Lineare Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Untersuchen sie anhand der Definition, welche der folgenden Abbildungen linear sind:
f: [mm] R^4 [/mm] --> [mm] R^2 [/mm] f(x) = [mm] \pmat{ 4 x_{1} + 2 x_{2} - x_{4}\\ & x_{1}- 6 x_{3}+3} [/mm] |
Meine Frage: Wie habe ich bei einer solchen Aufgabe vorzugehen? Bzw. Was bedeutet ich soll es anhand der Definition untersuchen?
Über eine Hilfe würde ich mich sehr freuen!
Liebe GRüße
( Die beiden Zeilen sind leider verrutscht, sie sollen eigentlich untereinander stehen! )
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:09 Do 19.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo rotespinne!
Eine Abbildung $f:V [mm] \to [/mm] W$ zwischen $K$-Vektorräumen ist genau dann linear, wenn
[mm] $f(\lambda [/mm] x + [mm] \mu [/mm] y) = [mm] \lambda [/mm] f(x) + [mm] \mu [/mm] f(y)$
für alle [mm] $x,y\in [/mm] V$ und alle [mm] $\lambda,\mu \in [/mm] K$ gilt.
Insbesondere, das kann man sich leicht überlegen, muss $f(0)=0$ gelten.
Ist das hier der Fall?
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:04 Do 19.01.2006 | | Autor: | rotespinne |
Ixh wäre sehr dankbar wenn einer von euch die Aufgabe einmalk lösen könnte und mir in einzelnen Schritten sagen können was bzw. wie es zu tun ist?
Da ich krank war habe ich es leider verpasst :(
Danke und Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo!
> Ixh wäre sehr dankbar wenn einer von euch die Aufgabe
> einmalk lösen könnte und mir in einzelnen Schritten sagen
> können was bzw. wie es zu tun ist?
>
> Da ich krank war habe ich es leider verpasst :(
Also, ein bisschen was kannst du aber schon mal versuchen, Julius hat dir doch schon gute Anhaltspunkte gegeben. Und auch wenn man krank ist, kann man sich früher oder später Bücher nehmen, ein bisschen querlesen und mal ein bisschen was versuchen.
Warum sieht denn deine Aufgabe so komisch aus - das ist doch wohl auf der rechten Seite ein Vektor und keine Matrix, oder? Wieso sieht das denn so komisch aus?
Jedenfalls gilt hier: [mm] f(\vektor{0\\0\\0\\0})=\vektor{0\\3} [/mm] (das ist einfach in die Definition eingesetzt) und nach der Mitteilung von Julius kann es demnach keine lineare Abbildung sein.
Ansonsten musst du allgemein die Definition der Linearität einfach überprüfen, also für f(x) deine Funktion einsetzen und gucken, ob es stimmt, so wie hier mit dem Nullvektor.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal!
ICh habe bereits alles nachgearbeitet doch leider einiges nicht verstanden :(
Mit Julius Aussage kann ich aus dem Grund nicht viel anfangen, da ich das Zeichen noch nicht gesehen habe und somit leider nicht weiß was es damit auf sich hat bzw. was er mir damit sagen möchteß??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:41 Do 19.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo rotespinne
Es ist fast unmöglich, dass du Bücher und Vorlesung gelesen hasr und das Zeichen [mm] \in [/mm] nicht kennst. wie macht ihr denn kenntlich, dass etwas ein Element von ist? [mm] \lambda,\mu\in [/mm] K bedeutet, dass [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] Elemente aus dem Korper K sind. Wenn K etwa [mm] \IZ [/mm] ist also, dass [mm] \lambda,\mu\ [/mm] ganze Zahlen sind.
Und x,y sind eben bei dir Vektoren aus [mm] \IR^{4}, [/mm] also kann man sie darstellen als x= [mm] \vektor{x1 \\ x2\\x3\\x4} [/mm] Wenn du jetzt deine Funktion auf diesen Vektor anwendest bekommst du einen Vektor v aus [mm] \IR^{2} [/mm] man schreibt [mm] v\in\IR^{2}
[/mm]
linear heisst, das "Vielfache" eines Vektors, also [mm] \lambda* [/mm] x wird auf [mm] \lambda*f(x) [/mm] abgeebildet, und die Summe von zwei Vektoren wird auf die Summe ihrer Bilder abgebildet.
also muss [mm] \lambda*x-\lambda*x [/mm] =0 auf [mm] \lambda*f(x)-\lambda*f(x)=0 [/mm] abgebildet werden: wegen der 3 wird aber 0 nicht auf 0 abgebildet, deshalb ist diese Abbildung nicht linear. Mehr kann man dazu nicht rechnen oder sagen.
Wenn dus lieber anders machen willst bilde einen einfachen Vektor z. Bsp
x= [mm] \vektor{1 \\ 0\\0\\0} [/mm] ab f(x)=v, dann 5*x = [mm] \vektor{5 \\ 0\\0\\0}.f(5x)=w [/mm] und sieh nach dass das Ergebnis w nicht der fünffache von v ist!
Gruss leduart.
|
|
|
|
