Lineare Abbildung angeben < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:11 Sa 05.04.2014 | | Autor: | fischerM |
| Aufgabe | Gesucht: sämtliche "lineare" Abbildungen F : [mm] R^5 [/mm] -> [mm] R^2
[/mm]
a) Ker F = {(a,b,c,d,e)€ [mm] R^5 [/mm] | b+c-d-2e = 0 und c-d-3e=0 und d-5e = 0}
b) Ker F = [mm] span{(1,1,1,1,0)^t, (0,1,1,1,0)^t, (0,0,1,1,0)^t, (0,0,0,1,0)^t} [/mm] |
hi - vllt kann mir jmd. diesbzgl helfen!
weiß nicht wo anfangen .. definition von linearität ist ja f(kx+y) = k*f(x)+f(y) ..
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gesucht: sämtliche "lineare" Abbildungen F : [mm]R^5[/mm] -> [mm]R^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> a) Ker F = {(a,b,c,d,e)€ [mm]R^5[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| b+c-d-2e = 0 und c-d-3e=0
> und d-5e = 0}
> b) Ker F = [mm]span{(1,1,1,1,0)^t, (0,1,1,1,0)^t, (0,0,1,1,0)^t, (0,0,0,1,0)^t}[/mm]
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> hi - vllt kann mir jmd. diesbzgl helfen!
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> weiß nicht wo anfangen .. definition von linearität ist
> ja f(kx+y) = k*f(x)+f(y) ..
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Eine Abbildung f zwischen zwei Vektorräumen heißt linear, wenn für alle Skalare k und alle Vektoren x,y die von Dir genannte Bedingung erfüllt ist.
Man kann diese Bedingung auch mit zwei Bedingungen ausdrücken:
1. f(x+y)=f(x)+f(y)
2. f(kx)=k*f(x).
Man kann sich überlegen - und sicher habt Ihr dies bereits in der Vorlesung gelernt -, daß eine lineare Abbildung durch die Angabe der Funktionswerte auf einer Basis bereits eindeutig festgelegt ist.
Daraus ergibt sich für Deine Aufgabe als mögliche Vorgehensweise:
bestimme eine Basis des Kerns. Das Bild dieser Basisvektoren kennst Du.
Ergänze die Basis des Kerns zu einer Basis des [mm] \IR^5 [/mm] und überlege, welche Möglichkeiten es gibt, diesen Vektoren Funktionswerte zuzuweisen.
Wie lautet eigentlich der vollständige Originaltext der Aufgabe?
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Sa 05.04.2014 | | Autor: | fischerM |
das mit der Angabe der Funktionswerte auf einer Basis haben wir nicht durchgemacht. Wie ermittelt man die Basis?
Und wie ergänzt man diese auf [mm] R^5?
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:05 Sa 05.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
da das Vild [mm] R^3 [/mm] ist muss der Kern 3d sein. also suche in dem span 3 linear unabhängige Vektoren, die bilden eine Basis.
auch a,b,c,d,e bilden eine Basis des [mm] R^5 [/mm] durch die Gleichungen siehst du dass einige davon linear abhängig sind. und welche Vektoren im Kern liegen.
Gru00 leduart
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> das mit der Angabe der Funktionswerte auf einer Basis haben
> wir nicht durchgemacht.
Hallo,
sicher?
(Wenn's nicht besprochen wurde, werden wir dies halt selbst herausfinden.)
> Wie ermittelt man die Basis?
In a) überlege Dir, wie die Vektoren des Kerns aussehen:
[mm] \vektor{...\\...\\...\\5e\\e},
[/mm]
in b) suche aus dem Erzeugendensystem des Kerns eine maximale linear unabhängige Teilmenge heraus.
> Und wie ergänzt man diese auf [mm]R^5?[/mm]
So, daß Du 5 linear unabhängige Vektoren des [mm] \IR^5 [/mm] hast.
Der genaue Aufgabentext würde mich immer noch interessieren.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 So 06.04.2014 | | Autor: | fischerM |
Vielen Dank!
der Fragetext war das, was in Beitrag 1 drin stand - gesucht sämtliche Abbildung (lineare natürlich..) von a)+b)...
also kern der Matrix ist A * x = 0; D.h der Kern ist die Lösungsmenge des Gleichungssystems A * x = 0...
D.h ich stell 3 Gleichungen auf .. b+c-d-2e=0 ... c-d-3e=0 usw...
und dann löse ich das oder?
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> Vielen Dank!
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> der Fragetext war das, was in Beitrag 1 drin stand -
> gesucht sämtliche Abbildung (lineare natürlich..) von
> a)+b)...
Hallo,
jaja, schon klar.
Mich hätte halt interessiert, ob man dem Originaltext noch irgendetwas entnehmen kann. Erfahrungsgemäß gehen bei Nacherzählungen manchmal Details verloren. Aber egal.
>
> also kern der Matrix ist A * x = 0; D.h der Kern ist die
> Lösungsmenge des Gleichungssystems A * x = 0...
Hm.
Der Kern enthält all die Vektoren [mm] x\in \IR^5 [/mm] mit F(x)=0.
Und für diese Vektoren sind halt so gemacht, wie es in der Aufgabe steht.
>
> D.h ich stell 3 Gleichungen auf .. b+c-d-2e=0 ... c-d-3e=0
> usw...
>
> und dann löse ich das oder?
Ja.
Und dann überlegst Du Dir, wie in Anbetracht der Lösung die Vektoren des Kerns aussehen.
Wenn Du so weit bist, können wir gemeinsam eine Basis des Kerns überlegen.
LG Angela
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 So 06.04.2014 | | Autor: | fischerM |
das Gls ist schon in stufenform - und das ergebnis ist:
d = 5e;
c = 8e;
b = e;
und e ist auswählbar.
wenn ich jetzt e auf 1 setze
dann ergibt sich für b=1;c=8 und y=5; daraus ergibt sich ein Kern
der Kern der Matrix sind alle Vielfachen des Vektors (0/1/8/5/1).. oder?
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> das Gls ist schon in stufenform - und das ergebnis ist:
>
> d = 5e;
> c = 8e;
> b = e;
> und e ist auswählbar.
Hallo,
genau, e kann man frei wählen.
Frei wählen kann man aber auch a.
Damit bekommen wir, daß die Elemente des Kerns so aussehen:
[mm] \vektor{a\\e\\8e\\5e\\e}= \vektor{a\\0\\0\\0\\0}+\vektor{0\\e\\8e\\5e\\e}=a*\vektor{1\\0\\0\\0\\0}+e\vektor{0\\1\\8\\5\\1},
[/mm]
und hier erkennt man nun deutlich die Basis von KernF, welche aus zwei Vektoren besteht.
>
> wenn ich jetzt e auf 1 setze
>
> dann ergibt sich für b=1;c=8 und y=5; daraus ergibt sich
> ein Kern
>
> der Kern der Matrix sind alle Vielfachen des Vektors
> (0/1/8/5/1).. oder?
Fast.
Du hast halt vergessen, daß man a auch frei wählen kann.
So, wir haben nun festgestellt, daß
[mm] \vektor{1\\0\\0\\0\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\1\\8\\5\\1} [/mm] zusammen eine Basis von Kern F sind,
und wir wissen über die Abbildung F
[mm] F(\vektor{1\\0\\0\\0\\0})=\vektor{0\\0} [/mm] und [mm] F(\vektor{0\\1\\8\\5\\1})=\vektor{0\\0}.
[/mm]
Ich kann dem, was Du schreibst, nicht entnehmen, wie weit Deine Vorlesung gediehen ist.
Hattet Ihr den Satz, der etwas über Kern und Bild erzählt?
Er geht - angewendet auf Dein Beispiel so:
[mm] dim(\IR^5)=dimKernF [/mm] + dimBildF.
Hieraus erhältst Du eine Information über die Dimension des Bildes: dimBildF=3.
Erkennst Du, warum es solch eine Abbildung nicht geben kann?
Und weil es solch eine Abbildung nicht geben kann, können wir uns die ganze Basisergänzung usw. sparen.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 So 06.04.2014 | | Autor: | fischerM |
d.h zu a) gibt es keine linearen Abbildungen? verstehe aber noch nicht wieso.
das war mir ein wenig zuviel/schnell....
wie kommt man auf die a-werte? 1/0/0/0/0?
und die Abbildung F von [mm] R^5 [/mm] auf [mm] R^2 [/mm] ist im [mm] R^2 [/mm] deshalb 0 weil die definition in aufgabe a) als = 0 definiert ist oder?
Ja - kern und bild haben wir angeschnitten - aber keine Beispiele dazu bekommen:/
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> d.h zu a) gibt es keine linearen Abbildungen? verstehe aber
> noch nicht wieso.
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> das war mir ein wenig zuviel/schnell....
>
> wie kommt man auf die a-werte? 1/0/0/0/0?
Hallo,
ich finde es so schwer zu antworten, weil ich gar nicht weiß, was Du kannst bzw. können müßtest.
Du hast ein LGS mit 5 Variablen, welches den Rang 3 hat.
Also kann man 2 Variablen frei wählen, der in Zeilenstufenform gebrachten Koeffizientenmatrix entnimmt man, daß man z.B. a und e frei wählen kann.
> und die Abbildung F von [mm]R^5[/mm] auf [mm]R^2[/mm] ist im [mm]R^2[/mm] deshalb 0
> weil die definition in aufgabe a) als = 0 definiert ist
Von welcher Definition redest Du?
Drücke Dich genau aus.
> oder?
>
> Ja - kern und bild haben wir angeschnitten - aber keine
> Beispiele dazu bekommen:/
An der Uni wird erwartet, daß man sich selbst Beispiele macht.
Wie sind denn Bild und Kern definiert?
LG Angela
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