\1}, [/mm] oder Vielfache von diesem, was du vermutlich schon selber rausgefunden hast. Der Kern wird also von diesem einen Vektor erzeugt, also ist er auch eine Basis des Kerns (ein Vektor ist immer linear unabhängig). Hier muss meines Erachtens nach also nichts mehr getan werden.
Ich bezeichne fortan die Matrix mit A. Das Bild der linearen Abbildung ist dann
[mm] A*\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} [/mm] = [mm] \vektor{x_1+x_2+x_4 \\ x_1-x_2+2x_3 \\ -x_1+3x_2-2x_3+x_4 \\ x_1+5x_2+x_3+3x_4}
[/mm]
Du kannst den Ergebnisvektor auseinanderziehen zu 4 Einzelvektoren, je von einem der Parameter abhängig. Er entspricht also einem Erzeugnis von 4 Vektoren, die auch linear unabhängig sind (kann man nachrechnen), also eine Basis des Bildraumes sind. Wie sehen die 4 Vektoren also jetzt genau aus?
Für Teil b):
Edit: Das ist nachfolgend natürlich nicht was gefordert ist, ich hätte dieaAufgabe aufmerksamer lesen sollen, Pardon. Aber unten steht ja schon was eigentlich gemacht werden soll.
Setze die beiden Vektoren mal in die Abbildung ein und gucke dir an, auf welches Bild sie gehen. Ich würde dann das LGS
[mm] A*x=f_A(...) [/mm] lösen, es gibt dir dann alle Vektoren, die auf das entsprechende Bild gehen, daraus kannst du dann die Basis erstellen bzw. überprüfen ob es eine ist. Die Dimensionen kannst du ja dann einfach ablesen wenn du eine Basis hast.
Ich hab diesen Teil der Aufgabe nicht selber gerechnet, kann dir also (noch) nicht sagen ob das besonders klug ist was ich hier vorschlage bzw. ob es genau so funktioniert. Aber eigentlich müsste es so gehen.
Falls noch was unklar ist, melde dich ;)
Lieb Grüße.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:51 Mo 16.02.2015 | | Autor: | fred97 |
Zu b):
Gesucht ist die Dimension von
[mm] $U:=\{t* f_A (\vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 1}) +s* f_A (\vektor{2 \\ 1 \\ -1 \\ 3}):t,s \in \IR\} [/mm] $.
[mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -1 \\ 3} [/mm] liegen nicht im Kern von [mm] f_A, [/mm] also ist
[mm] f_A( \vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 1}) \ne \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}\ne f_A (\vektor{2 \\ 1 \\ -1 \\ 3}).
[/mm]
Nun gibts 2 Möglichkeiten:
1. [mm] f_A(\vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 1}) [/mm] und [mm] f_A (\vektor{2 \\ 1 \\ -1 \\ 3}) [/mm] sind linear abhängig. Dann ist dimU=1.
2. [mm] f_A(\vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 1}) [/mm] und [mm] f_A (\vektor{2 \\ 1 \\ -1 \\ 3}) [/mm] sind linear unabhängig. Dann ist dimU=2.
FRED
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