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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:47 Di 01.02.2005 | | Autor: | Phobos |
Ich soll hier die Äquivalenz mehrerer Aussagen zeigen. Ich wollte wissen, ob ich aus V = Kern f [mm] \oplus [/mm] Bild f schließen kann, dass f ein Isomorphismus ist? (f Endomorphismus und V n-dimensionaler K-Vektorraum)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 Di 01.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Nein, kann man leider nicht. Dazu ist ja [mm] $Kern(f)=\{0\}$ [/mm] notwendig und hinreichend für einen Endomorphismus $f:V [mm] \to [/mm] V$, falls $V$ endlichdimensional ist.
Im Falle der Nullabbildung gilt deine Beziehung ja auch (sie gilt für jede lineare Abbildung $f:V [mm] \to [/mm] V$ mit $f [mm] \circ [/mm] f=f$).
Wie lautet denn genau die zu zeigende Äquivalenzkette?
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Di 01.02.2005 | | Autor: | Phobos |
Hier mal die Aufgabenstellung:
Es sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und f ein Endomorphismus von V. Zeigen sie die Äquivalenz folgender Aussagen:
(i) V = Kern f + Bild f
(ii) V = Kern f [mm] \oplus [/mm] Bild f
(iii) Bild f = Bild (f [mm] \circ [/mm] f)
(iv) dim Bild f = dim Bild (f [mm] \circ [/mm] f)
Zu (i) [mm] \Rightarrow [/mm] (ii) hab ich bisher:
Sei K Basis Kern f und B Basis Bild f
V = [K [mm] \cup [/mm] B] und dim Kern f + dim Bild f = dim V
[mm] \Rightarrow [/mm] K und B sind disjunkt
[mm] \Rightarrow [/mm] die Summe Kern f + Bild f ist direkt
Bei (ii) [mm] \Rightarrow [/mm] (iii) komm ich nicht weiter
(iii) [mm] \Rightarrow [/mm] (iv) is denk ich klar
(iv) [mm] \Rightarrow [/mm] (i)
dim Bild f = dim Bild (f [mm] \circ [/mm] f)
[mm] \Rightarrow [/mm] f ist bijektiv (stimmt aber glaub ich leider nicht :) )
[mm] \Rightarrow [/mm] Bild f = V (Automorphismus)
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Grüße!
Also, die Richtung $i) [mm] \Rightarrow [/mm] ii)$ sieht gut aus, sofern Du mit den eckigen Klammern das Erzeugnis meinst... sonst schreib lieber + statt [mm] $\cup$ [/mm] - bedenke, im Allgemeinen ist die (mengentheoretische) Vereinigung zweier Untervektorräume selbst keiner, man denke nur an die Achsen im [mm] $\IR^2$.
[/mm]
Für $ii) [mm] \Rightarrow [/mm] iii)$ folgender Tipp: Die Inklusion [mm] $Bild(f^2) \subseteq [/mm] Bild(f)$ sollte klar sein, nun ist also nur die andere Inklusion zu zeigen. (Ich kürze $f [mm] \circ [/mm] f$ einfach mit [mm] $f^2$ [/mm] ab.)
Man nehme also $v [mm] \in [/mm] Bild(f)$. Dann aber existiert ein $w [mm] \in [/mm] V$ mit $f(w) = v$. Auf $w$ kannst Du nun die Voraussetzung anwenden und es in ein Element aus dem Kern und ein Element aus dem Bild zerlegen. Kannst Du daraus folgern, dass $v [mm] \in Bild(f^2)$ [/mm] gilt?
Schließlich zu $iv) [mm] \Rightarrow [/mm] i)$ noch ein Hinweis: Aufgrund der oben genannten Inklusion folgt aus der Gleichheit der Dimensionen auch die Gleichheit der Räume, mit anderen Worten, Du kannst auch iii) annehmen. Vielleicht hilft das weiter.
Viel Erfolg!
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:59 Di 01.02.2005 | | Autor: | Phobos |
alles klar. danke! falls ich nicht weiter weiß meld ich mich wieder.
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