Lineare Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:07 Mi 10.05.2006 | | Autor: | Pubaer |
Hallo erstmal!
Bevor ich hier einfach so meine Aufgabe poste, obwohl ich (fast) keine Idee haben wie ich sie angehen soll, würde ich mich freuen wenn ihr mir ein paar grundlegende Fragen zu linearen Abbildungen beantworten könntet:
1. Wie kann mann zeigen, dass eine Abbildung (z.B. [mm] \varphi: [/mm] V [mm] \mapsto [/mm] V mit V = {f : (0, [mm] \infty) \mapsto \IR}) [/mm] und [mm] \varphi(f)(x)=f(x)^2)linear [/mm] ist oder nicht. In der Vorlesung habe ich es einfach nicht verstanden. Die Kriterien für lineare Abbildungen haben wir mit [mm] \varphi(x+y)=\varphi(x)+\varphi(y) [/mm] (und analog die Skalarmultiplikation) definiert. Wenn dies stimmen sollte, wüsste ich aber immer noch nicht wie ich damit eine lineare Abbildung identifizieren könnte.
2. Was ist der Kern einer Abbildung? Und wie bestimmt man ihn?
3. Wie funktioniert das mit linearen Abbildungen im Vektorraum der reelen Polynome?
Sorry wenn meine Fragen zu allgemein gestellt sind, aber ich bin Erstsemester und habe einen Prof. in LinA1 der fast kein deutsch sprechen kann und wir uns eigentlich alles selber erarbeiten müssen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt!
MfG Pubär
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Hallo und guten Abend!
> 1. Wie kann mann zeigen, dass eine Abbildung (z.B.
> [mm]\varphi:[/mm] V [mm]\mapsto[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V mit V = {f : (0, [mm]\infty) \mapsto \IR})[/mm]
> und [mm]\varphi(f)(x)=f(x)^2)linear[/mm] ist oder nicht. In der
> Vorlesung habe ich es einfach nicht verstanden. Die
> Kriterien für lineare Abbildungen haben wir mit
> [mm]\varphi(x+y)=\varphi(x)+\varphi(y)[/mm] (und analog die
> Skalarmultiplikation) definiert. Wenn dies stimmen sollte,
> wüsste ich aber immer noch nicht wie ich damit eine lineare
> Abbildung identifizieren könnte.
Wenn ihr es so definiert habt, stimmt es natürlich auch. Und genau diese Eigenschaften musst du dann auch zeigen. Allerdings weiß ich nicht, wie ich das noch allgemein erklären soll, da es eigentlich ziemlich einfach ist und ich nicht weiß, wo dein Problem dabei liegt. Vielleicht hast du eine Beispielaufgabe oder ein Beispiel aus der Vorlesung, das du mal posten kannst?
> 2. Was ist der Kern einer Abbildung? Und wie bestimmt man
> ihn?
Der Kern sind alle Elemente, die auf das Nullelement abgebildet werden. Also alle x, für die gilt: f(x)=0. Bestimmen tut man ihn mit einem LGS. Wie das genau geht, kannst du in unserer Mathebank nachlesen:  Wie man den Kern einer linearen Abbildung bestimmt.
> 3. Wie funktioniert das mit linearen Abbildungen im
> Vektorraum der reelen Polynome?
Was genau möchtest du denn hier wissen?
> Sorry wenn meine Fragen zu allgemein gestellt sind, aber
> ich bin Erstsemester und habe einen Prof. in LinA1 der fast
> kein deutsch sprechen kann und wir uns eigentlich alles
> selber erarbeiten müssen.
Das ändert nichts daran, dass man auf so allgemeine Frage recht schlecht antworten kann. Sorry. Vielleicht kannst du deine Fragen doch noch spezieller formulieren, oder du postest Beispiele oder Zitate aus der Vorlesung, mit denen du nicht klar kommst.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 Do 11.05.2006 | | Autor: | Pubaer |
| Aufgabe | Aufgabe 1:
Welche der folgenden Abbildungen [mm] \varphi:V \mapsto [/mm] V ist linear? Gegenbeispiel oder Beweis der Linearität! Bestimmen Sie im zweiten Fall den Kern der Abbildung.
a) hab ich geschafft
b)Sei [mm] V=\{ f:(0, \infty) \mapsto \IR \} [/mm] und [mm] \varphi [/mm] (f) die Funktion definiert durch [mm] \varphi(f)(x) [/mm] = f(1/x).
c)Sei [mm] V=\{f:(0, \infty) \mapsto \IR \} [/mm] und [mm] \varphi [/mm] (f)die Funktion definiert durch [mm] \varphi(f)(x) [/mm] = [mm] f(x)^2. [/mm] |
Hallo nochmal!
So, ich habe mich heute ein bisl schlauer gemacht und kann meine probleme genauer definieren:
Aufgabe a) habe ich geschafft (man musste die Linearität eines Kreuzproduktes [mm] \varphi(x)= [/mm] A x X, V= [mm] \IR^3 [/mm] ,A [mm] \in\IR^3) [/mm] Dort konnte ich relative simpel die beiden Kriterien für Linearität nachprüfen, doch bei b) und c) habe ich ein Problem mit der Aufgabenstellung denn [mm] \varphi [/mm] ist ja eine Abbildung und f ist ja auch eine Abbildung, d.h. ja ich muss prüfen ob Abbildung der Abbildung linear ist, oder? Falls das stimmen sollte wüsste ich aber im noch nicht ob ich jetzt
[mm] \varphi(f)(x+y) [/mm] = [mm] \varphi(f)(x) [/mm] + [mm] \varphi(f)(y) [/mm] oder
[mm] \varphi(f+g)(x) [/mm] = [mm] \varphi(f)(x) [/mm] + [mm] \varphi(g)(x) [/mm]
(wobei ich hierbei nicht wüsste ob man einfach g einführen dürfte, da dies ja eine weitere Abbildung wäre)
nachweisen müsste. Und wie ich es machen sollte weiß ich auch nicht so wirklich, da ja z. B. bei Aufgabe b) f:(0, [mm] \infty \mapsto \IR) [/mm] ist und 1/x gar nicht für x=0 definiert ist.
Ich bedanke mich!
VG Pubär
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 Do 11.05.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Pubär,
> doch bei b) und c)
> habe ich ein Problem mit der Aufgabenstellung denn [mm]\varphi[/mm]
> ist ja eine Abbildung und f ist ja auch eine Abbildung,
> d.h. ja ich muss prüfen ob Abbildung der Abbildung linear
> ist, oder?
Stimmt! Vielleicht klärt sich die Begriffsverwirrung etwas, indem man mal zwei verschiedene Ausdrücke verwendet (die eigentlich aber trotzdem das gleiche bedeuten). Nennen wir f mal eine Funktion, dann ist zu untersuchen, ob die Abbildung [mm] \varphi, [/mm] die einer Funktion eine andere Funktion zuordnet, linear ist.
> Falls das stimmen sollte wüsste ich aber im noch
> nicht ob ich jetzt
> [mm]\varphi(f)(x+y)[/mm] = [mm]\varphi(f)(x)[/mm] + [mm]\varphi(f)(y)[/mm] oder
>
> [mm]\varphi(f+g)(x)[/mm] = [mm]\varphi(f)(x)[/mm] + [mm]\varphi(g)(x)[/mm]
> (wobei ich hierbei nicht wüsste ob man einfach g einführen
> dürfte, da dies ja eine weitere Abbildung wäre)
> nachweisen müsste.
Letzteres! Die Summe muss aus zwei Elementen des gegebenen Vektorraums (in diesem Fall also Funktionenraums) bestehen. Wenn man nun zwei Funktionen (z.B. [mm] \varphi(f+g) [/mm] und [mm] \varphi(f)+\varphi(g)) [/mm] auf Gleichheit untersuchen will muss diese dann natürlich für alle Werte des Definitionsbereischs gelten (in diesem Fall also [mm] \varphi(f+g)(x)=(\varphi(f)+\varphi(g))(x) [/mm] für alle [mm] x\in(0,\infty) [/mm] ).
Dass hier noch ein g auftaucht ist nicht tragisch, f ist ja nur eine Variablenbezeichnung für eine beliebige Funktion.
> Und wie ich es machen sollte weiß ich
> auch nicht so wirklich, da ja z. B. bei Aufgabe b) f:(0,
> [mm]\infty \mapsto \IR)[/mm] ist und 1/x gar nicht für x=0 definiert
> ist.
>
Üblicherweise bedeuten die Runden Klammern an den Intervallgrenzen, dass diese Werte ausgeschlossen sind. Das wird hier denke ich auch so sein, als gibt es dieses Problem schon mal nicht.
> Ich bedanke mich!
> VG Pubär
Bitteschön (ich hoffe es hilft weiter...)
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Do 11.05.2006 | | Autor: | Pubaer |
Danke erstmal piet! Das hat mir auf jeden Fall schon weiter geholfen.
Jetzt mal auf meine Aufgaben angewandt würde das heißen:
für b) [mm] \varphi(f+g)(x)=(\varphi(f)+\varphi(g))(x) [/mm] und [mm] c\varphi(f)(x)=\varphi [/mm] c(f)(x) muss gezeigt werden
Also [mm] \varphi(f+g)(1/x)=(f+g)(1/x)
[/mm]
(Den Schritt ist für mich klar da laut Def. von [mm] \varphi(f) [/mm] , [mm] \varphi(f)(1/x)=(f)(1/x) [/mm] ist.
und [mm] (\varphi(f)+\varphi(g))(1/x)=(f+g)(1/x)
[/mm]
(Ich weiß bei diesem Schritt nicht so ganz ob ich das so machen darf.)
Und für die Skalarmultiplikation:
[mm] c\varphi(f)(x)=cf(1/x)
[/mm]
(Dieser Schritt ist meiner Meinung nach laut Def. logisch)
[mm] \varphi [/mm] c(f)(x)=cf(1/x)
(Bei diesem bin ich mir nicht sicher, da dies wieder nicht ganz der Def. entspricht. Ich glaube ich habe Zwischenschritte vergessen.)
Vielleicht ist auch alles falsch was ich gemacht habe denn ich habe nicht die Einschränkung von f:(0, [mm] \infty) \mapsto \IR [/mm] benutzt.
Danke nochmal!
Mfg Pubär
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Do 11.05.2006 | | Autor: | piet.t |
Auch nochmal Hallo,
> Jetzt mal auf meine Aufgaben angewandt würde das heißen:
> für b) [mm]\varphi(f+g)(x)=(\varphi(f)+\varphi(g))(x)[/mm] und
> [mm]c\varphi(f)(x)=\varphi[/mm] c(f)(x) muss gezeigt werden
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also [mm]\varphi(f+g)(1/x)=(f+g)(1/x)[/mm]
Links sollte es aber schon x statt 1/x heißen, sonst stimmt das ja nicht mit der Definition von [mm] \varphi [/mm] überein.
> (Den Schritt ist für mich klar da laut Def. von [mm]\varphi(f)[/mm]
> , [mm]\varphi(f)(1/x)=(f)(1/x)[/mm] ist.
> und [mm](\varphi(f)+\varphi(g))(1/x)=(f+g)(1/x)[/mm]
> (Ich weiß bei diesem Schritt nicht so ganz ob ich das so
> machen darf.)
Auch hier sollte links wieder ....(x) stehen. Etwas ausführlicher sieht das ganze dann so aus:
[mm]
(\varphi(f) + varphi(g))(x)=
\varphi(f)(x) + \varphi(g)(x) =
f(1/x) + g(1/x) =
(f+g)(1/x)
[/mm]
So kommt vielleicht noch besser raus, wie man [mm] \varphi [/mm] auf die einzelnen Funktionen anwendet.
>
> Und für die Skalarmultiplikation:
> [mm]c\varphi(f)(x)=cf(1/x)[/mm]
> (Dieser Schritt ist meiner Meinung nach laut Def.
> logisch)
> [mm]\varphi[/mm] c(f)(x)=cf(1/x)
> (Bei diesem bin ich mir nicht sicher, da dies wieder nicht
> ganz der Def. entspricht. Ich glaube ich habe
> Zwischenschritte vergessen.)
>
So wie ich das sehe entspricht das genau der Definition, also auch
> Vielleicht ist auch alles falsch was ich gemacht habe denn
> ich habe nicht die Einschränkung von f:(0, [mm]\infty) \mapsto \IR[/mm]
> benutzt.
Die braucht man hier auch nicht wirklich, wichtig ist eigentlich nur, dass [mm] x\ne0.
[/mm]
>
> Danke nochmal!
>
> Mfg Pubär
Aufgabe (c) macht das ganze Vorgehen vielleicht noch etwas klarer, da man dann auch ein bisschen Rechnen kann und nicht nur wie hier ein paar Klammern hin- und herschiebt, was doch recht verwirrend werden kann... 
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:26 Fr 12.05.2006 | | Autor: | Pubaer |
Morgen!
Also geh ich recht in der Annahme das Aufgabe b) und c) sich eigentlich fast gar nicht unterscheiden? Und beide linear sind, denn beide erfüllen die Kriterien. Jetzt muss ich dann aber noch den Kern der Abbildungen von b) und c) bestimmen. Ich weiß: Der Kern sind alle Elemente, die auf das Nullelement abgebildet werden. Also alle x, für die gilt: f(x)=0. Da ich aber nicht weiß wie ich [mm] \varphi(f)(x)=0 \gdw [/mm] f(1/x)=0 nach x auflösen kann, habe ich wieder ein Problem.
Mein Gedanke dazu ist das f ja eine Abbildung [mm] (0,\infty) \mapsto \IR [/mm] ) ist, also kann ich für x alle Werte von 0 bis [mm] \infty [/mm] einsetzten, da diese Gleichung aber nie null wird, hat die Abbildung von Aufgabe b) keinen Kern?!
Bei Aufgabe c) würde ich also [mm] f(x)^2 [/mm] =0 setzen und als Kern 0 herausbekommen da [mm] f(x)^2 [/mm] nur für x=0 null ergibt, da aber die Abbildung f nicht für 0 def. ist, sondern erst für >0, besitzt auch diese Abbildung keinen Kern?!
Thanx!
VG Pubaer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 Fr 12.05.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
...ich schon wieder.
Zur Aufgabe c): die unterscheidet sich schon deutlich von Aufgabe b), denn bei b) wirkt [mm] \varphi [/mm] nur auf das Argument der Funktion f, bei c) aber auf die Funktion selber!! Und schon mal in Vorwegnahme des Ergebnisses: bei c) ist [mm] \varphi [/mm] nicht(!) linear.
Zum Kern: Der Ansatz f(1/x) = 0 ist schon O.K., allerdings musst Du hier nicht nach x auflösen. Nullelement des Funktionenvektorraums ist doch die Funktion, die überall (d.h. für alle x) = 0 ist. Es bleibt also die Frage: wie muss f beschaffen sein, dass f(1/x) = 0 für alle [mm] x\in(0,\infty) [/mm] ?
Bei c) erübrigt sich dann die Frage, weil da ja [mm] \varphi [/mm] wie schon gesagt nicht linear ist.
Gruß
piet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Do 18.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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