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Lineare Abbildungen: Anregungen/ Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:27 Fr 23.11.2007
Autor: Achilles2084

Aufgabe
Welche der folgenden Abbildungen sind linear? Bestimmen sie gegebenfalls Basen von Kern und Bild.
a.) R² nach R², (x1,x2) nach (x2-x1, x1-1)

Hallo Leute,

ich habe grade mit meinem Studium angefangen und komme in dieser neuen Welt irgendwie nicht klar :( Also dass ist Aufgabe 1 von meinem Zettel wobei es mehrere Teilaufgaben gibt wäre aber für einen Denkanstoß sehr dankbar.

Ich weiß dass ich die Bedingungen

I) f(x+y)=f(x)+f(y)
II) f(µx)=µf(x)

zeigen soll, mir ist aber nicht klar wie. Könnt ihr mir bitte die Weise zeigen wie man an sowas rangeht und dass irgendwie erklären.

Ich danke euch

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Lineare Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:45 Fr 23.11.2007
Autor: Event_Horizon

Hallo!

Zuerst mußt du dir klar machen, was diese x und y in f(x+y)=f(x)+f(y) überhaupt sind. Die Vorschrift sagt, es sind Zahlentupel, ich schreibe die mal als Vektor:

[mm] x=\vektor{x_1\\x_2} [/mm]

[mm] y=\vektor{y_1\\y_2} [/mm]

[mm] x+y=\vektor{x_1\\x_2}+\vektor{y_1\\y_2}=\vektor{x_1+y_1\\x_2+y_2} [/mm]


Nun ist die Funktion

[mm] \vektor{a\\b}\mapsto\vektor{b-a\\a-1} [/mm]    (Ich habe das mal mit a und b gemacht, damit das nicht so verwirrend ist)


Jetzt bist du dran:


[mm] \vektor{x_1\\x_2}\mapsto? [/mm]

[mm] \vektor{y_1\\y_2}\mapsto? [/mm]

[mm] \vektor{x_1+y_1\\x_2+y_2}\mapsto? [/mm]


Ist die Summe der ersten beiden gleich dem dritten?




Der zweite Teil geht ganz ähnlich. Hier kommt aber ne skalare (einzelne) Zahl ins Spiel:

[mm] \alpha*x=\alpha*\vektor{x_1\\x_2}=\vektor{\alpha*x_1\\ \alpha*x_2} [/mm]

Kommst du damit weiter?

Bezug
                
Bezug
Lineare Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:06 Fr 23.11.2007
Autor: Achilles2084

Okay,

also habe ich beim ersten für

[mm] \vektor{x1 \\ x2} \mapsto \vektor{a\\b} [/mm]

[mm] \vektor{y1\\y2} \mapsto \vektor{b-a\\a-1} [/mm]

also folgt aus

[mm] \vektor{a\\b} +\vektor{b-a\\a-1} [/mm]

Summe: [mm] \vektor{b\\b+a-1} [/mm]

Aus diesem Schluss würde ich sagen es ist nicht linear. Aber ich weiß nicht ob ich das richtig gemacht hab (kriech unter den Tisch)

Danke für die schnelle Antwort

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Lineare Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:15 Fr 23.11.2007
Autor: Event_Horizon

Hallo!

die a's und b's waren nur Platzhalter für deine x und y.

Es geht so:


[mm]\vektor{x_1 \\ x_2} \mapsto \vektor{x_2-x_1\\x_1-1}[/mm]
[mm]\vektor{y_1 \\ y_2} \mapsto \vektor{y_2-y_1\\y_1-1}[/mm]

[mm]\vektor{x_1+y_1 \\ x_2+y_2} \mapsto \vektor{(x_2+y_2)-(x_1+y_1)\\(x_1+y_1)-1}[/mm]


Wenn du die Summe des oberen mit dem unteren vergleichst, erhälst du:

[mm] \vektor{(x_2+y_2)-(x_1+y_1)\\(x_1+y_1)\red{-2}}\neq \vektor{(x_2+y_2)-(x_1+y_1)\\(x_1+y_1)\red{-1}} [/mm]
  

Diese -1 wird dir übrigens auch bei dem zweiten Teil einen Strich durch die Rechnung machen.


Bezug
                                
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Lineare Abbildungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:46 Fr 23.11.2007
Autor: Achilles2084

Manchmal geht es leichter als man denkt.

Vielen Dank.

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Lineare Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:33 Sa 24.11.2007
Autor: Achilles2084

Sorry, kannst du mir das nochmal mit dem zweiten Aufgabenteil zeigen:

Das wäre der Anfang: [mm] f(\lambda [/mm] x) = [mm] \lambda [/mm] f(x)

Das würde dann [mm] \vektor{\lambda x1\\\lambda x2} \mapsto \vektor{\lambda x2- \lambda x1 \\ \lambda x1- \lambda 1} [/mm]

Der zweite Teil der Gleichung wäre dann:

[mm] \lambda \vektor{x1\\x2} \mapsto \lambda \vektor{x2-x1\\x1-1} [/mm]

Und jetzt?



Bezug
                                        
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Lineare Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:44 Sa 24.11.2007
Autor: schachuzipus

Hallo Achilles,


> Sorry, kannst du mir das nochmal mit dem zweiten
> Aufgabenteil zeigen:
>
> Das wäre der Anfang: [mm]f(\lambda[/mm] x) = [mm]\lambda[/mm] f(x)
>  
> Das würde dann [mm]\vektor{\lambda x1\\\lambda x2} \mapsto \vektor{\lambda x2- \lambda x1 \\ \lambda x1- \blue{1}}[/mm]

Hier musst du aufpassen !! Schau dir nochmal genau die Abbildungsvorschrift an ;-)

  

> Der zweite Teil der Gleichung wäre dann:
>  
> [mm]\lambda \vektor{x1\\x2} \mapsto \lambda \vektor{x2-x1\\x1-1}[/mm] [ok]

[mm] $=\vektor{\lambda \cdot{}(x_2-x_1)\\\lambda\cdot{}(x_1-1)}=\vektor{\lambda \cdot{}x_2-\lambda\cdot{}x_1\\\lambda\cdot{}x_1-\lambda\cdot{}1}$ [/mm]

Also [mm] $\neq \vektor{\lambda x_2- \lambda x_1 \\ \lambda x_1- \blue{1}}$ [/mm]


>  
> Und jetzt?
>  
>  

LG

schachuzipus

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Bezug
Lineare Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:55 Sa 24.11.2007
Autor: Achilles2084

Liegt das mit der -1 statt dem [mm] -\lambda [/mm] 1 daran, dass ich das Lambda nur dem x zuweisen darf? (Erster Teil der Gleichung)

Beim zweiten multipliziere ich das [mm] \lambda [/mm] ja nur aus.



Bezug
                                                        
Bezug
Lineare Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:03 Sa 24.11.2007
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

das liegt doch an der Abbildungsvorschrift.

Vllt. wird's klarer, wenn wir das mal etwas umbenennen:

Die Abbildung schickt einen Vektor [mm] $\vektor{z_1\\z_2}$ [/mm] auf [mm] $\vektor{z_2-z_1\\z_1-1}$ [/mm]

Nun, was ist das Bild des Vektors [mm] $\vektor{\lambda x_1\\\lambda x_2}$? [/mm]

Nennen wir [mm] $\lambda x_1:=z_1$ [/mm] und [mm] $\lambda x_2:=z_2$, [/mm] dann wird der geschickt auf

[mm] $\vektor{z_2-z_1\\z_1-1}=\vektor{(\lambda x_2)-(\lambda x_1)\\(\lambda x_1)-1}=\vektor{\lambda x_2-\lambda x_1\\\lambda x_1-1}$ [/mm]


Gruß

schachuzipus

Bezug
                                                                
Bezug
Lineare Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:42 Sa 24.11.2007
Autor: Achilles2084

Aufgabe
[mm] \IR² \mapsto \IR³, \vektor{x1,\\x2} \mapsto \vektor{x2-x1,\\ x1-x2,\\ 0} [/mm]  

Versprochen, meine letzte Frage. Dass hab ich schon verstanden. Ich gehe mal davon aus dass die obenstehende Abbildung genauso gelöst wird oder muss ich da jetzt etwas beachten weil ich auf [mm] \IR³ [/mm] abbilde? Was mich auch irritiert ist, warum steht dass mit der Basis und dem Kern in der Aufgabenstellung?

Bezug
                                                                        
Bezug
Lineare Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:55 Sa 24.11.2007
Autor: schachuzipus

Hallo Dario,


> [mm]f:\IR² \mapsto \IR³, \vektor{x1,\\x2} \mapsto \vektor{x2-x1,\\ x1-x2,\\ 0}[/mm]
> Versprochen, meine letzte Frage. Dass hab ich schon
> verstanden. Ich gehe mal davon aus dass die obenstehende
> Abbildung genauso gelöst wird [daumenhoch] oder muss ich da jetzt etwas
> beachten weil ich auf [mm]\IR³[/mm] abbilde? Was mich auch irritiert
> ist, warum steht dass mit der Basis und dem Kern in der
> Aufgabenstellung?

Das ist ne Zusatzaufgabe ;-)

Falls du ne lineare Abb. hast, kannst du deren Kern und Bild bestimmen.

Weißt du, wie?

Hilfreich sind der Dimensionssatz (Bild-Kern-Satz) und das Erstellen einer Abbildungsmatrix (am einfachsten bzgl. der Standardbasen des [mm] \IR^2 [/mm] und [mm] \IR^3). [/mm]

Wahlweise kannst du den Kern auch direkt berechnen durch Lösen des GS

[mm] $f\vektor{x_1\\x_2}=\vektor{0\\0\\0}$ [/mm]


LG

schachuzipus

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