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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 So 08.11.2015 | | Autor: | Cara.M |
| Aufgabe | Es seien X und Y Mengen, und f:X [mm] \to [/mm] Y eine Abbildung. Zeigen Sie:
i)f ist injektiv [mm] \gdw \exists [/mm] g: Y [mm] \to [/mm] X : g [mm] \circ [/mm] f = idx. |
An sich verstehe ich die Aufgabe, allerdings bin ich mir nicht sicher ob meine Rechnung mathematisch richtig ist. Deshalb würde ich mich freuen, wenn jemand meine Aufgabe korrektur lesen würde und eventuell mir meine Fehler sagt.
Meine Frage ist zudem, was bedeutet idx ?
Danke schon einmal im Voraus. :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Meine Lösungsvorschlag :
f injektiv y1=f(x1) y2=f(x2) y1=y2
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x1)=f(x2) [mm] \Rightarrow [/mm] x1=x2
gof := g(f(x))
[mm] \gdw [/mm] g(f(x1))= z1 g(f(x2))=z2
f(x1)=f(x2)
[mm] \gdw [/mm] g(f(x1))=z1 [mm] \wedge [/mm] g(f(x1))=z2
[mm] \gdw [/mm] g(f(x1))=g(f(x1))
[mm] \gdw [/mm] z1=z2
[mm] \gdw [/mm] gof injektiv
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:14 So 08.11.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Es seien X und Y Mengen, und f:X [mm]\to[/mm] Y eine Abbildung.
> Zeigen Sie:
> i)f ist injektiv [mm]\gdw \exists[/mm] g: Y [mm]\to[/mm] X : g [mm]\circ[/mm] f =
> idx.
> An sich verstehe ich die Aufgabe, allerdings bin ich mir
> nicht sicher ob meine Rechnung mathematisch richtig ist.
> Deshalb würde ich mich freuen, wenn jemand meine Aufgabe
> korrektur lesen würde und eventuell mir meine Fehler
> sagt.
>
>
> Meine Frage ist zudem, was bedeutet idx ?
id(x) ist die sogenannte Identitätsabbildung, die jedes x auf sich selber abbildet, in der Schulschreibweise ist das dann f(x)=x
> Danke schon einmal im Voraus. :)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
>
>
>
> Meine Lösungsvorschlag :
>
> f injektiv y1=f(x1) y2=f(x2) y1=y2
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x1)=f(x2) [mm]\Rightarrow[/mm] x1=x2
>
Setze doch mit einem Unterstrich die Indizes.
In der Tat meisnt du hier das richtige, schreibst es aber unsauber auf.
f ist injektiv bedeutet, dass aus [mm] f(x_{1})=f(x_{2}) [/mm] foglt, dass [mm] x_{1}=x_{2}
[/mm]
> gof := g(f(x))
> [mm]\gdw[/mm] g(f(x1))= z1 g(f(x2))=z2
Das ist auch ok.
>
> f(x1)=f(x2)
> [mm]\gdw[/mm] g(f(x1))=z1 [mm]\wedge[/mm] g(f(x1))=z2
> [mm]\gdw[/mm] g(f(x1))=g(f(x1))
> [mm]\gdw[/mm] z1=z2
> [mm]\gdw[/mm] gof injektiv
Diese Passage stimmt dann nichtmehr.
Du musst nämlich zeigen, dass [mm] g(f(x))=\id(x)
[/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:51 So 08.11.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Marius!
> > Meine Frage ist zudem, was bedeutet idx ?
>
> id(x) ist die sogenannte Identitätsabbildung, die jedes x
> auf sich selber abbildet, in der Schulschreibweise ist das
> dann f(x)=x
Achtung: Der Buchstabe f ist in der Aufgabe schon in anderer Bedeutung vergeben.
> > gof := g(f(x))
> > [mm]\gdw[/mm] g(f(x1))= z1 g(f(x2))=z2
>
> Das ist auch ok.
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Die (falsch wiedergegebene) Definition der Verkettung zweier Abbildungen soll äquivalent zur Gültigkeit zweier Gleichungen sein?
Was sollen darin [mm] $z_1$ [/mm] und [mm] $z_2$ [/mm] sein?
> > f(x1)=f(x2)
> > [mm]\gdw[/mm] g(f(x1))=z1 [mm]\wedge[/mm] g(f(x1))=z2
> > [mm]\gdw[/mm] g(f(x1))=g(f(x1))
> > [mm]\gdw[/mm] z1=z2
> > [mm]\gdw[/mm] gof injektiv
>
> Diese Passage stimmt dann nichtmehr.
>
> Du musst nämlich zeigen, dass [mm]g(f(x))=\id(x)[/mm]
Das setzt voraus, dass man vorher erklärt, was g überhaupt bezeichnen soll.
(Für die Hin-Richtung benötigen wir die EXISTENZ einer Abbildung [mm] $g\colon Y\to [/mm] X$ mit dieser Eigenschaft.)
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 So 08.11.2015 | | Autor: | Cara.M |
g(f(x)) [mm] \not= [/mm] idx mit f(x) = V
[mm] \Rightarrow [/mm] g(y) [mm] \not= [/mm] idx mit g(y)= x
x [mm] \not= [/mm] idx
Aber damit hätte ich ja gezeigt, dass g(f(x)) = idx
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:14 Mo 09.11.2015 | | Autor: | fred97 |
Es lautet nicht idx, sondern [mm] id_X, [/mm] die Identität auf der Menge X.
> g(f(x)) [mm]\not=[/mm] idx mit f(x) = V
Hä ? Was ist V ???
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] g(y) [mm]\not=[/mm] idx mit g(y)= x
>
> x [mm]\not=[/mm] idx
Das ist absolut nicht nachvollziehbar !
>
> Aber damit hätte ich ja gezeigt, dass g(f(x)) = idx
Ganz und gar nicht. Deine obigen Ausführungen sind nicht zu verstehen !
FRED
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 So 08.11.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Cara.M und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Es seien X und Y Mengen, und f:X [mm]\to[/mm] Y eine Abbildung.
> Zeigen Sie:
> i)f ist injektiv [mm]\gdw \exists[/mm] g: Y [mm]\to[/mm] X : g [mm]\circ[/mm] f =
> idx.
Diese Aussage ist im Falle [mm] $X=\emptyset$ [/mm] und [mm] $Y\not=\emptyset$ [/mm] falsch.
Um Aussage zu "retten", würde ich zusätzlich [mm] $X\not=\emptyset$ [/mm] voraussetzen.
> Meine Frage ist zudem, was bedeutet idx ?
Gut, dass du nachfragst. Solange du nicht einmal die Bedeutung der Zeichen aus der Aufgabenstellung kennst, hast du natürlich keine Chance, die Aufgabe zu lösen.
[mm] $id_X$ [/mm] bezeichnet die Abbildung
[mm] $id_X\colon X\to X,\quad x\mapsto id_X(x):=x$.
[/mm]
> Meine Lösungsvorschlag :
>
> f injektiv y1=f(x1) y2=f(x2) y1=y2
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x1)=f(x2) [mm]\Rightarrow[/mm] x1=x2
Grundsätzlich: Wenn bei dir irgendwelche nicht in der Aufgabenstellung erklärte Variablen auftauchen (hier: [mm] $x_1,x_2,y_1,y_2$), [/mm] musst du dem Leser (und dir selbst) zunächst erklären, was sie bezeichnen sollen. Soll dies z.B. für alle [mm] $x_1,x_2\in [/mm] X$ gelten oder behauptest du die Existenz von gewissen [mm] $x_1,x_2\in [/mm] X$ mit diesen Eigenschaften?
Weiterhin sollte stets in Worten deutlich werden, was du gerade annimmst, was du folgerst und was du noch zeigen möchtest.
Du könntest z.B. schreiben: $f$ ist genau dann injektiv, wenn für alle [mm] $x_1,x_2\in [/mm] X$ mit [mm] $f(x_1)=f(x_2)$ [/mm] bereits [mm] $x_1=x_2$ [/mm] gilt.
> gof := g(f(x))
WENN eine Abbildung [mm] $g\colon Y\to [/mm] X$ gegeben ist, so ist [mm] $g\circ f\colon X\to [/mm] X$ definiert durch
[mm] $(g\circ [/mm] f)(x):=g(f(x))$
für alle [mm] $x\in [/mm] X$.
Bisher haben wir weder von der Aufgabenstellung noch durch eigene Konstruktion überhaupt eine Abbildung g erhalten.
> [mm]\gdw[/mm] g(f(x1))= z1 g(f(x2))=z2
Was meinst du mit [mm] $z_1$ [/mm] und [mm] $z_2$?
[/mm]
Die Definition von [mm] $g\circ [/mm] f$ soll gleichbedeutend mit irgendeiner Aussage sein? Das ergibt nicht viel Sinn.
> f(x1)=f(x2)
> [mm]\gdw[/mm] g(f(x1))=z1 [mm]\wedge[/mm] g(f(x1))=z2
> [mm]\gdw[/mm] g(f(x1))=g(f(x1))
> [mm]\gdw[/mm] z1=z2
> [mm]\gdw[/mm] gof injektiv
Ich kann in keiner einzigen der [mm] $\gdw$-Behauptungen [/mm] irgendeinen Sinn erkennen.
Zu zeigen ist eine Genau-dann-wenn-Aussage.
Eine solche Aussage zeigt man üblicherweise, indem man nacheinander die "Hin-Richtung [mm] $\Rightarrow$" [/mm] und die "Rück-Richtung [mm] $\Leftarrow$" [/mm] nachweist.
Ich schlage dir vor, mit der (einfacheren) Rück-Richtung anzufangen.
Wir nehmen also dafür als gegeben an: Es existiert eine Abbildung [mm] $g\colon Y\to [/mm] X$ mit [mm] $g\circ f=id_X$.
[/mm]
Zeigen müssen wir, dass $f$ injektiv ist, d.h. dass für alle [mm] $x_1,x_2\in [/mm] X$ mit [mm] $f(x_1)=f(x_2)$ [/mm] bereits [mm] $x_1=x_2$ [/mm] gilt.
Seien also [mm] $x_1,x_2\in [/mm] X$ mit [mm] $f(x_1)=f(x_2)$.
[/mm]
Zu zeigen ist [mm] $x_1=x_2$.
[/mm]
Wegen [mm] $f(x_1)=f(x_2)$ [/mm] folgt auch (dies hat nichts mit irgendeiner Injektivität zu tun!) die Gültigkeit von [mm] $g(f(x_1))=g(f(x_2))$.
[/mm]
Bringe nun [mm] $g\circ f=id_X$ [/mm] ins Spiel, um [mm] $x_1=x_2$ [/mm] zu zeigen.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 So 08.11.2015 | | Autor: | Cara.M |
Also laut deiner Aussage wäre ich jetzt so vorgegangen.
f: X [mm] \to [/mm] Y
g: Y [mm] \to [/mm] X mit (g [mm] \circ [/mm] f) = [mm] id_{x}
[/mm]
Zuzeigen wäre dann, dass f injektiv ist, d.h. für alle [mm] x_{1} [/mm] , [mm] x_{2} \in [/mm] X mit [mm] f(x_{1}) [/mm] = [mm] f(x_{2}) [/mm] bereits gilt [mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{2}
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] g(f(x_{1})) [/mm] = [mm] g(f(x_{2} [/mm] = [mm] x_{2} [/mm] mit g(y)=x [mm] \wedge [/mm] f(x)=y
[mm] \Rightarrow [/mm] f ist injektiv
Jetzt anders rum:
Sei f injektiv. Dann existiert zu jedem y [mm] \in [/mm] f(x) genau ein x [mm] \in [/mm] X mit f(x)=y
g(y)=x Für alle x [mm] \in [/mm] f(x) setzen wir in f(x)=y in g(y) ein.
[mm] \Rightarrow [/mm] g(f(x))=x
[mm] \Rightarrow [/mm] g: Y [mm] \to [/mm] X die Eigenschaft (g [mm] \circ [/mm] f) = [mm] id_{x}
[/mm]
Wäre das jetzt so richtig? Oder habe ich da immer noch einen Fehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:12 Mo 09.11.2015 | | Autor: | tobit09 |
Sorry, dass die Formeln im Moment nicht richtig angezeigt werden.
Ich hoffe der Fehler wird bald behoben sein.
> Also laut deiner Aussage wäre ich jetzt so vorgegangen.
> f: X [mm]\to[/mm] Y
> g: Y [mm]\to[/mm] X mit (g [mm]\circ[/mm] f) = [mm]id_{x}[/mm]
Ja, bei der Rückrichtung können wir solche Abbildungen als gegeben annehmen.
> Zuzeigen wäre dann, dass f injektiv ist, d.h. für alle
> [mm]x_{1}[/mm] , [mm]x_{2} \in[/mm] X mit [mm]f(x_{1})[/mm] = [mm]f(x_{2})[/mm] bereits gilt
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]x_{2}[/mm]
Genau.
Seien also [mm] $x_1,x_2\in [/mm] X$ mit [mm] $f(x_1)=f(x_2)$ [/mm] gegeben.
Zu zeigen ist [mm] $x_1=x_2$.
[/mm]
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]g(f(x_{1}))[/mm] = [mm]g(f(x_{2}[/mm] = [mm]x_{2}[/mm]
Das stimmt und ist der entscheidende Punkt.
Ich bin nicht sicher, ob dir die Begründungen für das linke und das rechte Gleichheitszeichen klar sind.
Ausführlicher:
Es folgt
[mm] $x_1=id_X(x_1)=(g\circ f)(x_1)=g(f(x_1))=g(f(x_2))=(g\circ f)(x_2)=id_X(x_2)=x_2$.
[/mm]
> mit g(y)=x [mm]\wedge[/mm]
> f(x)=y
Wo kommen auf einmal x und y her?
Streiche diesen Teil ersatzlos.
> [mm]\Rightarrow[/mm] f ist injektiv
Ja.
Damit ist die Rückrichtung erledigt.
> Jetzt anders rum:
> Sei f injektiv. Dann existiert zu jedem y [mm]\in[/mm] f(x)
Du meinst $f(X)$ statt $f(x)$, also das Bild
[mm] $f(X)=\{f(x)\;|\;x\in X\}=\{y\in Y\;|\;\exists x\in X\colon f(x)=y\}$
[/mm]
der Menge X unter f?
> genau
> ein x [mm]\in[/mm] X mit f(x)=y
Ok, wenn du oben tatsächlich f(X) statt f(x) meintest.
> g(y)=x
Was meinst du mit g?
Was meinst du mit y und x?
> Für alle x [mm]\in[/mm] f(x) setzen wir in f(x)=y in g(y)
> ein.
> [mm]\Rightarrow[/mm] g(f(x))=x
> [mm]\Rightarrow[/mm] g: Y [mm]\to[/mm] X die Eigenschaft (g [mm]\circ[/mm] f) =
> [mm]id_{x}[/mm]
Ich kann dir nicht folgen, da ich nicht weiß, was du mit g meinst.
Da wir [mm] $X\not=\emptyset$ [/mm] annehmen, existiert ein [mm] $x_0\in [/mm] X$.
Wir wählen
[mm] $g\colon Y\to X,\quad g(y):=\begin{cases}\text{das (wegen der Injektivität von f eindeutig bestimmte) Element }x\in X\text{ mit }f(x)=y,&\text{falls ein solches x existiert}\\x_0,&\text{sonst}\end{cases}$.
[/mm]
Nun ist zu zeigen, dass diese Abbildung $g$ tatsächlich die Eigenschaft [mm] $g\circ f=id_X$ [/mm] hat.
Die beiden Abbildungen [mm] $g\circ f,id_X\colon X\to [/mm] X$ stimmen schon dann überein, wenn
(*) [mm] $(g\circ f)(x)=\id_X(x)$
[/mm]
für alle [mm] $x\in [/mm] X$ gilt.
Sei also [mm] $x\in [/mm] X$.
Zu zeigen ist (*).
Sei $y:=f(x)$.
Dann gilt $g(y)=x$ nach Definition von g.
Es folgt
[mm] $(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(y)=x=id_X(x)$.
[/mm]
Damit ist auch die Hin-Richtung erledigt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:24 Mo 09.11.2015 | | Autor: | tobit09 |
Übrigens geht es bei dieser Aufgabe zwar um Abbildungen, aber nirgendwo um LINEARE Abbildungen.
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