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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:46 Mi 29.10.2008 | | Autor: | ntolok |
Hallo Leute,
in der folgenden Aufgabe verstehe ich nicht die Frage:
Aufgabe:
a) Geben sie ein Beispiel von drei Mengen X,Y,Z und zwei Abbildungen f: [mm] X\to [/mm] Y und g: Y [mm] \to [/mm] Z an so dass [mm] g\circ [/mm] f bijecktiv ist aber f nicht surjektiv und g nicht injektiv ist.
b) Sei f: X [mm] \to [/mm] Y eine Abbildung. Zeigen Sie:
i) Es gibt genau dann eine Abbildung g: Y [mm] \to [/mm] X mit g [mm] \circ [/mm] f= idx und f [mm] \circ [/mm] g= idy, wenn f bijektiv ist. In diesem Fall gibt es genau eine solche Abbildung: Die Umkehrabbildung f (hoch) -1
ii) Sei f nun bijektiv, und sei h: Y [mm] \to [/mm] Z eine weitere bijektive Abbildung. Dann ist auch h [mm] \circ [/mm] f bijektiv, und es gilt (h [mm] \circ [/mm] f) (hoch) -1 = f (hoch) -1 [mm] \circ [/mm] h( hoch ) -1.
Danke im Voraus...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:18 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Bastiane |
Hallo ntolok!
> Hallo Leute,
> in der folgenden Aufgabe verstehe ich nicht die Frage:
Welche Frage verstehst du nicht und was genau daran?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:15 Mi 29.10.2008 | | Autor: | ntolok |
Hi,
ich würde einfach alles sagen... -:))
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Die Mitteilung Deine Mitteilung, daß Du "alles" nicht verstehst, ist ja nicht gerade aussagestark in der Hinsicht, daß sie Hinweise darauf gibt, was man Dir erklären müßte.
Beachte bitte, daß wir lt Forenregeln von Dir eigene Lösungsansätze von Dir erwarten.
Solche Lösungsansätze wären z.B. das Bereitstellen der benötigten Definitionen, sowie das Vorstellen der bisher unternommenen Versuche.
> Aufgabe:
> a) Geben sie ein Beispiel von drei Mengen X,Y,Z und zwei
> Abbildungen f: [mm]X\to[/mm] Y und g: Y [mm]\to[/mm] Z an so dass [mm]g\circ[/mm] f
> bijektiv ist aber f nicht surjektiv und g nicht injektiv
> ist.
Bevor es hier mit irgendwelchen Beweisereien losgeht, müssen erstmal die Materialien bereitgelegt werden.
Was ist mit [mm] g\circ [/mm] f gemeint?
Definitionsmenge? Zielmenge?
Was bedeutet es, wenn eine Funktion [mm] h:A\to [/mm] B injektiv ist?
Was bedeutet es, wenn eine Funktion [mm] h:A\to [/mm] B surjektiv ist?
Was bedeutet es, wenn eine Funktion [mm] h:A\to [/mm] B bijektiv ist?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:17 Mi 29.10.2008 | | Autor: | ntolok |
Hi angela,
na ja, deine Frage sind noch Grundlagen.
Ganz kurs:
- g [mm] \circ [/mm] f ist die Verknüpfung von Abblidungen g und f.
- h: A [mm] \to [/mm] B ist injektiv, wenn für alle x,x' [mm] \in [/mm] X gilt: f(x)=f(x') [mm] \to [/mm] x= x'
- sujektiv, wenn für alle y [mm] \in [/mm] Y gilt: [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] X: f(x)= y
- wenn h injektiv und surjektiv dann ist bijektiv...
die Aufgabe ist ganz anders formuliert, deshalb versteh ich nicht mehr...
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:58 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Bastiane |
Hallo ntolok!
> Hi angela,
> na ja, deine Frage sind noch Grundlagen.
> Ganz kurs:
>
> - g [mm]\circ[/mm] f ist die Verknüpfung von Abblidungen g und f.
> - h: A [mm]\to[/mm] B ist injektiv, wenn für alle x,x' [mm]\in[/mm] X gilt:
> f(x)=f(x') [mm]\to[/mm] x= x'
> - sujektiv, wenn für alle y [mm]\in[/mm] Y gilt: [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] X:
> f(x)= y
> - wenn h injektiv und surjektiv dann ist bijektiv...
Wenn du das alles weißt, dann musst du wirklich genauer beschreiben, was du an der Frage nicht verstehst.
> die Aufgabe ist ganz anders formuliert, deshalb versteh ich
> nicht mehr...
Natürlich ist sie anders formuliert, denn was Angela klären wollte, ist, dass du die nötigen Kenntnisse der Begriffe hast, um die Aufgabe lösen zu können. Aber sorry, ich kann dir wirklich nicht helfen, wenn du nicht sagst, was du nicht verstehst. Beweisen solltest du das schon selber. Wir können nur beim Verstehen helfen.
Viele Grüße
Bastiane
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:17 Do 30.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
vorneweg:
Wieso steht hier etwas von linearen Abbildungen?
Nun zu Aufgabenteil a):
> a) Geben sie ein Beispiel von drei Mengen X,Y,Z und zwei Abbildungen $f: $
> [mm] $X\to [/mm] $ Y und g: Y $ [mm] \to [/mm] $ Z an so dass $ [mm] g\circ [/mm] $ f bijecktiv ist aber f nicht
> surjektiv und g nicht injektiv ist.
Vorüberlegung:
Wenn $f: X [mm] \to [/mm] Y$ und $g: Y [mm] \to [/mm] Z$, dann ist $g [mm] \circ [/mm] f: X [mm] \to Z\,.$
[/mm]
Wie bekommt man nun eine möglichst einfache Bijektion $X [mm] \to [/mm] Z$ aufgeschrieben? Naja, wähle $X$ und $Z$ einelementig, meinetwegen schreibe [mm] $X=\{x\}$ [/mm] und [mm] $Z=\{z\}$. [/mm]
(Du könntest auch etwas konkreter meinetwegen [mm] $X=\{2\}$ [/mm] und [mm] $Z=\{10\}$ [/mm] wählen.)
Denn dann ist schon klar, dass $g [mm] \circ [/mm] f$ bijektiv ist. Es kann nur gelten $(g [mm] \circ f)(x)=z\,.$
[/mm]
(Im Beispiel mit den etwas konkreteren Menge [mm] $X=\{2\}$ [/mm] und [mm] $Z=\{10\}$ [/mm] bedeutete dass, dass $(g [mm] \circ [/mm] f): [mm] \{2\} \to \{10\}$.)
[/mm]
Jetzt überlege Dir mal, was hier passiert, wenn man $Y$ so wählt, dass $Y$ aus mehr als nur einem Element besteht...
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:48 Do 30.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
sei $f: X [mm] \to [/mm] Y$ eine Abbildung.
Zu Teil b) i):
1.)
> Zeigen Sie:
> i) Es gibt genau dann eine Abbildung $g: Y [mm] \to [/mm] X$ mit $g [mm] \circ [/mm] f= [mm] id_X$ [/mm]
> und $f [mm] \circ [/mm] g= [mm] id_Y$, [/mm] wenn [mm] $\black{f}$ [/mm] bijektiv ist.
Mach' Dir mal die Aufgabenstellung klar. Du hast zu zeigen:
Es existiert eine Abbildung $g: Y [mm] \to [/mm] X$ mit $g [mm] \circ [/mm] f= [mm] id_X$ [/mm] und $f [mm] \circ [/mm] g= [mm] id_Y$ [/mm]
[mm] $\gdw$ $\black{f}$ [/mm] ist bijektiv.
Zur Beweisrichtung [mm] "$\Leftarrow$":
[/mm]
Hier setzt man voraus, dass $f: X [mm] \to [/mm] Y$ bijektiv ist. Zu beliebigem $y [mm] \in [/mm] Y$ existiert wegen der Surjektivität von $f$ mindestens ein $x [mm] \in [/mm] X$ mit [mm] $f(x)=y\,.$ [/mm] Zu diesem $y$ kann es wegen der Injektivität von [mm] $\black{f}$ [/mm] aber nicht mehr als eines geben, also: zu beliebiegem $y [mm] \in [/mm] Y$ existiert genau ein $x [mm] \in [/mm] X$ mit $f(x)=y$. Definiere also $g(y):=...$??? [mm] ($\leftarrow$ wie wird man wohl $g(y)$ definieren? Wenn Du das richtig getan hast, zeige dann auch, dass daraus dann $g \circ f= id_X$ und $f \circ g= id_Y$ folgt.)
Zur Beweisrichtung "$\Rightarrow$":
Hier setzt man nun voraus, dass es eine Abbildung $g: Y \to X$ mit $g \circ f= id_X$ und $f \circ g= id_Y$ gibt. Zu zeigen ist, dass dann $\black{f}$ bijektiv ist, also sowohl surjektiv als auch injektiv.
1. Zur Injektivität:
Nimm' an, $\black{f}$ wäre nicht injektiv. Dann gibt es $x_1,x_2 \in X$ mit $x_1 \not=x_2$ und $f(x_1)=f(x_2)\,.$ Es ist aber nach Voraussetzung $g \circ f=id_X$, also $g \circ f: X \to X$ mit $(g \circ f)(x)=x$ für alle $x \in X$.
Wenn hier aber $f(x_1)=f(x_2)$, was folgt dann für $g(f(x_1))$ im Vergleich zu $g(f(x_2))$? Kann das sein?
2. Zur Surjektivität:
Sei $y \in Y$ beliebig. Wir müssen ein $x \in X$ finden mit $f(x)=y\,.$ Zeige, dass mit $x:=g(y)$ ein solches gefunden ist.
(Hinweis: Berechne damit $f(x)$ unter Beachtung der hier gegebenen Voraussetzung $f \circ g: Y \to Y$, $(f \circ g)(y)=y\,.$ für alle $y \in Y\,.$)
2.)
> In diesem Fall
Gemeint ist hier übrigens: Im Falle, dass $f : X \to Y$ bijektiv ist!
> gibt es genau eine solche Abbildung: Die Umkehrabbildung
> f (hoch) -1
Dazu nochmal folgendes:
In "$\Leftarrow$" von 1.) wurde, falls $\black{f}$ bijektiv ist, ein $g$ wie gewünscht konstruiert. Also existiert schonmal mindestens eine solche Funktion $g$ wie gewünscht.
Nimm' nun an, es sei nun $\tilde{g}: Y \to X$ mit $\tilde{g} \circ f=id_X$ und $f \circ \tilde{g}=id_Y$. Du musst Dir nun überlegen, warum dann schon $g=\tilde{g}$ folgt.
So, damit sollten zumindest schonmal die Aufgabenstellung +die notwendigen Schritte klar sein. Zu dem Rest der Aufgabe sage ich mal vorerst nichts mehr, da die Hinweise hier Dir quasi auch schon den Großteil Deiner Aufgabe abnehmen (sollten)...
Gruß,
Marcel
[/mm]
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