Lineare Abbildung, Vektor < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 Sa 19.11.2011 | | Autor: | julius93 |
Hallo Community,
ich habe mal eine Frage zu einer Aufgabe in unserer aktuellen Übungsserie.
Es geht um eine lineare Abbildung [mm] \IR^3 [/mm] ---> [mm] \IR^3.
[/mm]
Gegeben sind 3 Vektoren, [mm] v_1 [/mm] , [mm] v_2 [/mm] , [mm] v_3 [/mm] sowie deren Bilder [mm] f(v_1), f(v_2) [/mm] , [mm] f(v_3). [/mm] Ein weiterer Vektor u ist gegeben, und wir sollen nun das Bild des Vektors u mit der linearen Abbildung von [mm] v_1,v_2,v_3 [/mm] ermitteln.
Mein Lösungsansatz: Zeigen, dass man den Vektor u als Linearkombination von [mm] v_1,v_2,v_3 [/mm] darstellen kann und mit denselben Koeffizienten eine Linearkombination von [mm] f(v_1), f(v_2),f(v_3) [/mm] erstellen, die dann f(u) ergibt.
Meiner Meinung mach müsste dieses Verfahren funktionieren, da es eine lineare Abbildung ist.
Stimmt das so? Wenn nicht, was wäre eine andere Alternative zur Lösung?
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
MfG Julius93
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> Hallo Community,
> ich habe mal eine Frage zu einer Aufgabe in unserer
> aktuellen Übungsserie.
> Es geht um eine lineare Abbildung [mm]\IR^3[/mm] ---> [mm]\IR^3.[/mm]
> Gegeben sind 3 Vektoren, [mm]v_1[/mm] , [mm]v_2[/mm] , [mm]v_3[/mm] sowie deren
> Bilder [mm]f(v_1), f(v_2)[/mm] , [mm]f(v_3).[/mm] Ein weiterer Vektor u ist
> gegeben, und wir sollen nun das Bild des Vektors u mit der
> linearen Abbildung von [mm]v_1,v_2,v_3[/mm] ermitteln.
>
> Mein Lösungsansatz: Zeigen, dass man den Vektor u als
> Linearkombination von [mm]v_1,v_2,v_3[/mm] darstellen kann und mit
> denselben Koeffizienten eine Linearkombination von [mm]f(v_1), f(v_2),f(v_3)[/mm]
> erstellen, die dann f(u) ergibt.
> Meiner Meinung mach müsste dieses Verfahren
> funktionieren, da es eine lineare Abbildung ist.
> Stimmt das so? Wenn nicht, was wäre eine andere
> Alternative zur Lösung?
> Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
> MfG Julius93
Der Ansatz wird schon klappen, da f linear ist
[mm]u=\lambda_1v_1 +\lambda_2v_2 +\lambda_3v_3 [/mm]
und
[mm]f(u)=f(\lambda_1v_1 +\lambda_2v_2 +\lambda_3v_3)=\lambda_1f(v_1) +\lambda_2f(v_2) +\lambda_3f(v_3)[/mm]
Man kann natürlich auch direkt die Abbildung f berechnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Sa 19.11.2011 | | Autor: | julius93 |
Ok, danke. Kannst du mir vllt noch sagen, wie ich anfangen muss, um die Abbildungsvorschrift f zu erhalten?
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Du hast eine lineare Abbildung [mm] $A\in \IR^{3\times 3}$ [/mm] mit
[mm] $\pmat{a_{11} & a_{12} &a_{13}\\a_{21} & a_{22} &a_{23}\\a_{31} & a_{32} &a_{33} }\pmat{| & | &|\\v_1 & v_2 &v_3\\| & | &| }=\pmat{| & | &|\\f(v_1) & f(v_2) &f(v_3)\\| & | &| }$
[/mm]
Das macht kein Spaß dein Ansatz ist besser, da du nur 3 zu berechnende Variablen hast und oben ne ganze Matrix invertiert werden muss.
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