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| Aufgabe | Welche der folgenden Abbildungen sind linear? Begründen sie ihre Antwort!
(a) A : [mm] \IR^{3} \to \IR^{2} [/mm] , A(x,y,z) = (x+2y,y-z)
(b) B : [mm] \IR^{3} \to \IR^{2} [/mm] , B(x,y,z) = (x+y,z+1)
(c) C : [mm] \IR^{3} \to \IR^{2} [/mm] , C(x,y,z) = (x+yz,z)
(d) D : [mm] \IC \to \IC [/mm] , D(z) = [mm] \neg [/mm] z (Betrachten sie die Fälle K = [mm] \IC [/mm] und K = [mm] \IR [/mm] getrennt.) |
Wie finde ich denn heraus, ob eine Abbildung linear ist bzw. was muss ich da rechnen?
Ich komme mit der Aufgabe absolut nicht zurecht...
Wäre supi, wenn mir da jemand helfen könnte.
Danke schonmal!
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Hallo!
> Welche der folgenden Abbildungen sind linear? Begründen sie
> ihre Antwort!
> (a) A : [mm]\IR^{3} \to \IR^{2}[/mm] , A(x,y,z) = (x+2y,y-z)
> (b) B : [mm]\IR^{3} \to \IR^{2}[/mm] , B(x,y,z) = (x+y,z+1)
> (c) C : [mm]\IR^{3} \to \IR^{2}[/mm] , C(x,y,z) = (x+yz,z)
> (d) D : [mm]\IC \to \IC[/mm] , D(z) = [mm]\neg[/mm] z (Betrachten sie die
> Fälle K = [mm]\IC[/mm] und K = [mm]\IR[/mm] getrennt.)
> Wie finde ich denn heraus, ob eine Abbildung linear ist
> bzw. was muss ich da rechnen?
> Ich komme mit der Aufgabe absolut nicht zurecht...
> Wäre supi, wenn mir da jemand helfen könnte.
> Danke schonmal!
Wie wär's denn mal mit Nachschlagen in einem Buch oder in der Vorlesungsmitschrift?  Also, eine Abbildung f ist linear, wenn folgendes gilt:
$f(x+y)=f(x)+f(y)$
also in Worten: Das Bild der Summe zweier Argumente ist gleich der Summe der Bilder dieser beiden Argumente
und
[mm] f(\lambda*x)=\lambda*f(x) [/mm] mit [mm] \lambda [/mm] aus dem Körper
Du musst also diese beiden Eigenschaften überprüfen.  Kleiner Tipp: falls eine der beiden Eigenschaften nicht gilt, brauchst du die andere nicht mehr zu überprüfen und es reicht, als Beweis ein Gegenbeispiel anzugeben.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo zusammen,
noch was dazu: wenn zB [mm] f_i\colon K^n\to [/mm] K , [mm] 1\leq i\leq [/mm] m Abbildungen sind (K ein Koerper), dann ist
[mm] f\colon K^n\to K^m [/mm] mit [mm] f(v)=(f_1(v),.....f_m(v)) [/mm]
linear genau dann, wenn alle [mm] f_i [/mm] linear sind.
Ebenso:
Wenn V und W zwei Vektorr"aume ueber K sind und [mm] f,g\colon V\to [/mm] W linear, so sind auch alle Abb. [mm] h\colon V\to [/mm] W,
h(v) = [mm] a\cdot [/mm] f(v) + [mm] b\cdot [/mm] g(v) [mm] (a,b\in [/mm] K) linear.
Gruss,
Mathias
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