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| Aufgabe | Sei K ein Körper, V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und id : V -> V, die durch [mm] v \mapsto v [/mm] für alle [mm] v \in V [/mm] definierte lineare Abbildung. Ferner sei [mm] \phi \in GL(V) [/mm], und es gelte:
[mm] \phi \circ \psi = \psi \circ \phi \forall \psi \in GL(V) [/mm]
Zeigen Sie: Es gibt [mm] \lambda \in K [/mm] mit [mm] \phi = \lambda id [/mm]. Bestimmen Sie dann alle [mm] n \in \IN [/mm], für die [mm] GL(K^n) [/mm] kommutativ ist. |
Hi,
GL(V) sind ja alle quadratischen, invertierbaren Matrizen. Mir jetzt aber nicht klar, was mir diese Erkenntnis bringt, um die Sachen in der Aufgabe zu beweisen.
Es wäre sehr nett, wenn mir jemand einen Ansatz geben könnte.
Gruß
Dennis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:34 Do 17.05.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Dennis!
> Sei K ein Körper, V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum
> und id : V -> V, die durch [mm]v \mapsto v[/mm] für alle [mm]v \in V[/mm]
> definierte lineare Abbildung. Ferner sei [mm]\phi \in GL(V) [/mm],
> und es gelte:
>
> [mm]\phi \circ \psi = \psi \circ \phi \forall \psi \in GL(V)[/mm]
>
> Zeigen Sie: Es gibt [mm]\lambda \in K[/mm] mit [mm]\phi = \lambda id [/mm].
> Bestimmen Sie dann alle [mm]n \in \IN [/mm], für die [mm]GL(K^n)[/mm]
> kommutativ ist.
> GL(V) sind ja alle quadratischen, invertierbaren Matrizen.
> Mir jetzt aber nicht klar, was mir diese Erkenntnis bringt,
> um die Sachen in der Aufgabe zu beweisen.
> Es wäre sehr nett, wenn mir jemand einen Ansatz geben
> könnte.
Da das für alle [mm] \psi [/mm] gelten soll, kannst du dir ein paar spezielle aussuchen, für die es dann auch gelten muß. Wenn du die nimmst, die aus einer 1 und sonst Nullen bestehen, und dann die Matrizen ausmultiplizierst, kannst du sofort Folgerungen für [mm] \phi [/mm] ziehen.
Leider sind diese Matrizen so nicht zulässig, weil sie nicht invertierbar sind. Aber es gibt andere einfache Matrizen, die invertierbar sind, und mit denen müßte es gehen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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