Lineare Abbildung/Symm.BLF < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:46 Fr 14.01.2011 | | Autor: | Sujentha |
| Aufgabe | | Sei V ein [mm]\IF_2[/mm]-Vektorraum und [mm]\alpha:V \times V\to\IF_2[/mm] eine symmetrische Bilinearform.Zeigen Sie,dass die Abbildung [mm]w_\alpha:V \to \IF_2[/mm] mit [mm]w_\alpha(v)=\alpha(v,v)[/mm] eine lineare Abbildung ist.Geben Sie zwei symmetrische Bilinearformen [mm]\alpha[/mm] und [mm]\alpha'[/mm] auf [mm]\IF^2_2[/mm] an, so dass [mm]\alpha \not= \alpha'[/mm] und [mm]w_\alpha=w_{\alpha'}[/mm] gelten. |
Hallo,
also zur Linearität der Abbildung
[mm]w_\alpha:V \to \IF_2[/mm] mit [mm]w_\alpha(v)=\alpha(v,v)[/mm]:
Homogenität:
[mm]w_\alpha(\lambda v)=\alpha(\lambda v,\lambda v)=\lambda \alpha(v,v)=\lambda w_\alpha(v)[/mm]
Additivität:
[mm]w_\alpha(v+z)=\alpha(v+z,v+z)=\alpha(v,v)+\alpha(z,z)=w_\alpha(v)+w_\alpha(z)[/mm]
Ist das richtig?
Weiß jetzt jedoch nicht,wie ich die symmetrischen Bilinearformen finden soll,wäre echt super,wenn ihr mir da helfen könntet.
Gruß,Sujentha.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 Fr 14.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
> Sei V ein [mm]\IF_2[/mm]-Vektorraum und [mm]\alpha:V \times V\to\IF_2[/mm]
> eine symmetrische Bilinearform.Zeigen Sie,dass die
> Abbildung [mm]w_\alpha:V \to \IF_2[/mm] mit [mm]w_\alpha(v)=\alpha(v,v)[/mm]
> eine lineare Abbildung ist.Geben Sie zwei symmetrische
> Bilinearformen [mm]\alpha[/mm] und [mm]\alpha'[/mm] auf [mm]\IF^2_2[/mm] an, so dass
> [mm]\alpha \not= \alpha'[/mm] und [mm]w_\alpha=w_{\alpha'}[/mm] gelten.
> Hallo,
>
> also zur Linearität der Abbildung
> [mm]w_\alpha:V \to \IF_2[/mm] mit [mm]w_\alpha(v)=\alpha(v,v)[/mm]:
> Homogenität:
> [mm]w_\alpha(\lambda v)=\alpha(\lambda v,\lambda v)=\lambda \alpha(v,v)=\lambda w_\alpha(v)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Additivität:
>
> [mm]w_\alpha(v+z)=\alpha(v+z,v+z)=\alpha(v,v)+\alpha(z,z)=w_\alpha(v)+w_\alpha(z)[/mm]
> Ist das richtig?
Nein, die Additivität stimmt nicht:
[mm]w_\alpha(v+z)=\alpha(v+z,v+z)=\alpha(v,v+z)+\alpha(z,v+z)=\alpha(v,v)+\alpha(v,z)+\alpha(z,v)+\alpha(z,z)[/mm]
Jetzt musst du weiter begründen, warum das das gleiche ist wie [mm] $w_\alpha(v)+w_\alpha(z)[/mm]$. [/mm] Verwende dabei, dass deine Bil.form symmetrisch ist und du in einem [mm] $\IF_2$-Vektorraum [/mm] rechnest.
> Weiß jetzt jedoch nicht,wie ich die symmetrischen
> Bilinearformen finden soll,wäre echt super,wenn ihr mir da
> helfen könntet.
Betrachte mal die zwei Bilinearformen, die bezüglich der Stadardbasis von folgenenden Matrizen dargestellt werden:
[mm] $\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}$ [/mm] und $ [mm] \pmat{1 & 1 \\ 1 & 1}$
[/mm]
Beachte wieder, dass es sich um den [mm] $\IF_2^2$ [/mm] handelt.
LG Lippel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:08 Sa 15.01.2011 | | Autor: | Sujentha |
Okay,also da die Bilinearform symmetrisch ist,gilt:
[mm]\alpha(z,v)=\alpha(v,z)[/mm]
Daraus folgt:
[mm]\alpha(v,v)+\alpha(v,z)+\alpha(z,v)+\alpha(z,z)=\alpha(v,v)+2\alpha(v,z)+\alpha(z,z)=\alpha(v,v)+\alpha(z,z)=w_\alpha(v)+w_\alpha(z)[/mm], da im [mm]\IF_2[/mm] 2=0 ist. Stimmt das?
Weiß trotzdem leider immer noch nicht genau,wie ich jetzt die BLF finden soll,dabei hast du mir ja eigentlich schon die fertigen Gramschen Matrizen gepostet... Liegt auch vielleicht an der Uhrzeit,ich geh jetzt erstmal schlafen  ,bin trotzdem für weitere Tipps immer offen.
Gruß,Sujentha.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 Sa 15.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Okay,also da die Bilinearform symmetrisch ist,gilt:
> [mm]\alpha(z,v)=\alpha(v,z)[/mm]
> Daraus folgt:
>
> [mm]\alpha(v,v)+\alpha(v,z)+\alpha(z,v)+\alpha(z,z)=\alpha(v,v)+2\alpha(v,z)+\alpha(z,z)=\alpha(v,v)+\alpha(z,z)=w_\alpha(v)+w_\alpha(z)[/mm],
> da im [mm]\IF_2[/mm] 2=0 ist. Stimmt das?
Alles richtig
> Weiß trotzdem leider immer noch nicht genau,wie ich jetzt
> die BLF finden soll,dabei hast du mir ja eigentlich schon
> die fertigen Gramschen Matrizen gepostet... Liegt auch
> vielleicht an der Uhrzeit,ich geh jetzt erstmal schlafen
> ,bin trotzdem für weitere Tipps immer offen.
Ich hatte dir ja die beiden Matrizen
$ [mm] \pmat{1 & 0 \\ 0 & 1} [/mm] $ und $ [mm] \pmat{1 & 1 \\ 1 & 1} [/mm] $ gegeben.
Die erste vermittle die Bilinearform [mm] $\alpha$ [/mm] die zweite [mm] $\alpha'$
[/mm]
berechne doch mal [mm] $\omega_\alpha(v)$ [/mm] und [mm] $\omega_{\alpha'}(v)$ [/mm] für einen allgemeinen Vektor $v [mm] \in \IF_2^2: [/mm] $ [mm] $v=\pmat{a \\ b}$
[/mm]
LG Lippel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:21 So 16.01.2011 | | Autor: | Sujentha |
Okay,also ich hab mich gerade nochmal dran versucht,nachdem ich die Aufgabe erstmal weiter aufgeschoben hatte.Auch auf die Gefahr hin,dass es völliger Unsinn ist,denn ich jetzt schreibe,poste ich mal mein Ergebnis.
Wäre die Abbildungsvorschrift für eine Bilinearform mit der Matrix $ [mm] \pmat{1 & 0 \\ 0 & 1} [/mm] $ nicht [mm]x_1y_1+x_2y_2[/mm] ?
Dann erhalte ich für $ [mm] \omega_\alpha(v)=\alpha(v,v)=\alpha(\pmat{a \\ b}, \pmat{a \\ b})=a^2+b^2$ [/mm]
Für die andere Matrix erhalte ich mit [mm](x_1+x_2)(y_1+y_2)[/mm]:
$ [mm] \omega_{\alpha'}(v)=a^2+2ab+b^2 [/mm] $
Und da wir im [mm]\IF_2[/mm] sind und 2=0 dort gilt,erhalten wir dort ebenfalls [mm]a^2+b^2[/mm].
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:30 So 16.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
> Okay,also ich hab mich gerade nochmal dran versucht,nachdem
> ich die Aufgabe erstmal weiter aufgeschoben hatte.Auch auf
> die Gefahr hin,dass es völliger Unsinn ist,denn ich jetzt
> schreibe,poste ich mal mein Ergebnis.
> Wäre die Abbildungsvorschrift für eine Bilinearform mit
> der Matrix [mm]\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}[/mm] nicht [mm]x_1y_1+x_2y_2[/mm] ?
> Dann erhalte ich für
> [mm]\omega_\alpha(v)=\alpha(v,v)=\alpha(\pmat{a \\ b}, \pmat{a \\ b})=a^2+b^2[/mm]
> Für die andere Matrix erhalte ich mit [mm](x_1+x_2)(y_1+y_2)[/mm]:
> [mm]\omega_{\alpha'}(v)=a^2+2ab+b^2[/mm]
> Und da wir im [mm]\IF_2[/mm] sind und 2=0 dort gilt,erhalten wir
> dort ebenfalls [mm]a^2+b^2[/mm].
Genau
LG Lippel
|
|
|
|
