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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:47 So 15.03.2009 | | Autor: | Spiff |
| Aufgabe | Gegeben sei eine Basis B = [mm] {b_1, b_2, b_3, ..., b_n} [/mm] die Untermenge von [mm] R^n [/mm] ist. Sei T eine lineare Abbildung T: [mm] R^n \rightarrow R^n.
[/mm]
Welche Bedingungen sind an die Abbildung T zu stellen, damit [mm] B_T [/mm] = [mm] {T(b_1), T(b_2), T(b_3), ..., T(b_n)} [/mm] eine Basis des [mm] R^n [/mm] wird? |
Die kleinen bs sollen natürlich Vektoren repräsentieren.
Mir ist dazu leider nur eingefallen, daß T(bi) != Nullvektor mit 1 <= i <= n sein muß, da sonst die Menge C nicht mehr Linear unabhängig wäre und somit keine Basis vorliegen würde.
Wem fällt noch was dazu ein? Ich könnte mir vorstellen, daß die Matrixdarstellung von T möglicherweise eine Orthogonalmatrix sein muß, damit eine Orthonormalbasis entsteht. B könnte ja eine Basis für einen Unterraum sein, und die Basis C soll ja Basis für den ganzen [mm] R^n [/mm] sein, müßte dann also Orthonormalbasis sein, oder nicht?
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben sei eine Basis B = [mm]{b_1, b_2, b_3, ..., b_n}[/mm] die
> Untermenge von [mm]R^n[/mm] ist. Sei T eine lineare Abbildung T: [mm]R^n \rightarrow R^n.[/mm]
>
> Welche Bedingungen sind an die Abbildung T zu stellen,
> damit [mm]B_T[/mm] = [mm]{T(b_1), T(b_2), T(b_3), ..., T(b_n)}[/mm] eine
> Basis des [mm]R^n[/mm] wird?
> Die kleinen bs sollen natürlich Vektoren repräsentieren.
>
> Mir ist dazu leider nur eingefallen, daß T(bi) !=
> Nullvektor mit 1 <= i <= n sein muß, da sonst die Menge C
> nicht mehr Linear unabhängig wäre und somit keine Basis
> vorliegen würde.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
das stimmt sicher nicht, denn wenn irgendein [mm] b_i [/mm] auf die 0 abgebildet würde, wäre [mm]{T(b 1), T(b_2), T(b_3), ..., T(b_n)}[/mm] sicher nicht linear unabhängig, also keine Basis.
>
> Wem fällt noch was dazu ein? Ich könnte mir vorstellen, daß
> die Matrixdarstellung von T möglicherweise eine
> Orthogonalmatrix sein muß, damit eine Orthonormalbasis
> entsteht.
Daß eine ONB entsteht, ist aber nicht gefordert.
ich will Dir einen Hinweis geben: denk mal über Injektivität und Surjektivität nach.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:30 Mo 16.03.2009 | | Autor: | Spiff |
Danke schon mal für Deinen Tip, da mache ich mir morgen mal genauere Gedanken drüber.
!= sollte übrigens ungleich heißen, das habe ich vergessen durch das entsprechende Symbol zu ersetzen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Mo 16.03.2009 | | Autor: | Spiff |
So, habe jetzt ein bißchen über die Injektivität und Surjektivität gegrübelt.
Muß ich fordern, daß die Abbildung T injektiv ist, um sicher zugehen, daß [mm] B_T [/mm] kein Element zweimal enthält? Den sonst wäre [mm] B_T [/mm] ja nicht mehr linear unabhängig.
Zusammen mit der Tatsache, daß die beiden Mengen endlich und gleich mächtig sind, könnte ich dann ja auf eine bijektive Abbildung schließen, somit wäre T^-1 existent.
Muß ich dann direkt fordern, daß T bijektiv ist um sicher zu gehen, daß [mm] B_T [/mm] genauso eindeutig ist wie B?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:37 Mo 16.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Da T: [mm] \IR^n [/mm] --> [mm] \IR^n [/mm] linear, gilt:
[mm] B_T [/mm] ist eine Basis des [mm] \IR^n \gdw [/mm] T ist bijektiv [mm] \gdw [/mm] T ist injektiv [mm] \gdw [/mm] T ist surjektiv.
FRED
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