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| Aufgabe | | Wir haben einen n-dimensionalen eukl. Rau, [mm] \phi:V->V [/mm] eine lin. Abbildung und [mm] B=(v_1,...,v_n) [/mm] eine geordnete Orthonormalbasis von V; zeige, dass die Matrix [mm] [\phi]_{B,B}=(a_{ik}) [/mm] gegeben ist durch [mm] a_{ik}=<\phi(v_k),v_i> [/mm] |
Ich habe bei diesem Beispiel gerade überhaupt keinen Lösungsansatz. [mm] [\phi]_{B,B} [/mm] ist ja die Matrixdarstellung von [mm] \phi [/mm] bzgl. B: [mm] det\phi=det[\phi]_{B,B}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:36 Mo 12.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Frage: wie sieht die i-te Spalte der gesuchten Matrix aus ?
Antwort: es gibt [mm] t_1^{(i)},...,t_n^{(i)} \in \IR [/mm] mit:
[mm] \phi(v_i)= t_1^{(i)}v_1+...+t_n^{(i)}v_n.
[/mm]
Damit ist die i-te Spalte der gesuchten Matrix :
[mm] t_1^{(i)}
[/mm]
.
.
.
[mm] t_n^{(i)}
[/mm]
Weiter ist [mm] $<\phi(v_i),v_k>=t_k^{(i)}
[/mm]
Hilft das ?
FRED
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[mm] t_k^{i} [/mm] wäre der kte Eintrag in der i-ten Spalte?
2 Fragen: Wie folgerst du aus dem Wissen wie die i-te Spalte der ges. Matrix aussieht, dass [mm] <\phi(v_i),v_k>=t_k^{(i)}? [/mm]
Dann steht ja [mm] [\phi]_{B,B}=t_k^{i} [/mm] dort. Mir ist aber noch ein wenig unklar warum diese Beziehungs dann gelten sollte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Mo 12.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm]t_k^{i}[/mm] wäre der kte Eintrag in der i-ten Spalte?
> 2 Fragen: Wie folgerst du aus dem Wissen wie die i-te
> Spalte der ges. Matrix aussieht, dass
> [mm]<\phi(v_i),v_k>=t_k^{(i)}?[/mm]
Mit
$ [mm] \phi(v_i)= t_1^{(i)}v_1+...+t_n^{(i)}v_n. [/mm] $
berechne [mm]<\phi(v_i),v_k>=t_k^{(i)}[/mm]
FRED
>
> Dann steht ja [mm][\phi]_{B,B}=t_k^{i}[/mm] dort. Mir ist aber noch
> ein wenig unklar warum diese Beziehungs dann gelten sollte.
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[mm] <\phi(v_i),v_k>==+...+=?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Mo 12.12.2011 | | Autor: | fred97 |
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> [mm]<\phi(v_i),v_k>==+...+=?[/mm]
Wenn Du nicht alle Vor. benutzt, kommst Du nie ans Ziel !!
$ [mm] B=(v_1,...,v_n) [/mm] $ eine geordnete Orthonormalbasis !!!
FRED
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