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Abend,
Welche der Abbildungen [mm] f_{i}:R³->R³ [/mm] sind linear ?
a) [mm] f_{1}(x1,x2,x3)=(sinx1,x2+x3,0)
[/mm]
zuerst Homogenität: f(alpha v)= alpha*f(v) , alpha R und vV.
[mm] f_{1}(2(x1,x2,x3))=(2sinx1,2x2+2x3,0) [/mm] , ist das so richtig ?
dann die Additivität : f(u+v)=f(u)+f(v) ; u,v V
[mm] f_{1}(x1) [/mm] + g(x2) +h(x3)=(sinx1 ,x2+x3,0) = f+g+h ?
b) [mm] f_{2}=(x1,x2,x3)=(2x1+x2,3x2,x1+x2²) [/mm] <- die ist schon mal nicht linear die Abbildung, right ?
e) f:{5}=(x1,x2,x3)=(x1-x2,17x3,x1+x2+x3)
Ich zweilfe stark, dass das stimmt..
Wie lautet gegebenenfalls die Abbildungsmatrix ?
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Hallo Mac,
puh, dein Geschreibsel ist aber kein Augenschmaus 
Benutze doch bitte unseren Editor, gerade für die Indizes, das ist ja nicht schwer
[mm] $x_1$ [/mm] bekommst du hin mit x_1
Für Indizes, die länger als 1 Zeichen sind, benutze geschweifte Klammern
[mm] $x_{12}$ [/mm] ist x_{12} - selbiges für Exponenten
Aber zur Aufgabe
> Abend,
>
> Welche der Abbildungen [mm]f_{i}:R³->R³[/mm] sind linear ?
>
> a) [mm] f_{1}(x1,x2,x3)=(sinx_1,x_2+x_3,0)
[/mm]
>
> zuerst Homogenität: f(alpha v)= alpha*f(v) , alpha R und
> vV.
Ja, das ist u.a. zu prüfen
>
> [mm] f_{1}(2(x1,x2,x3))=(2sinx1,2x2+2x3,0) [/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") , ist das so richtig
> ?
Nein, erste Frage: Willst du die Homogenität zeigen oder widerlegen?
Falls du's zeigen willst, warum nimmst du ein spezielles [mm] $\alpha$ [/mm] ?
Für eine Widerlegung reicht es zu zeigen, dass die Bedingung für ein spezielles [mm] $\alpha$ [/mm] nicht gilt
Da können wir dein [mm] $\alpha=2$ [/mm] nehmen
[mm] $f_1(2\cdot{}(x_1,x_2,x_3))=f_1(2x_1,2x_2,2x_3)=(\sin(2x_1),2x_2+2x_3,0)$
[/mm]
Das müsste [mm] $=2(\sin(x_1),x_2+x_3,0)$ [/mm] sein.
Das klappt auch mit der 2. und 3. Komponente, bei der 2. könntest du 2 ausklammern ..
Aber es müsste [mm] $\sin(2x_1)=2\sin(x_1)$ [/mm] sein.
Das haut nicht hin
Damit ist die Homogenität schon widerlegt, die Abbildung kann nicht linear sein
Damit könntest du dir den Rest schenken, aber schauen wir mal, wie man die Additivität widerlegt:
>
> dann die Additivität : f(u+v)=f(u)+f(v) ; u,v V
>
> [mm]f_{1}(x1)[/mm] + g(x2) +h(x3) ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Was genau machst du hier?
> =(sinx1 ,x2+x3,0) = f+g+h ?
Das ist komisches und leicht wirres Zeugs
Du hast richtig geschrieben, dass gelten müsste: [mm] $f_1(u+v)=f_1(u)+f_1(v)$
[/mm]
und das für alle $u, [mm] v\in\IR^3$
[/mm]
Also schauen wir nach:
Seien [mm] $u=\vektor{u_1\\u_2\\u_3}, v=\vektor{v_1\\v_2\\v_3}\in\IR^3$
[/mm]
Dann ist [mm] $f_1(u+v)=f_1(u_1+v_1,u_2+v_2,u_3+v_3)=(\sin(u_1+v_1),(u_2+v_2)+(u_3+v_3),0)$
[/mm]
Da i.A. aber [mm] $\sin(a+b)\neq \sin(a)+\sin(b)$ [/mm] ist, ist auch i.A.
[mm] $f_1(u+v)=(\sin(u_1+v_1),(u_2+v_2)+(u_3+v_3),0)\red{\neq}(\sin(u_1)+\sin(v_1),(u_2+v_2)+(u_3+v_3),0)=(\sin(u_1),u_2+u_3,0)+(\sin(v_1),v_2+v_3,0)=f_1(u)+f_1(v)$
[/mm]
Gib mal konkret ein Paar, $u, [mm] v\in\IR^3$ [/mm] an, für die das nicht gilt ..
> b) [mm]f_{2}=(x1,x2,x3)=(2x1+x2,3x2,x1+x2²)[/mm] <- die ist schon
> mal nicht linear die Abbildung, right ? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das stimmt zwar, aber Beweise, Watson!!
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> e) f:{5}=(x1,x2,x3)=(x1-x2,17x3,x1+x2+x3)
> Ich zweilfe stark, dass das stimmt..
[mm] $f_5$ [/mm] ist die einzige lineare Abb. von den dreien
Weise mal die 2 Bedingungen nach.
Additivität: Nimm dir 2 beliebige Vektoren [mm] $u=\vektor{u_1\\u_2\\u_3}, v=\vektor{v_1\\v_2\\v_3}\in\IR^3$ [/mm] her und setze an:
[mm] $f_5(u+v)=f_5(u_1+v_1,u_2+v_2,u_3+v_3)=...$
[/mm]
Benutze die Def. von [mm] $f_5$ [/mm] und forme solange um, bis du [mm] $...=f_5(u)+f_5(v)$ [/mm] hast
Genauso mit der Homogenität, nimm dir einen beliebigen Vektor [mm] $u\in\IR^3$ [/mm] und ein beliebiges [mm] $\alpah\in\IR$ [/mm]
Dann schaue, was [mm] $f_5(\alpha\cdot{}u)$ [/mm] ist ...
>
> Wie lautet gegebenenfalls die Abbildungsmatrix ?
Wie stellt man die denn auf? Dazu muss doch etwas im Skript stehen 
Stichworte: Standardbasis, Bilder der Standardbasis, Spalten....
Gruß
schachuzipus
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