Lineare Abbildungen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 So 09.03.2008 | | Autor: | marteen |
| Aufgabe | 1 ) Man gebe eine lineare Abbildung an f: [mm] \IR^{3} \to \IR^{4}, [/mm] sodass
Bild (f) = < [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ -4} [/mm] , [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ -1 \\ -3} [/mm] >
2) Sei g: [mm] \IR^{3} \to \IR^{4} [/mm] mit [mm] f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) [/mm] = [mm] (x_{1}-x_{2}+2x_{3} [/mm] , [mm] 2x_{1}-2x_{3} [/mm] , [mm] -x_{1}-x_{2}+4x_{3} [/mm] , [mm] 3x_{1}-x_{2})
[/mm]
Bestimme Basen von Kern und Bild. |
Hallo zusammen,
1) ich scheitere kläglich an dieser Aufgabe, da mir einfach die zündende Idee fehlt. Verstehe ich die Aufgabe richtig, dass ich eine Lineare Abbildung finden soll, sodass das Bild der Spann der beiden Vektoren ist? Ich habe aber nicht den leisesten Schimmer, wie ich das machen soll.
Wäre sehr dankbar für einen Tipp.
2) Zum Kern: Ich habe ein LGS aufgestellt und jede Zeile = 0 gesetzt, also [mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + [mm] 2x_{3} [/mm] = 0 etc. Ich habe herausbekommen, dass [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 1} [/mm] eine Basis für den Kern ist. Ist das soweit korrekt?
Zum Bild: Auch hier habe ich keine Ahnung, ich habe etwas versucht aber nur einen Vektor gefunden - das kann ja aber nicht richtig sein, da nach meiner Basis für den Kern die Dimension für das Bild 2 sein müsste. Wo liegt mein Fehler? Auch hier wäre ich für Tipps dankbar.
Grüße
Grüße
|
|
| |
|
> 1 ) Man gebe eine lineare Abbildung an f: [mm]\IR^{3} \to \IR^{4},[/mm]
> sodass
>
> Bild (f) = < [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ -4}[/mm] , [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ -1 \\ -3}[/mm]
> >
>
> 2) Sei g: [mm]\IR^{3} \to \IR^{4}[/mm] mit [mm]f(x_{1}, x_{2}, x_{3})[/mm] =
> [mm](x_{1}-x_{2}+2x_{3}[/mm] , [mm]2x_{1}-2x_{3}[/mm] ,
> [mm]-x_{1}-x_{2}+4x_{3}[/mm] , [mm]3x_{1}-x_{2})[/mm]
>
> Bestimme Basen von Kern und Bild.
> Hallo zusammen,
>
> 1) ich scheitere kläglich an dieser Aufgabe, da mir einfach
> die zündende Idee fehlt. Verstehe ich die Aufgabe richtig,
> dass ich eine Lineare Abbildung finden soll, sodass das
> Bild der Spann der beiden Vektoren ist? Ich habe aber nicht
> den leisesten Schimmer, wie ich das machen soll.
Hallo,
erinnere Dich daran, daß eine lineare Abbldung eindeutig durch die Angabe der Werte auf einer Basis bestimmt ist.
Wenn Du jetzt mit der lin. Abb. f z.B. den ersten Standardbasisvektor auf [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ -4} [/mm] abbildest, den zweiten auf [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ -1 \\ -3} [/mm] und den dritten auf die Null, so hast Du die Aufgabe erfüllt.
> 2) Zum Kern: Ich habe ein LGS aufgestellt und jede Zeile =
> 0 gesetzt, also [mm]x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] + [mm]2x_{3}[/mm] = 0 etc. Ich habe
> herausbekommen, dass [mm]\vektor{1 \\ 3 \\ 1}[/mm] eine Basis für
> den Kern ist. Ist das soweit korrekt?
Ja.
> Zum Bild:
Das kannst Du so machen:
stell die darstellende Matrix der Abbildung auf. Die Spalten spannen das Bild der Abbildung auf.
Nun mußt Du eine Basis dieses aufgespannten Raumes finden mit irgendeiner der Methoden, die Du kennengelernt hast zum Auffinden eienr Basis.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 So 09.03.2008 | | Autor: | marteen |
Hallo angela,
vielen Dank für Deine Antwort.
Ich habe soweit alles verstanden, habe aber noch ein Problem mit der darstellenden Matrix. Ich habe jetzt etwas nachgedacht und habe irgendwo einen Knoten im Kopf - so ist das eben, wenn man die Semesterferien nicht zum Lernen nutzt.
Ist es richtig, dass die Matrix eine 4x4 Matrix ist? Ich hatte im Kopf, dass n=dimV und m=dimW, also in diesem Fall 3x4 wäre. Oder vertausche ich gerade etwas?
Meine Matrix würde so aussehen:
M = [mm] \pmat{ 1 & 2 & -1 & 3 \\ -1 & 0 & -1 & -1 \\ 2 & -2 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
|
|
|
| |
|
>>> 2) Sei g: $ [mm] \IR^{3} \to \IR^{4} [/mm] $ mit $ [mm] f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) [/mm] $ = $ [mm] (x_{1}-x_{2}+2x_{3} [/mm] $ , $ [mm] 2x_{1}-2x_{3} [/mm] $ , $ [mm] -x_{1}-x_{2}+4x_{3} [/mm] $ , $ [mm] 3x_{1}-x_{2}) [/mm] $
Hallo,
Du bildest ja vom [mm] \IR^3 [/mm] in den [mm] \IR^4 [/mm] ab.
Das bedeutet, daß die darstellende Matrix eine 4x3-Matrix ist.
In der ersten Spalte steht das Bild des ersten Standardbasisvekors, in der zweiten das des zweiten und in der dritten das des dritten.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
