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| Aufgabe | Seien [mm] U_{1}, U_{2} [/mm] Untervektorräume des Vektorraumes V über K, sei für j [mm] \in [/mm] {1,2} die Abbildung [mm] p_{j} [/mm] : V [mm] \to V/U_{j} [/mm] durch [mm] p_{j} (x):=x+U_{j} [/mm] für j [mm] \in [/mm] {1,2} erklärt uns sei f:V [mm] \to V/U_{1} \times V/U_{2} [/mm] durch [mm] f(x):=(p_{1} [/mm] (x), [mm] p_{2} [/mm] (x)) erklärt. Zeigen Sie:
(i) f ist K-linear
(ii) f ist injektiv genau dann, wenn [mm] U_{1} \cap U_{2}=0 [/mm] gilt.
(iii) f ist surjektiv genau dann, wenn [mm] V=U_{1}+ U_{2} [/mm] gilt.
(iv) f ist bijektiv genau dann, wenn V= [mm] U_{1} \oplus U_{2} [/mm] gilt. |
gleich zu Beginn habe ich ne Verständnisfrage und zwar ist f(x):= [mm] (p_{1 (x)}:= x+U_{1} [/mm] , [mm] p_{2}(x):= x+U_{2})
[/mm]
aber wie kann ich damit rechnen?...
weil ich muss ja f(x)+f(y)=f(x+y)
und [mm] f(\alpha [/mm] x)= [mm] \alpha [/mm] f(x)
zeigen aber ich weiß nicht wie ich mit dem Term f(x):= [mm] (p_{1} [/mm] (x), [mm] p_{2} [/mm] (x)) rechnen soll
LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Do 14.01.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Guck mal hier:
Klick
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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Okay das hilft mir auf jedenfall bei den 3 folgenden Fragen weiter aber mein Problem ist i ich weiß nicht wie ich mit dem f(x) umgehen solll um z.B. zu zeigen das f(x+y)=f(x)+f(y)
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> Okay das hilft mir auf jedenfall bei den 3 folgenden Fragen
> weiter aber mein Problem ist i ich weiß nicht wie ich mit
> dem f(x) umgehen solll um z.B. zu zeigen das
> f(x+y)=f(x)+f(y)
Hallo,
es ist doch für x,y [mm] \in [/mm] V
[mm] f(x+y)=(p_1(x+y), p_2(x+y)) [/mm] = ...
Nun mußt Du die Def. der Abbildungen [mm] p_1 [/mm] und [mm] p_2 [/mm] verwenden, zusätzlich solltest Du übers Rechnen im Vektorraum [mm] V/U_i [/mm] bescheidwissen. (Falls nicht: nacharbeiten.)
Berechne auch f(x)+f(y)= ... Ebenfalls Def. von f und [mm] p_i [/mm] verwenden.
Gruß v. Angela
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> > Okay das hilft mir auf jedenfall bei den 3 folgenden Fragen
> > weiter aber mein Problem ist i ich weiß nicht wie ich mit
> > dem f(x) umgehen solll um z.B. zu zeigen das
> > f(x+y)=f(x)+f(y)
>
> Hallo,
>
> es ist doch für x,y [mm]\in[/mm] V
>
> [mm]f(x+y)=(p_1(x+y), p_2(x+y))[/mm] = ...
>
> Nun mußt Du die Def. der Abbildungen [mm]p_1[/mm] und [mm]p_2[/mm]
> verwenden, zusätzlich solltest Du übers Rechnen im
> Vektorraum [mm]V/U_i[/mm] bescheidwissen. (Falls nicht:
> nacharbeiten.)
>
> Berechne auch f(x)+f(y)= ... Ebenfalls Def. von f und
> [mm]p_i[/mm] verwenden.
so ich habe es jetzt versucht bin mir aber nicht sicher ob das so ganz richtig ist:
[mm] f(x+y)=(p_{1}(x+y),p_{2}(x+y))=((x+y)+U_{1}),((x+y)+U_{2})=((x+y)+U_{1})+((x+y)+U_{2})=(x+U_{1})+(y+U_{1})+(x+U_{2})+(y+U_{2})=((x+U_{1}),(x+U_{2}))+((y+U_{1}),(y+U_{2}))=(p_{1}(x),p_{2}(x))+(p_{1}(y),p_{2}(y))=f(x)+f(y)
[/mm]
ich bin mir nicht sicher ob das so geht, weil ich nicht weiß wie ich mit dem komma in der defintion von f(x) umgehen soll...
> Gruß v. Angela
>
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> > > Okay das hilft mir auf jedenfall bei den 3 folgenden Fragen
> > > weiter aber mein Problem ist i ich weiß nicht wie ich mit
> > > dem f(x) umgehen solll um z.B. zu zeigen das
> > > f(x+y)=f(x)+f(y)
> >
> > Hallo,
> >
> > es ist doch für x,y [mm]\in[/mm] V
> >
> > [mm]f(x+y)=(p_1(x+y), p_2(x+y))[/mm] = ...
> >
> > Nun mußt Du die Def. der Abbildungen [mm]p_1[/mm] und [mm]p_2[/mm]
> > verwenden, zusätzlich solltest Du übers Rechnen im
> > Vektorraum [mm]V/U_i[/mm] bescheidwissen. (Falls nicht:
> > nacharbeiten.)
> >
> > Berechne auch f(x)+f(y)= ... Ebenfalls Def. von f und
> > [mm]p_i[/mm] verwenden.
>
> so ich habe es jetzt versucht bin mir aber nicht sicher ob
> das so ganz richtig ist:
>
> [mm] f(x+y)=(p_{1}(x+y),p_{2}(x+y))=((x+y)+U_{1}),((x+y)+U_{2})
[/mm]
Hallo,
richtig.
Nun wird's aber falsch:
> [mm] =((x+y)+U_{1})+((x+y)+U_{2})
[/mm]
Das Komma bedeutet einfach, daß Du zwei Einträge hast, ein Zweitupel, dessen erstes Element dem Raum [mm] V/U_1 [/mm] entstammt, und das zweite dem Raum [mm] V/U_2.
[/mm]
Wenn Du alles richtig machst, landest Du bei
[mm] =(x+U_{1})+(y+U_{1}),(x+U_{2})+(y+U_{2}).
[/mm]
[mm] =(x+U_{1},x+U_{2}) [/mm] + [mm] (y+U_{1},y+U_{2}) [/mm] =f(x)+f(y).
Das mit den Zweitupeln geht genauso wie dies: (1, 2)+(3,4)=(1+3, 2+4).
Gruß v. Angela
> [mm] =(x+U_{1})+(y+U_{1})+(x+U_{2})+(y+U_{2})=((x+U_{1}),(x+U_{2}))+((y+U_{1}),(y+U_{2}))=(p_{1}(x),p_{2}(x))+(p_{1}(y),p_{2}(y))=f(x)+f(y)
[/mm]
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> Das Komma bedeutet einfach, daß Du zwei Einträge hast,
> ein Zweitupel, dessen erstes Element dem Raum [mm]V/U_1[/mm]
> entstammt, und das zweite dem Raum [mm]V/U_2.[/mm]
okay...das war mir glaub ich nicht ganz klar..
jetzt versuch ich das zweite Kriterium anchzuweisen:
in quotientenräumen gilt ja [mm] \alpha [/mm] (a+U)= [mm] \alpha [/mm] a+U
also:
[mm] \alpha [/mm] f(x)= [mm] \alpha (p_{1}(x), p_{2}(x))=\alpha ((x+U_{1}),(x+U_{2}))= \alpha (x+U_{1}) [/mm] + [mm] \alpha (x+U_{2})= (\alpha x+U_{1}) +(\alpha x+U_{2})=((\alpha x+U_{1}),(\alpha x+U_{2}))= (\alpha p_{1} [/mm] (x), [mm] \alpha p_{2} [/mm] (x))= [mm] f(\alpha [/mm] x)
ist das so korrekt?
LG Schmetterfee
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> > Das Komma bedeutet einfach, daß Du zwei Einträge hast,
> > ein Zweitupel, dessen erstes Element dem Raum [mm]V/U_1[/mm]
> > entstammt, und das zweite dem Raum [mm]V/U_2.[/mm]
>
> okay...das war mir glaub ich nicht ganz klar..
>
> jetzt versuch ich das zweite Kriterium anchzuweisen:
> in quotientenräumen gilt ja [mm]\alpha[/mm] (a+U)= [mm]\alpha[/mm] a+U
> also:
> [mm]\alpha[/mm] f(x)= [mm]\alpha (p_{1}(x), p_{2}(x))=\alpha ((x+U_{1}),(x+U_{2}))= \alpha (x+U_{1})[/mm]
> + [mm]\alpha (x+U_{2})= (\alpha x+U_{1}) +(\alpha x+U_{2})=((\alpha x+U_{1}),(\alpha x+U_{2}))= (\alpha p_{1}[/mm]
> (x), [mm]\alpha p_{2}[/mm] (x))= [mm]f(\alpha[/mm] x)
>
> ist das so korrekt?
Hallo,
fast.
Aber in der Mitte addierst Du ja wieder die Elemente, statt daß die auf ihren beiden, durch Komma getrennten Plätzen stehen!
Gruß v. Angela
>
> LG Schmetterfee
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> > > Das Komma bedeutet einfach, daß Du zwei Einträge hast,
> > > ein Zweitupel, dessen erstes Element dem Raum [mm]V/U_1[/mm]
> > > entstammt, und das zweite dem Raum [mm]V/U_2.[/mm]
> >
> > okay...das war mir glaub ich nicht ganz klar..
> >
> > jetzt versuch ich das zweite Kriterium anchzuweisen:
> > in quotientenräumen gilt ja [mm]\alpha[/mm] (a+U)= [mm]\alpha[/mm] a+U
> > also:
> > [mm]\alpha[/mm] f(x)= [mm]\alpha (p_{1}(x), p_{2}(x))=\alpha ((x+U_{1}),(x+U_{2}))= \alpha (x+U_{1})[/mm]
> > + [mm]\alpha (x+U_{2})= (\alpha x+U_{1}) +(\alpha x+U_{2})=((\alpha x+U_{1}),(\alpha x+U_{2}))= (\alpha p_{1}[/mm]
> > (x), [mm]\alpha p_{2}[/mm] (x))= [mm]f(\alpha[/mm] x)
> >
> > ist das so korrekt?
>
> Hallo,
>
> fast.
>
> Aber in der Mitte addierst Du ja wieder die Elemente, statt
> daß die auf ihren beiden, durch Komma getrennten Plätzen
> stehen!
okay also ohne additon
[mm]\alpha[/mm] f(x)= [mm]\alpha (p_{1}(x), p_{2}(x))=\alpha ((x+U_{1}),(x+U_{2}))= (\alpha (x+U_{1}),[/mm] [mm]\alpha (x+U_{2}))= ((\alpha x+U_{1}),(\alpha x+U_{2}))= (\alpha p_{1}[/mm](x), [mm]\alpha p_{2}[/mm] (x))= [mm]f(\alpha[/mm] x)
also so ohne addition?
> Gruß v. Angela
>
>
> >
> > LG Schmetterfee
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Hallo,
jetzt ist's richtig.
Gruß v. Angela
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Hallo,
So nun arbeite ich and em Beweis für (ii)
Ich muss also zeigen, dass f injektiv <=> [mm] U_{1} \cap U_{2}=0
[/mm]
Ich wollte das mit hilfe von Widerspruchsbeweisen machen, weél es anders meiner Meinung anch komplizierter ist also:
"=>" Sei f injektiv mit kerf [mm] \not= [/mm] 0 und [mm] U_{2} \not= [/mm] 0
Dann a [mm] \in U_{1} \cap U_{2} [/mm] mit [mm] f(a)=(a+U_{1},a+U{2})
[/mm]
so aber wie mach ich da weiter?...
"<=" Sei [mm] U_{1} \cap U_{2} \not= [/mm] {0}
Dann gibt es 0 [mm] \not= [/mm] b [mm] \in U_{1} \cap U_{2} [/mm] in ker f,
weil 0 [mm] \not= f(b)=(b+U_{1},b+U_{2})=(U_{1},U_{2}).
[/mm]
Daraus folgt ker(f) [mm] \not= [/mm] 0 und somit ist f nicht injektiv.
geht die Rückrichtung so oder ist die zu kompliziert?
LG Schmetterfee
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kann mir jemand nen tipp geben wie ich die hinrichtung formuliere bzw ob meine rückrichtung richtig ist?
LG Schmetterfee
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muss ich das überhaupt über einen widerspruchsbeweis machen oder geht das auch anders?
LG Schmetterfee
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> muss ich das überhaupt über einen widerspruchsbeweis
> machen oder geht das auch anders?
>
Hallo,
Du kannst f injektiv ==> [mm] U_1\cap U_2 =\{0\} [/mm] auch direkt zeigen.
Bew. Sei f injektiv und [mm] a\in U_1\cap U_2.
[/mm]
Dann ist
f(a)= [mm] (a+U_1, a+U_2)= [/mm] ???, also a= ???
Gruß v. Angela
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> Hallo,
>
> Du kannst f injektiv ==> [mm]U_1\cap U_2 =\{0\}[/mm] auch direkt
> zeigen.
>
> Bew. Sei f injektiv und [mm]a\in U_1\cap U_2.[/mm]
> Dann ist
> f(a)= [mm](a+U_1, a+U_2)=[/mm] ???, also a= ???
was soll ich denn da jetzt eintragen ich kann ja nichts rechnen usw...weil eigentlich müsse ja nun [mm] a+U_1,=a+U_2
[/mm]
damit das im Schnitt liegt oder nicht??..denk ich jetzt falsch?
> Gruß v. Angela
LG Schmetterfee
>
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> > Hallo,
> >
> > Du kannst f injektiv ==> [mm]U_1\cap U_2 =\{0\}[/mm] auch direkt
> > zeigen.
> >
> > Bew. Sei f injektiv und [mm]a\in U_1\cap U_2.[/mm]
> > Dann ist
> > f(a)= [mm](a+U_1, a+U_2)=[/mm] ???, also a= ???
> was soll ich denn da jetzt eintragen ich kann ja nichts
> rechnen usw...
Hallo,
ich habe den Eindruck, daß Du das Thema Faktor/Quotientenräume bzw. Äquivalenzklassen sehr gründlich nacharbeiten mußt.
Was ist denn a+U für [mm] a\in [/mm] U?
Wie ist a+U überhaupt definiert?
Gruß v. Angela
weil eigentlich müsse ja nun [mm]a+U_1,=a+U_2[/mm]
> damit das im Schnitt liegt oder nicht??..denk ich jetzt
> falsch?
> > Gruß v. Angela
> LG Schmetterfee
> >
> >
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> >
> > > Hallo,
> > >
> > > Du kannst f injektiv ==> [mm]U_1\cap U_2 =\{0\}[/mm] auch direkt
> > > zeigen.
> > >
> > > Bew. Sei f injektiv und [mm]a\in U_1\cap U_2.[/mm]
> > > Dann
> ist
> > > f(a)= [mm](a+U_1, a+U_2)=[/mm] ???, also a= ???
> > was soll ich denn da jetzt eintragen ich kann ja nichts
> > rechnen usw...
>
> Hallo,
>
> ich habe den Eindruck, daß Du das Thema
> Faktor/Quotientenräume bzw. Äquivalenzklassen sehr
> gründlich nacharbeiten mußt.
naja ich habe das thema schon verstanden mir macht bloß noch die anwendung von meinem wissen starke probleme...bzw habe ichw ahrscheinlich nicht alles bis ins kleinste detail verstanden..von daher sind die ferien in 3 wochen auchs chon fürs ancharbeiten eingeplant...
> Was ist denn a+U für [mm]a\in[/mm] U?
>
> Wie ist a+U überhaupt definiert?
a+U ist doch so zusagen die Bezeichnung für die Nebenklasse inder das Elemnt ist. Dabei gibt a doch so zusagen den Rest an der bei dem teilen übrig bleibt oder?
> Gruß v. Angela
>
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>
>
> weil eigentlich müsse ja nun [mm]a+U_1,=a+U_2[/mm]
> > damit das im Schnitt liegt oder nicht??..denk ich jetzt
> > falsch?
> > > Gruß v. Angela
> > LG Schmetterfee
> > >
> > >
> >
>
LG Schmetterfee
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> > Wie ist a+U überhaupt definiert?
> a+U ist doch so zusagen die Bezeichnung für die
> Nebenklasse inder das Elemnt ist. Dabei gibt a doch so
> zusagen den Rest an der bei dem teilen übrig bleibt oder?
Hallo,
beachte: wir sind im Vektorraum.
Hier gibt's keine Division.
[mm] a+U:=\{ a+u|u\in U\}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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den Rest an der bei dem teilen übrig bleibt oder?
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> Hallo,
>
> beachte: wir sind im Vektorraum.
>
> Hier gibt's keine Division.
>
> [mm]a+U:=\{ a+u|u\in U\}.[/mm]
>
> Gruß v. Angela
>
okay müsste denn [mm] f(a)=(a+U_{1},a+U_{2})=(U_{1},U_{2}) [/mm] sein und das wäre dann ja 0?
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> den Rest an der bei dem teilen übrig bleibt oder?
> >
> > Hallo,
> >
> > beachte: wir sind im Vektorraum.
> >
> > Hier gibt's keine Division.
> >
> > [mm]a+U:=\{ a+u|u\in U\}.[/mm]
> >
> > Gruß v. Angela
> >
>
> okay müsste denn [mm]f(a)=(a+U_{1},a+U_{2})=(U_{1},U_{2})[/mm] sein
> und das wäre dann ja 0?
Ja.
Gruß v. Angela
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> > den Rest an der bei dem teilen übrig bleibt oder?
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > beachte: wir sind im Vektorraum.
> > >
> > > Hier gibt's keine Division.
> > >
> > > [mm]a+U:=\{ a+u|u\in U\}.[/mm]
> > >
> > > Gruß v. Angela
> > >
> >
> > okay müsste denn [mm]f(a)=(a+U_{1},a+U_{2})=(U_{1},U_{2})[/mm] sein
> > und das wäre dann ja 0?
>
> Ja.
das is jetzt wahrscheinlich ne dumme Frage aber is das der ende vom Beweis??..muss ich denn auch sagen a=0 oder eicht es zusagen [mm] (U_{1},U_{2})=0
[/mm]
so jetzt versuch ichmal die Rückrichtung allein und poste meinen versuch dann hier
lg schmetterfee
> Gruß v. Angela
>
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ich habe mir meine Gedanken gemacht und wollt wissen ob das so geht:
[mm] U_{1} \cap U_{2} [/mm] =0 ==> f injektiv
Beweis: Sei [mm] U_{1} \cap U_{2}=0 [/mm] und a,b [mm] \in U_{1} \cap U_{2} [/mm] mit f(a)=f(b)
Dann folgt:
0=f(a)-f(b)=f(a-b)
=> a-b [mm] \in U_{1} \cap U_{2}= [/mm] {0}
=> a-b=0
=>a=b
=> f ist injektiv
geht der beweis so oder darf ich nicht einfach vorraussetzen, dass f(a)=f(b) ist
ich wäre über jede Kritik dankbar
LG Schmetterfee
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> ich habe mir meine Gedanken gemacht und wollt wissen ob das
> so geht:
> [mm]U_{1} \cap U_{2}[/mm] =0 ==> f injektiv
>
> Beweis: Sei [mm]U_{1} \cap U_{2}=0[/mm] und a,b [mm]\in U_{1} \cap U_{2}[/mm]
> mit f(a)=f(b)
> Dann folgt:
> 0=f(a)-f(b)=f(a-b)
> => a-b [mm]\in U_{1} \cap U_{2}=[/mm] {0}
> => a-b=0
> =>a=b
> => f ist injektiv
>
> geht der beweis so oder darf ich nicht einfach
> vorraussetzen, dass f(a)=f(b) ist
Hallo,
das Problem ist woanders: Du wählst a,b [mm] \in U_1\cap U_2, [/mm] und da lt. Voraussetzung der Schnitt der Nullraum ist, startest Du mit a=b=0, was keinerlei Informationen liefert.
Du könntest aber so beginnen:
Sei [mm]U_{1} \cap U_{2}=0[/mm] und [mm] a,b\in [/mm] V mit f(a)=f(b).
Im Prinzip geht das dann so, wie Du schreibst, aber dieser Schritt
> 0=f(a)-f(b)=f(a-b)
> => a-b [mm][mm] \in U_{1} \cap U_{2}
[/mm]
muß mit einer genauen Erklärung versehen werden
Gruß v. Angela
>
> ich wäre über jede Kritik dankbar
>
> LG Schmetterfee
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f injektiv <==> [mm] U_{1} \cap U_{2} [/mm] =0
"=>" Sei f injektiv und a [mm] \in U_{1} \cap U_{2}
[/mm]
Dann ist
[mm] f(a)=(a+U_{1},a+U_{2})=(U_{1},U_{2})
[/mm]
Nach Definition von [mm] V/U_{i} [/mm] ist dies die 0.
Daraus folgt a=0, weil 0+U=U.
"<=" Sei [mm] U_{1} \cap U_{2} [/mm] =0 und a,b [mm] \in [/mm] V mit f(a)=f(b)
Daraus folgt:
0=f(a)-f(b)=f(a-b)
Da laut Voraussetzung f(a)=f(b) (d.h. Äquivalenzklassen stimmen überein) liegt a-b [mm] \in [/mm] U
also folgt:
=> a-b [mm] \in U_{1} \cap U_{2} [/mm] ={0}
=> a-b=0
=> a=b
=> f injektiv
So müsste es doch insgesamt an sich gehen...oder muss ich noch irgendwo für einen Schritt ne Begründung einfügen..ich finde es so schlüssig
LG Schmetterfee
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> f injektiv <==> [mm]U_{1} \cap U_{2}[/mm] =0
>
> "=>" Sei f injektiv und a [mm]\in U_{1} \cap U_{2}[/mm]
> Dann ist
> [mm]f(a)=(a+U_{1},a+U_{2})=(U_{1},U_{2})[/mm]
> Nach Definition von [mm]V/U_{i}[/mm] ist dies die 0.
Hallo,
schreib lieber: da [mm] U_i [/mm] die Null in [mm] V/U_i, [/mm] ist [mm] (U_1,U_2) [/mm] die Null in [mm] V/U_1xV/U_2.
[/mm]
> Daraus folgt a=0, weil 0+U=U.
daß daraus a=0 folgt, stimmt.
Die Begründung ist aber verkehrt.
>
> "<=" Sei [mm]U_{1} \cap U_{2}[/mm] =0 und a,b [mm]\in[/mm] V mit f(a)=f(b)
> Daraus folgt:
> 0=f(a)-f(b)=f(a-b)
das ist für meinen Geschmack zu ungenau.
was meinst Du mit 0? Schreib das genau hin.
> Da laut Voraussetzung f(a)=f(b) (d.h. Äquivalenzklassen
> stimmen überein)
Schreib das genauer. Von welchen Äquivalenzklassen redest Du? Was ist f(a) und f(b)
> liegt a-b [mm]\in[/mm] U
Wir haben in dieser Aufgabe kein U, sondern [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2.
[/mm]
> also folgt:
> => a-b [mm]\in U_{1} \cap U_{2}[/mm] ={0}
> => a-b=0
> => a=b
> => f injektiv
Genau.
Gruß v. Angela
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> > Daraus folgt a=0, weil 0+U=U.
>
> daß daraus a=0 folgt, stimmt.
> Die Begründung ist aber verkehrt.
aber worauf führe ich das denn sonst zurück das versteh ich nicht ganz...
> >
> > "<=" Sei [mm]U_{1} \cap U_{2}[/mm] =0 und a,b [mm]\in[/mm] V mit f(a)=f(b)
> > Daraus folgt:
> > 0=f(a)-f(b)=f(a-b)
>
> das ist für meinen Geschmack zu ungenau.
>
> was meinst Du mit 0? Schreib das genau hin.
ich meinte damit ker f={0} bzw in unserem Fall [mm] U_{1} \cap U_{2} [/mm] =0 muss ich das auch so in den beweis schreiben?
>
> > Da laut Voraussetzung f(a)=f(b) (d.h. Äquivalenzklassen
> > stimmen überein)
>
> Schreib das genauer. Von welchen Äquivalenzklassen redest
> Du?
naja von der Äquivalenzklasse [a] := a+U und b:= b+U
und ich will ja zeigen dass die beiden gleich sind...denn dann liegt allgemien gesagt a-b [mm] \in [/mm] U in unserem Fall folger ich also das a-b [mm] \in U_{1} \cap U_{2} [/mm] liegt oder kann ich das nicht so machen?
> Was ist f(a) und f(b)
> > liegt a-b [mm]\in[/mm] U
>
> Wir haben in dieser Aufgabe kein U, sondern [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2.[/mm]
>
> > also folgt:
> > => a-b [mm]\in U_{1} \cap U_{2}[/mm] ={0}
> > => a-b=0
> > => a=b
> > => f injektiv
>
> Genau.
>
> Gruß v. Angela
LG Schmetterfee
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> > > Daraus folgt a=0, weil 0+U=U.
> >
> > daß daraus a=0 folgt, stimmt.
> > Die Begründung ist aber verkehrt.
>
> aber worauf führe ich das denn sonst zurück das versteh
> ich nicht ganz...
Hallo,
ich hoffe, daß ich nicht allmählich den Faden verliere.
Du hattest als Voraussetzung die Injektivität der linearen Abbildung f,
und warst an der Stelle [mm] f(a)=0_{V/U_1xV/U_2} [/mm] angelangt.
Wieso folgt jetzt, daß a=0?
Mal generell: Du gehörst nicht zu denen, die den großen Überblick über das Thema haben.
Umso wichtiger ist es, sehr genau zu arbeiten, keine Schritte zu machen, die man nicht begründen kann, nichts zu schreiben, was man nicht versteht.
Mit der eingeforderten Gründlichkeit hat man den Weg zum Verständnis eingeschlagen. Mit Larifari und Wischiwaschi kommt das nicht.
> > >
> > > "<=" Sei [mm]U_{1} \cap U_{2}[/mm] =0 und a,b [mm]\in[/mm] V mit f(a)=f(b)
> > > Daraus folgt:
wegen der Linearität von f
> > > 0=f(a)-f(b)=f(a-b)
> >
> > das ist für meinen Geschmack zu ungenau.
> >
> > was meinst Du mit 0? Schreib das genau hin.
> ich meinte damit ker f={0} bzw in unserem Fall [mm]U_{1} \cap U_{2}[/mm]
> =0 muss ich das auch so in den beweis schreiben?
Jetzt laberst Du...
Welchem Raum entstammen f(a) und f(b) ?
Um welche Null handelt es sich also?
Wie lautet die, wenn man sie als Zweitupel hinschreibt?
> >
> > > Da laut Voraussetzung f(a)=f(b) (d.h. Äquivalenzklassen
> > > stimmen überein)
> >
> > Schreib das genauer. Von welchen Äquivalenzklassen redest
> > Du?
> naja von der Äquivalenzklasse [a] := a+U und b:= b+U
Wir haben hier kein U. Wir haben [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2.
[/mm]
f(a)=f(b)
<==> [mm] (a+U_1, a+U_2)=(b+U_1, b+U_2)
[/mm]
<==> [mm] a+U_i=b+U_i [/mm] für i=1,2.
> > > liegt a-b [mm]\in[/mm] [mm] U_{\red{i}} [/mm] für i=1,2
> > > also folgt:
> > > => a-b [mm]\in U_{1} \cap U_{2}[/mm] ={0}
> > > => a-b=0
> > > => a=b
> > > => f injektiv
Gruß v. Angela
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> > > > Daraus folgt a=0, weil 0+U=U.
> > >
> > > daß daraus a=0 folgt, stimmt.
> > > Die Begründung ist aber verkehrt.
> >
> > aber worauf führe ich das denn sonst zurück das versteh
> > ich nicht ganz...
>
> Hallo,
>
> ich hoffe, daß ich nicht allmählich den Faden verliere.
>
> Du hattest als Voraussetzung die Injektivität der linearen
> Abbildung f,
>
> und warst an der Stelle [mm]f(a)=0_{V/U_1xV/U_2}[/mm] angelangt.
>
> Wieso folgt jetzt, daß a=0?
tut mir leid bin mir immer noch nicht 100% sicher aber ich würde sagen, dass wir ja [mm] a+U_{1} \cap U_{2}=0
[/mm]
und wir wissen bereits, dass [mm] U_{1} \cap U_{2}=0 [/mm] von daher haben wir a+0=0 und demzufolge muss a 0sein???
>
> Mal generell: Du gehörst nicht zu denen, die den großen
> Überblick über das Thema haben.
> Umso wichtiger ist es, sehr genau zu arbeiten, keine
> Schritte zu machen, die man nicht begründen kann, nichts
> zu schreiben, was man nicht versteht.
> Mit der eingeforderten Gründlichkeit hat man den Weg zum
> Verständnis eingeschlagen. Mit Larifari und Wischiwaschi
> kommt das nicht.
das habe ich auch bemerkt und bin fleißig am versuchen Licht ins dunkele zu bekommen..
> > > >
> > > > "<=" Sei [mm]U_{1} \cap U_{2}[/mm] =0 und a,b [mm]\in[/mm] V mit f(a)=f(b)
> > > > Daraus folgt:
>
> wegen der Linearität von f
>
> > > > 0=f(a)-f(b)=f(a-b)
> > >
> > > das ist für meinen Geschmack zu ungenau.
> > >
> > > was meinst Du mit 0? Schreib das genau hin.
> > ich meinte damit ker f={0} bzw in unserem Fall [mm]U_{1} \cap U_{2}[/mm]
> > =0 muss ich das auch so in den beweis schreiben?
>
> Jetzt laberst Du...
>
> Welchem Raum entstammen f(a) und f(b) ?
na dem raum von [mm] V/U_{i} [/mm] und somit müsste die Null doch das Tupel [mm] (U_{1} [/mm] , [mm] U_{2}) [/mm] sein...
> Um welche Null handelt es sich also?
> Wie lautet die, wenn man sie als Zweitupel hinschreibt?
>
>
> > >
> > > > Da laut Voraussetzung f(a)=f(b) (d.h. Äquivalenzklassen
> > > > stimmen überein)
> > >
> > > Schreib das genauer. Von welchen Äquivalenzklassen redest
> > > Du?
> > naja von der Äquivalenzklasse [a] := a+U und b:= b+U
>
> Wir haben hier kein U. Wir haben [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2.[/mm]
>
> f(a)=f(b)
>
> <==> [mm](a+U_1, a+U_2)=(b+U_1, b+U_2)[/mm]
>
> <==> [mm]a+U_i=b+U_i[/mm] für i=1,2.
>
>
> > > > liegt a-b [mm]\in[/mm] [mm]U_{\red{i}}[/mm] für i=1,2
>
>
>
> > > > also folgt:
> > > > => a-b [mm]\in U_{1} \cap U_{2}[/mm] ={0}
> > > > => a-b=0
> > > > => a=b
> > > > => f injektiv
>
> Gruß v. Angela
LG Schmetterfee und danke für die Geduld
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> > Hallo,
> >
> > ich hoffe, daß ich nicht allmählich den Faden verliere.
> >
> > Du hattest als Voraussetzung die Injektivität der linearen
> > Abbildung f,
> >
> > und warst an der Stelle [mm]f(a)=0_{V/U_1xV/U_2}[/mm] angelangt.
> >
> > Wieso folgt jetzt, daß a=0?
Hallo,
wenn f(a)= 0 ist, dann ist doch a im Kern von f. Und der ist was? (Bedenke die Injektivität!):
> > > > > "<=" Sei [mm]U_{1} \cap U_{2}[/mm] =0 und a,b [mm]\in[/mm] V mit f(a)=f(b)
> > > > > Daraus folgt:
> >
> > wegen der Linearität von f
> >
> > > > > 0=f(a)-f(b)=f(a-b)
> > > >
> > > > das ist für meinen Geschmack zu ungenau.
> > > >
> > > > was meinst Du mit 0? Schreib das genau hin.
> > > ich meinte damit ker f={0} bzw in unserem Fall [mm]U_{1} \cap U_{2}[/mm]
> > > =0 muss ich das auch so in den beweis schreiben?
> >
> > Jetzt laberst Du...
> >
> > Welchem Raum entstammen f(a) und f(b) ?
> na dem raum von [mm]V/U_{i}[/mm]
Nein, dem Raum [mm] V/U_1xV/U_2.
[/mm]
> und somit müsste die Null doch
> das Tupel [mm](U_{1}[/mm] , [mm]U_{2})[/mm] sein...
Genau!
Gruß v. Angela
> > Um welche Null handelt es sich also?
> > Wie lautet die, wenn man sie als Zweitupel
> hinschreibt?
> >
> >
> > > >
> > > > > Da laut Voraussetzung f(a)=f(b) (d.h. Äquivalenzklassen
> > > > > stimmen überein)
> > > >
> > > > Schreib das genauer. Von welchen Äquivalenzklassen redest
> > > > Du?
> > > naja von der Äquivalenzklasse [a] := a+U und b:= b+U
> >
> > Wir haben hier kein U. Wir haben [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2.[/mm]
> >
> > f(a)=f(b)
> >
> > <==> [mm](a+U_1, a+U_2)=(b+U_1, b+U_2)[/mm]
> >
> > <==> [mm]a+U_i=b+U_i[/mm] für i=1,2.
> >
> >
> > > > > liegt a-b [mm]\in[/mm] [mm]U_{\red{i}}[/mm] für i=1,2
> >
> >
> >
> > > > > also folgt:
> > > > > => a-b [mm]\in U_{1} \cap U_{2}[/mm] ={0}
> > > > > => a-b=0
> > > > > => a=b
> > > > > => f injektiv
> >
> > Gruß v. Angela
> LG Schmetterfee und danke für die Geduld
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> > > Hallo,
> > >
> > > ich hoffe, daß ich nicht allmählich den Faden verliere.
> > >
> > > Du hattest als Voraussetzung die Injektivität der linearen
> > > Abbildung f,
> > >
> > > und warst an der Stelle [mm]f(a)=0_{V/U_1xV/U_2}[/mm] angelangt.
> > >
> > > Wieso folgt jetzt, daß a=0?
>
>
> Hallo,
>
> wenn f(a)= 0 ist, dann ist doch a im Kern von f. Und der
> ist was? (Bedenke die Injektivität!):
na der kern enthält nur die o bei injektivität und von daher muss a=0 sein...
LG Schmetterfee
> > > > > > "<=" Sei [mm]U_{1} \cap U_{2}[/mm] =0 und a,b [mm]\in[/mm] V mit f(a)=f(b)
> > > > > > Daraus folgt:
> > >
> > > wegen der Linearität von f
> > >
> > > > > > 0=f(a)-f(b)=f(a-b)
> > > > >
> > > > > das ist für meinen Geschmack zu ungenau.
> > > > >
> > > > > was meinst Du mit 0? Schreib das genau hin.
> > > > ich meinte damit ker f={0} bzw in unserem Fall
> [mm]U_{1} \cap U_{2}[/mm]
> > > > =0 muss ich das auch so in den beweis schreiben?
> > >
> > > Jetzt laberst Du...
> > >
> > > Welchem Raum entstammen f(a) und f(b) ?
>
> > na dem raum von [mm]V/U_{i}[/mm]
>
> Nein, dem Raum [mm]V/U_1xV/U_2.[/mm]
>
> > und somit müsste die Null doch
> > das Tupel [mm](U_{1}[/mm] , [mm]U_{2})[/mm] sein...
>
> Genau!
>
> Gruß v. Angela
>
> > > Um welche Null handelt es sich also?
> > > Wie lautet die, wenn man sie als Zweitupel
> > hinschreibt?
> > >
> > >
> > > > >
> > > > > > Da laut Voraussetzung f(a)=f(b) (d.h. Äquivalenzklassen
> > > > > > stimmen überein)
> > > > >
> > > > > Schreib das genauer. Von welchen Äquivalenzklassen redest
> > > > > Du?
> > > > naja von der Äquivalenzklasse [a] := a+U und b:= b+U
> > >
> > > Wir haben hier kein U. Wir haben [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2.[/mm]
> > >
> > > f(a)=f(b)
> > >
> > > <==> [mm](a+U_1, a+U_2)=(b+U_1, b+U_2)[/mm]
> > >
> > > <==> [mm]a+U_i=b+U_i[/mm] für i=1,2.
> > >
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> > > > > > liegt a-b [mm]\in[/mm] [mm]U_{\red{i}}[/mm] für i=1,2
> > >
> > >
> > >
> > > > > > also folgt:
> > > > > > => a-b [mm]\in U_{1} \cap U_{2}[/mm] ={0}
> > > > > > => a-b=0
> > > > > > => a=b
> > > > > > => f injektiv
> > >
> > > Gruß v. Angela
> > LG Schmetterfee und danke für die Geduld
>
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> > > > Hallo,
> > > >
> > > > ich hoffe, daß ich nicht allmählich den Faden verliere.
> > > >
> > > > Du hattest als Voraussetzung die Injektivität der linearen
> > > > Abbildung f,
> > > >
> > > > und warst an der Stelle [mm]f(a)=0_{V/U_1xV/U_2}[/mm] angelangt.
> > > >
> > > > Wieso folgt jetzt, daß a=0?
> >
> >
> > Hallo,
> >
> > wenn f(a)= 0 ist, dann ist doch a im Kern von f. Und der
> > ist was? (Bedenke die Injektivität!):
> na der kern enthält nur die o bei injektivität und von
> daher muss a=0 sein...
Eben.
Gruß v. Angela
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> > > den Rest an der bei dem teilen übrig bleibt oder?
> > > >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > beachte: wir sind im Vektorraum.
> > > >
> > > > Hier gibt's keine Division.
> > > >
> > > > [mm]a+U:=\{ a+u|u\in U\}.[/mm]
> > > >
> > > > Gruß v. Angela
> > > >
> > >
> > > okay müsste denn [mm]f(a)=(a+U_{1},a+U_{2})=(U_{1},U_{2})[/mm] sein
> > > und das wäre dann ja 0?
> >
> > Ja.
> das is jetzt wahrscheinlich ne dumme Frage aber is das der
> ende vom Beweis??..muss ich denn auch sagen a=0 oder eicht
> es zusagen [mm](U_{1},U_{2})=0[/mm]
Hallo,
Vorschlag:
schreib den Beweis mal allein auf, mit allem Pipapo, also "Voraussetzung", "zu zeigen", "wenn f dies ist, dann gilt das", "die Null in [mm] V/U_i [/mm] ist", "nach Def. von [mm] V/U_i [/mm] gibt es also..."
So ausführlich.
Dann merkst Du wahrscheinlich selber, wo Lücken sind und an welcher Stelle Du fertig bist.
Gruß v. Angela
>
> so jetzt versuch ichmal die Rückrichtung allein und poste
> meinen versuch dann hier
>
> lg schmetterfee
> > Gruß v. Angela
> >
>
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> Hallo,
>
> So nun arbeite ich and em Beweis für (ii)
>
> Ich muss also zeigen, dass f injektiv <=> [mm]U_{1} \cap U_{2}=0[/mm]
>
> Ich wollte das mit hilfe von Widerspruchsbeweisen machen,
> weél es anders meiner Meinung anch komplizierter ist
> also:
Hallo,
wenn Du für f injektiv ==> [mm] U_1\cap U_2=\{0\} [/mm] einen Widerspruchsbeweis machen willst, dann geht das so:
Beweis: Sei f injektiv.
Angenommen, es wäre [mm] U_1\cap U_2\not=\{0\}.
[/mm]
Dann gäbe es ein [mm] a\not=0 [/mm] mit [mm] a\in U_1\cap U_2.
[/mm]
Nun rechne vor, was f(a) ergibt und sag, worin der Widerspruch liegt.
>
> "=>" Sei f injektiv mit kerf [mm]\not=[/mm] 0
Solch eine Funktion gibt's doch gar nicht!
Die Kontraposition der Aussage f injektiv ==> [mm] U_1\cap U_2=\{0\} [/mm] ist
[mm] U_1\cap U_2\not=\{0\} [/mm] ==> f ist nicht injektiv.
Diese beiden Aussagen sind äquivalent.
Wenn Du zeigst [mm] U_1\cap U_2\not=\{0\} [/mm] ==> f ist nicht injektiv,
dann zeigst Du also keinesfalls die Rückrichtung der zu beweisenden Aussage.
> "<=" Sei [mm]U_{1} \cap U_{2} \not=[/mm] {0}
> Dann gibt es 0 [mm]\not=[/mm] b [mm]\in U_{1} \cap U_{2}[/mm] .
Es ist b
> in ker f,
> weil [mm] f(b)=(b+U_{1},b+U_{2})=(U_{1},U_{2}).[/mm]
[mm] =0_{V/U_1 x V/U_2}
[/mm]
> Daraus
> folgt ker(f) [mm]\not=[/mm] 0 und somit ist f nicht injektiv.
>
> geht die Rückrichtung so
Es ist nicht die Rückrichtung, aber "==>" kannst Du so zeigen.
Gruß v. Angela
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> Hallo,
>
> wenn Du für f injektiv ==> [mm]U_1\cap U_2=\{0\}[/mm] einen
> Widerspruchsbeweis machen willst, dann geht das so:
>
> Beweis: Sei f injektiv.
>
> Angenommen, es wäre [mm]U_1\cap U_2\not=\{0\}.[/mm]
>
> Dann gäbe es ein [mm]a\not=0[/mm] mit [mm]a\in U_1\cap U_2.[/mm]
>
> Nun rechne vor, was f(a) ergibt und sag, worin der
> Widerspruch liegt.
>
> >
> > "=>" Sei f injektiv mit kerf [mm]\not=[/mm] 0
>
> Solch eine Funktion gibt's doch gar nicht!
>
>
> Die Kontraposition der Aussage f injektiv ==> [mm]U_1\cap U_2=\{0\}[/mm]
> ist
> [mm]U_1\cap U_2\not=\{0\}[/mm] ==> f ist nicht injektiv.
>
> Diese beiden Aussagen sind äquivalent.
> Wenn Du zeigst [mm]U_1\cap U_2\not=\{0\}[/mm] ==> f ist nicht
> injektiv,
> dann zeigst Du also keinesfalls die Rückrichtung der zu
> beweisenden Aussage.
>
> > "<=" Sei [mm]U_{1} \cap U_{2} \not=[/mm] {0}
> > Dann gibt es 0 [mm]\not=[/mm] b [mm]\in U_{1} \cap U_{2}[/mm] .
>
> Es ist b
>
> > in ker f,
> > weil [mm]f(b)=(b+U_{1},b+U_{2})=(U_{1},U_{2}).[/mm]
>
> [mm]=0_{V/U_1 x V/U_2}[/mm]
woraus folgt dieser einschub??..den versteh ich nicht ganz...und wie zeig ich jetzt die Rückrichtung wenn das die hinrichtung war?
> > Daraus
> > folgt ker(f) [mm]\not=[/mm] 0 und somit ist f nicht injektiv.
> >
> > geht die Rückrichtung so
>
> Es ist nicht die Rückrichtung, aber "==>" kannst Du so
> zeigen.
>
> Gruß v. Angela
LG Schmetterfee
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> > Die Kontraposition der Aussage f injektiv ==> [mm]U_1\cap U_2=\{0\}[/mm]
> > ist
> > [mm]U_1\cap U_2\not=\{0\}[/mm] ==> f ist nicht injektiv.
> >
> > Diese beiden Aussagen sind äquivalent.
> > Wenn Du zeigst [mm]U_1\cap U_2\not=\{0\}[/mm] ==> f ist nicht
> > injektiv,
> > dann zeigst Du also keinesfalls die Rückrichtung der zu
> > beweisenden Aussage.
> >
> > > "<=" Sei [mm]U_{1} \cap U_{2} \not=[/mm] {0}
> > > Dann gibt es 0 [mm]\not=[/mm] b [mm]\in U_{1} \cap U_{2}[/mm] .
> >
> > Es ist b
> >
> > > in ker f,
> > > weil [mm]f(b)=(b+U_{1},b+U_{2})=(U_{1},U_{2}).[/mm]
> >
> > [mm]=0_{V/U_1 x V/U_2}[/mm]
> woraus folgt dieser einschub??..den
> versteh ich nicht ganz...
Hallo,
was ist denn die Null in [mm] V/U_i [/mm] ?
> und wie zeig ich jetzt die
> Rückrichtung wenn das die hinrichtung war?
Ich denke, es ist am besten, wenn Du Dir, nachdem Du mindestens einen Beweis für die Hinrichtung richtig verstanden hast, Dir über die Rückrichtung erstmal selbst Gedanken machst und diese dann hier postest.
Gruß v. Angela
> > > Daraus
> > > folgt ker(f) [mm]\not=[/mm] 0 und somit ist f nicht injektiv.
> > >
> > > geht die Rückrichtung so
> >
> > Es ist nicht die Rückrichtung, aber "==>" kannst Du so
> > zeigen.
> >
> > Gruß v. Angela
> LG Schmetterfee
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> > > Die Kontraposition der Aussage f injektiv ==> [mm]U_1\cap U_2=\{0\}[/mm]
> > > ist
> > > [mm]U_1\cap U_2\not=\{0\}[/mm] ==> f ist nicht injektiv.
> > >
> > > Diese beiden Aussagen sind äquivalent.
> > > Wenn Du zeigst [mm]U_1\cap U_2\not=\{0\}[/mm] ==> f ist nicht
> > > injektiv,
> > > dann zeigst Du also keinesfalls die Rückrichtung der zu
> > > beweisenden Aussage.
> > >
> > > > "<=" Sei [mm]U_{1} \cap U_{2} \not=[/mm] {0}
> > > > Dann gibt es 0 [mm]\not=[/mm] b [mm]\in U_{1} \cap U_{2}[/mm] .
> > >
> > > Es ist b
> > >
> > > > in ker f,
> > > > weil [mm]f(b)=(b+U_{1},b+U_{2})=(U_{1},U_{2}).[/mm]
> > >
> > > [mm]=0_{V/U_1 x V/U_2}[/mm]
> > woraus folgt dieser
> einschub??..den
> > versteh ich nicht ganz...
>
> Hallo,
>
> was ist denn die Null in [mm]V/U_i[/mm] ?
>
>
ist das nicht wenn der Rest 0 ist? weil wir ja hier von restklassen reden...
>
> > und wie zeig ich jetzt die
> > Rückrichtung wenn das die hinrichtung war?
>
> Ich denke, es ist am besten, wenn Du Dir, nachdem Du
> mindestens einen Beweis für die Hinrichtung richtig
> verstanden hast, Dir über die Rückrichtung erstmal selbst
> Gedanken machst und diese dann hier postest.
ja das denke ich auch weil es für mich wichtig ist das zu verstehen...
> Gruß v. Angela
>
> > > > Daraus
> > > > folgt ker(f) [mm]\not=[/mm] 0 und somit ist f nicht injektiv.
> > > >
> > > > geht die Rückrichtung so
> > >
> > > Es ist nicht die Rückrichtung, aber "==>" kannst Du so
> > > zeigen.
> > >
> > > Gruß v. Angela
> > LG Schmetterfee
>
LG schmetterfee
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> >
> > > > Die Kontraposition der Aussage f injektiv ==> [mm]U_1\cap U_2=\{0\}[/mm]
> > > > ist
> > > > [mm]U_1\cap U_2\not=\{0\}[/mm] ==> f ist nicht injektiv.
> > > >
> > > > Diese beiden Aussagen sind äquivalent.
> > > > Wenn Du zeigst [mm]U_1\cap U_2\not=\{0\}[/mm] ==> f ist
> nicht
> > > > injektiv,
> > > > dann zeigst Du also keinesfalls die Rückrichtung der zu
> > > > beweisenden Aussage.
> > > >
> > > > > "<=" Sei [mm]U_{1} \cap U_{2} \not=[/mm] {0}
> > > > > Dann gibt es 0 [mm]\not=[/mm] b [mm]\in U_{1} \cap U_{2}[/mm] .
> > > >
> > > > Es ist b
> > > >
> > > > > in ker f,
> > > > > weil [mm]f(b)=(b+U_{1},b+U_{2})=(U_{1},U_{2}).[/mm]
> > > >
> > > > [mm]=0_{V/U_1 x V/U_2}[/mm]
> > > woraus folgt dieser
> > einschub??..den
> > > versteh ich nicht ganz...
> >
> > Hallo,
> >
> > was ist denn die Null in [mm]V/U_i[/mm] ?
> >
> >
> ist das nicht wenn der Rest 0 ist? weil wir ja hier von
> restklassen reden...
Hallo,
ich weiß jetzt nicht genau, was Du mit "Rest" meinst.
Wir haben es hier mit dem Faktorraum /Quotientenraum [mm] V/U_i [/mm] zu tun, seine Elemente sind Mengen der Gestalt [mm] v+U_i.
[/mm]
Diese Mengen sind die Äquivalenzklassen bzgl der Äquivalenzrelation [mm] v\sim [/mm] w <==> [mm] v-w\in [/mm] U.
Auf dieser Menge wurde eine Addition erklärt sowie eine Multiplikation mit Elementen des Körpers, und mit diesen bekommt man einen Vektorraum.
Du mußt das unbedingt nacharbeiten - und zwar anhand von Büchern und Deinen Aufzeichnungen.
Es ist wichtig, daß man sich sowas im Eigenstudium aneignen kann, konkrete Fragen kannst Du natürlich hier stellen.
Achso: die Null in V/U ist U.
Gruß v. Angela
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Zur Teilfrage 3 habe ich nen Ansatz komm aber wirklich nicht zum Ende
also ich wollte einen Beweis durch Widersprcuh führen und Beginn wie folgt:
Sei f surjektiv und V [mm] \not= U_{1}+U_{2}
[/mm]
dann gibt es ein a [mm] \in [/mm] V \ [mm] (U_{1}+U{2})
[/mm]
Da f laut Vorrausetzung surjektiv ist gibt es ein b [mm] \in [/mm] V mit [mm] f(b)=(a+U_{1}, U_{2}
[/mm]
Aus b [mm] \in U_{2} [/mm] folgt b-a [mm] \in U_{1}
[/mm]
...
so aber hier geht es bei mir nicht weiter...ist das so weit denn richtig?..kann mir jemand nen Tipp geben wie ich weiter machen muss??
LG Schmetterfee
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so die Rückrichtung ist glaube ich simpler:
also jetzt versuch ich zu zeigen, dass [mm] V=U_{1}+U_{2} [/mm] ==> f ist surjektiv
Seien also a,b,c [mm] \in [/mm] V beliebig gewählt und [mm] V=U_{1}+U_{2}
[/mm]
Dann gilt:
[mm] a=x_{1}+x_{2}
[/mm]
[mm] b=y_{1}+y_{2}
[/mm]
[mm] c=z_{1}+z_{2}
[/mm]
mit [mm] x_{1},y_{1},z_{1} \in U_{1} [/mm] und [mm] x_{2},y_{2},z_{2} \in U_{2}
[/mm]
Dann muss es zu [mm] (a+U_{1},b+U_{2}) [/mm] ein Urbild c geben.
Dabei setzen wir [mm] c=x_{2}+y_{1} [/mm] und erhalten so:
[mm] f(c)=(c+U_{1},c+U_{2})=(x_{2}+y_{1}+U_{1},x_{2}+y_{1}+U_{2})=(x_{2}+U_{1},y_{1}+U_{2})=(x_{1}+x_{2}+U_{1},y_{1}+y_{2}+U_{2})=(a+U_{1},b+U_{2})
[/mm]
Somit wäre gezeigt, dass jedes Element aus [mm] V/U_{i} [/mm] ein Urbild in V hat.
Das wäre doch schon der Beweis für die Rückrichtung oder?
LG Schmetterfee
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> so die Rückrichtung ist glaube ich simpler:
> also jetzt versuch ich zu zeigen, dass [mm]V=U_{1}+U_{2}[/mm] ==> f
> ist surjektiv
>
> Seien also a,b,c [mm]\in[/mm] V beliebig gewählt und [mm]V=U_{1}+U_{2}[/mm]
> Dann gilt:
> [mm]a=x_{1}+x_{2}[/mm]
> [mm]b=y_{1}+y_{2}[/mm]
> [mm]c=z_{1}+z_{2}[/mm]
Hallo,
laß das c erstmal weg.
> mit [mm]x_{1},y_{1},z_{1} \in U_{1}[/mm] und [mm]x_{2},y_{2},z_{2} \in U_{2}[/mm]
>
> Dann muss es zu [mm](a+U_{1},b+U_{2})[/mm] ein Urbild c geben.
> Dabei setzen wir [mm]c\red{:}=x_{2}+y_{1}[/mm] und erhalten so:
>
> [mm]f(c)=(c+U_{1},c+U_{2})=(x_{2}+y_{1}+U_{1},x_{2}+y_{1}+U_{2})=(x_{2}+U_{1},y_{1}+U_{2})=(x_{1}+x_{2}+U_{1},y_{1}+y_{2}+U_{2})=(a+U_{1},b+U_{2})[/mm]
>
> Somit wäre gezeigt, dass jedes Element aus [mm]V/U_{i}[/mm] ein
> Urbild in V hat.
>
> Das wäre doch schon der Beweis für die Rückrichtung
> oder?
Ja.
Gruß v. Angela
>
> LG Schmetterfee
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> Zur Teilfrage 3 habe ich nen Ansatz komm aber wirklich
> nicht zum Ende
>
> also ich wollte einen Beweis durch Widersprcuh führen und
> Beginn wie folgt:
>
> Sei f surjektiv und V [mm]\not= U_{1}+U_{2}[/mm]
> dann gibt es ein a
> [mm]\in[/mm] V \ [mm](U_{1}+U{2})[/mm]
> Da f laut Vorrausetzung surjektiv ist gibt es ein b [mm]\in[/mm] V
> mit [mm]f(b)=(a+U_{1}, U_{2}[/mm],
also [mm] (b+U_1, b+U_2)=(a+U_1, a+U_2)
[/mm]
> Aus b [mm]\in U_{2}[/mm]
Davon ist ja nirgendwo die rede. [mm] b\in [/mm] V.
>folgt b-a [mm]\in U_{1}[/mm]
Genau.
Und [mm] b-a\in U_2.
[/mm]
Also gibt es ein u_1in [mm] U_1 [/mm] und ein [mm] u_2\in U_2 [/mm] mit ...
Erfahre aus den beiden Gleichungen etwas über a und entdecke den Widerspruch.
Gruß v. Angela
>
> ...
>
> so aber hier geht es bei mir nicht weiter...ist das so weit
> denn richtig?..kann mir jemand nen Tipp geben wie ich
> weiter machen muss??
>
> LG Schmetterfee
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> also [mm](b+U_1, b+U_2)=(a+U_1, a+U_2)[/mm]
>
> > Aus b [mm]\in U_{2}[/mm]
> Davon ist ja nirgendwo die rede. [mm]b\in[/mm] V.
>
> >folgt b-a [mm]\in U_{1}[/mm]
> Genau.
> Und [mm]b-a\in U_2.[/mm]
>
> Also gibt es ein u_1in [mm]U_1[/mm] und ein [mm]u_2\in U_2[/mm] mit ...
[mm] u_{1}=b-a [/mm] bzw. [mm] u_{2}=b-a
[/mm]
[mm] a=b-u_{1} [/mm] bzw [mm] a=b-u_{2}
[/mm]
aber was folger ich daraus?...ich kann mir denken wo wir hin wollen aber weiß nicht wie von diesem Punkt
wir wollen ja bestimmt dahin, dass a= [mm] u_{1}+u_{2} [/mm] und das steht ja im Widerspruch zur unserer Annahme weil a [mm] \in V(U_{1}+U_{2}) [/mm] liegen sollte aber ich weiß nicht wie ich von den gleichungen da oben da hin komm
LG Schmetterfee
> Erfahre aus den beiden Gleichungen etwas über a und
> entdecke den Widerspruch.
>
> Gruß v. Angela
> >
> > ...
> >
> > so aber hier geht es bei mir nicht weiter...ist das so weit
> > denn richtig?..kann mir jemand nen Tipp geben wie ich
> > weiter machen muss??
> >
> > LG Schmetterfee
>
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> > also [mm](b+U_1, b+U_2)=(a+U_1, a+U_2)[/mm]
> >
> > > Aus b [mm]\in U_{2}[/mm]
> > Davon ist ja nirgendwo die rede. [mm]b\in[/mm] V.
> >
> > >folgt b-a [mm]\in U_{1}[/mm]
> > Genau.
> > Und [mm]b-a\in U_2.[/mm]
> >
> > Also gibt es ein [mm] u_1\in[/mm] [mm]U_1[/mm] und ein [mm]u_2\in U_2[/mm] mit ...
> [mm]u_{1}=b-a[/mm] bzw. [mm]u_{2}=b-a[/mm]
> [mm]a=b-u_{1}[/mm] bzw [mm]a=b-u_{2}[/mm]
> aber was folger ich daraus?...ich kann mir denken wo wir
> hin wollen aber weiß nicht wie von diesem Punkt
> wir wollen ja bestimmt dahin, dass a= [mm]u_{1}+u_{2}[/mm] und das
> steht ja im Widerspruch zur unserer Annahme weil a [mm]\in V(U_{1}+U_{2})[/mm]
> liegen sollte aber ich weiß nicht wie ich von den
> gleichungen da oben da hin komm
Hallo,
ja, so dachte ich mir das, aber -
oh weh, da hatte ich vorhin ein Vorzeichen verdreht.
Man muß es anders machen, und ich glaube, daß es ohne Widerspruch übersichtlicher wird.
Wir wollen zeigen: f surjektiv ==> [mm] V=U_1+U_2.
[/mm]
Dazu nehmen wir ein beliebiges [mm] v\in [/mm] V und zeigen, daß man es als passende Summe schreiben kann:
sei [mm] v\in [/mm] V.
Da f surjektiv, gibt es ein Element [mm] v'\in [/mm] V mit [mm] f(v')=(U_1, v+U_2)
[/mm]
Erfahre hieraus etwas über v.
Gruß v. Angela
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> Hallo,
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> ja, so dachte ich mir das, aber -
> oh weh, da hatte ich vorhin ein Vorzeichen verdreht.
>
> Man muß es anders machen, und ich glaube, daß es ohne
> Widerspruch übersichtlicher wird.
>
> Wir wollen zeigen: f surjektiv ==> [mm]V=U_1+U_2.[/mm]
>
> Dazu nehmen wir ein beliebiges [mm]v\in[/mm] V und zeigen, daß man
> es als passende Summe schreiben kann:
>
> sei [mm]v\in[/mm] V.
>
> Da f surjektiv, gibt es ein Element [mm]v'\in[/mm] V mit
> [mm]f(v')=(U_1, v+U_2)[/mm]
>
> Erfahre hieraus etwas über v.
>
> Gruß v. Angela
>
tut mir leid ich weiß nicht genaus was ich jetzt machen muss.. erfahr ich davon nicht nur, dass v und v' in der selben nebenklasse in [mm] U_{2} [/mm] liegen?..und das [mm] f(v)=(U_{1},v'+U_{2}) [/mm] haben müsste?
LG Schmetterfee
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> > Man muß es anders machen, und ich glaube, daß es ohne
> > Widerspruch übersichtlicher wird.
> >
> > Wir wollen zeigen: f surjektiv ==> [mm]V=U_1+U_2.[/mm]
> >
> > Dazu nehmen wir ein beliebiges [mm]v\in[/mm] V und zeigen, daß man
> > es als passende Summe schreiben kann:
> >
> > sei [mm]v\in[/mm] V.
> >
> > Da f surjektiv, gibt es ein Element [mm]v'\in[/mm] V mit
> > [mm]f(v')=(U_1, v+U_2)[/mm]
> >
> > Erfahre hieraus etwas über v.
> >
> > Gruß v. Angela
> >
> tut mir leid ich weiß nicht genaus was ich jetzt machen
> muss.. erfahr ich davon nicht nur, dass v und v' in der
> selben nebenklasse in [mm]U_{2}[/mm] liegen?..und das
> [mm]f(v')=(U_{1},v+U_{2})[/mm] haben müsste?
Hallo,
Du mußt einfach mal ein bißchen mehr aufschreiben.
Was ist denn f(v')? f(v')= Funktionsgleichung!
Wenn nun [mm] f(v')=(U_1,v+U_2) [/mm] , dann folgen daraus zwei Gleichungen. Welche?
Aus der einen erhältst Du in der Tat, daß v und v' beide in [mm] v+U_2 [/mm] liegen. Wie kannst Du v also schreiben?
Was erfährst Du aus der anderen Gleichung über v'?
Und nun verarbeite das mit dem, was Du über v weißt.
Gruß v. Angela
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> > > Man muß es anders machen, und ich glaube, daß es ohne
> > > Widerspruch übersichtlicher wird.
> > >
> > > Wir wollen zeigen: f surjektiv ==> [mm]V=U_1+U_2.[/mm]
> > >
> > > Dazu nehmen wir ein beliebiges [mm]v\in[/mm] V und zeigen, daß man
> > > es als passende Summe schreiben kann:
> > >
> > > sei [mm]v\in[/mm] V.
> > >
> > > Da f surjektiv, gibt es ein Element [mm]v'\in[/mm] V mit
> > > [mm]f(v')=(U_1, v+U_2)[/mm]
> > >
> > > Erfahre hieraus etwas über v.
> > >
> > > Gruß v. Angela
> > >
> > tut mir leid ich weiß nicht genaus was ich jetzt machen
> > muss.. erfahr ich davon nicht nur, dass v und v' in der
> > selben nebenklasse in [mm]U_{2}[/mm] liegen?..und das
> > [mm]f(v')=(U_{1},v+U_{2})[/mm] haben müsste?
>
> Hallo,
>
> Du mußt einfach mal ein bißchen mehr aufschreiben.
>
> Was ist denn f(v')? f(v')= Funktionsgleichung!
was denn für ne Funktionsgleichung ich hab doch gar nix außer [mm] f(v')=(U_{1},v+U_{2})=(0,v+U_{2}) [/mm] aber das nützt mir doch nichts...
> Wenn nun [mm]f(v')=(U_1,v+U_2)[/mm] , dann folgen daraus zwei
> Gleichungen. Welche?
Kann ich leider nicht sagen weil ich nix habe woraus ich ne gleichung machen kann in wiefern denn ne Gleichung?
> Aus der einen erhältst Du in der Tat, daß v und v' beide
> in [mm]v+U_2[/mm] liegen. Wie kannst Du v also schreiben?
>
> Was erfährst Du aus der anderen Gleichung über v'?
>
> Und nun verarbeite das mit dem, was Du über v weißt.
müsste [mm] f(v)=(x+U_{1},v+U_{2}) [/mm] sein
kannst du mir nicht nen kleinen Tipp geben..ich schau immer wieder in meine Vorlesungsnotizen und finde nichtwas ich zu funktionen verwenden kann...
LG Schmetterfee
> Gruß v. Angela
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> > > > Man muß es anders machen, und ich glaube, daß es ohne
> > > > Widerspruch übersichtlicher wird.
> > > >
> > > > Wir wollen zeigen: f surjektiv ==> [mm]V=U_1+U_2.[/mm]
> > > >
> > > > Dazu nehmen wir ein beliebiges [mm]v\in[/mm] V und zeigen, daß man
> > > > es als passende Summe schreiben kann:
> > > >
> > > > sei [mm]v\in[/mm] V.
> > > >
> > > > Da f surjektiv, gibt es ein Element [mm]v'\in[/mm] V mit
> > > > [mm]f(v')=(U_1, v+U_2)[/mm]
> > > >
> > > > Erfahre hieraus etwas über v.
> > > >
> > > > Gruß v. Angela
> > > >
> > > tut mir leid ich weiß nicht genaus was ich jetzt machen
> > > muss.. erfahr ich davon nicht nur, dass v und v' in der
> > > selben nebenklasse in [mm]U_{2}[/mm] liegen?..und das
> > > [mm]f(v')=(U_{1},v+U_{2})[/mm] haben müsste?
> >
> > Hallo,
> >
> > Du mußt einfach mal ein bißchen mehr aufschreiben.
> >
> > Was ist denn f(v')? f(v')= Funktionsgleichung!
> was denn für ne Funktionsgleichung ich hab doch gar nix
> außer [mm]f(v')=(U_{1},v+U_{2})=(0,v+U_{2})[/mm] aber das nützt
> mir doch nichts...
Hallo,
och menno!
Wir haben doch für f eine Funktionsvorschrift für f. (!)(?)
Sie lautet?
Worauf bilden wir also das Element v' ab?
f(v')= ???
> kannst du mir nicht nen kleinen Tipp geben..ich schau immer
> wieder in meine Vorlesungsnotizen
Die brauchst Du hier gar nicht mehr. Das Notwendige weißt Du inzwischen.
Gruß v. Angela
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> > >
> > > > > Man muß es anders machen, und ich glaube, daß es ohne
> > > > > Widerspruch übersichtlicher wird.
> > > > >
> > > > > Wir wollen zeigen: f surjektiv ==> [mm]V=U_1+U_2.[/mm]
> > > > >
> > > > > Dazu nehmen wir ein beliebiges [mm]v\in[/mm] V und zeigen, daß man
> > > > > es als passende Summe schreiben kann:
> > > > >
> > > > > sei [mm]v\in[/mm] V.
> > > > >
> > > > > Da f surjektiv, gibt es ein Element [mm]v'\in[/mm] V mit
> > > > > [mm]f(v')=(U_1, v+U_2)[/mm]
> > > > >
> > > > > Erfahre hieraus etwas über v.
> > > > >
> > > > > Gruß v. Angela
> > > > >
> > > > tut mir leid ich weiß nicht genaus was ich jetzt machen
> > > > muss.. erfahr ich davon nicht nur, dass v und v' in der
> > > > selben nebenklasse in [mm]U_{2}[/mm] liegen?..und das
> > > > [mm]f(v')=(U_{1},v+U_{2})[/mm] haben müsste?
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > Du mußt einfach mal ein bißchen mehr aufschreiben.
> > >
> > > Was ist denn f(v')? f(v')= Funktionsgleichung!
> > was denn für ne Funktionsgleichung ich hab doch gar
> nix
> > außer [mm]f(v')=(U_{1},v+U_{2})=(0,v+U_{2})[/mm] aber das nützt
> > mir doch nichts...
>
>
> Hallo,
>
> och menno!
>
> Wir haben doch für f eine Funktionsvorschrift für f.
> (!)(?)
> Sie lautet?
[mm] f(x):=(p_{1}(x), p_{2} [/mm] (x)) in unserem Fall [mm] f(v'):=(U_{1},v+U_{2})
[/mm]
[mm] p_{1}(v')=U_{1}=0
[/mm]
[mm] p_{2}(v')=v+U_{2}
[/mm]
aber was nützt mir das?
> Worauf bilden wir also das Element v' ab?
>
> f(v')= ???
>
> > kannst du mir nicht nen kleinen Tipp geben..ich schau immer
> > wieder in meine Vorlesungsnotizen
>
> Die brauchst Du hier gar nicht mehr. Das Notwendige weißt
> Du inzwischen.
>
> Gruß v. Angela
>
>
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> > > >
> > > > > > Man muß es anders machen, und ich glaube, daß es ohne
> > > > > > Widerspruch übersichtlicher wird.
> > > > > >
> > > > > > Wir wollen zeigen: f surjektiv ==> [mm]V=U_1+U_2.[/mm]
> > > > > >
> > > > > > Dazu nehmen wir ein beliebiges [mm]v\in[/mm] V und zeigen, daß man
> > > > > > es als passende Summe schreiben kann:
> > > > > >
> > > > > > sei [mm]v\in[/mm] V.
> > > > > >
> > > > > > Da f surjektiv, gibt es ein Element [mm]v'\in[/mm] V mit
> > > > > > [mm]f(v')=(U_1, v+U_2)[/mm]
> > > > > >
> > > > > > Erfahre hieraus etwas über v.
> > > > > >
> > > > > > Gruß v. Angela
> > > > > >
> > > > > tut mir leid ich weiß nicht genaus was ich jetzt machen
> > > > > muss.. erfahr ich davon nicht nur, dass v und v' in der
> > > > > selben nebenklasse in [mm]U_{2}[/mm] liegen?..und das
> > > > > [mm]f(v')=(U_{1},v+U_{2})[/mm] haben müsste?
> > > >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > Du mußt einfach mal ein bißchen mehr aufschreiben.
> > > >
> > > > Was ist denn f(v')? f(v')= Funktionsgleichung!
> > > was denn für ne Funktionsgleichung ich hab doch gar
> > nix
> > > außer [mm]f(v')=(U_{1},v+U_{2})=(0,v+U_{2})[/mm] aber das nützt
> > > mir doch nichts...
> >
> >
> > Hallo,
> >
> > och menno!
> >
> > Wir haben doch für f eine Funktionsvorschrift für f.
> > (!)(?)
> > Sie lautet?
> [mm]f(x):=(p_{1}(x), p_{2}[/mm] (x)) in unserem Fall
Ja.
Und wenn wir wissen wollen, was f(v') ist, dann schreiben wir [mm] f(v')=(v'+U_1, v'+U_2).
[/mm]
Da in dem schönen Beweis v' auf [mm] (U_1, v+U_2) [/mm] abgebildet wird, ist auch f(v')= [mm] (U_1, v+U_2),
[/mm]
also sind die beiden Zweitupel gleich mit [mm] U_1=v'+U_1 [/mm] und [mm] v+U_2=v'+U_2
[/mm]
==> [mm] v'\in U_1 [/mm] und [mm] v-v'\in U_2,
[/mm]
also ist [mm] v\in U_1+U_2.
[/mm]
Gruß v. Angela
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> > > > >
> > > > > > > Man muß es anders machen, und ich glaube, daß es ohne
> > > > > > > Widerspruch übersichtlicher wird.
> > > > > > >
> > > > > > > Wir wollen zeigen: f surjektiv ==> [mm]V=U_1+U_2.[/mm]
> > > > > > >
> > > > > > > Dazu nehmen wir ein beliebiges [mm]v\in[/mm] V und zeigen, daß man
> > > > > > > es als passende Summe schreiben kann:
> > > > > > >
> > > > > > > sei [mm]v\in[/mm] V.
> > > > > > >
> > > > > > > Da f surjektiv, gibt es ein Element [mm]v'\in[/mm] V mit
> > > > > > > [mm]f(v')=(U_1, v+U_2)[/mm]
> > > > > > >
> > > > > > > Erfahre hieraus etwas über v.
> > > > > > >
> > > > > > > Gruß v. Angela
> > > > > > >
> > > > > > tut mir leid ich weiß nicht genaus was ich jetzt machen
> > > > > > muss.. erfahr ich davon nicht nur, dass v und v' in der
> > > > > > selben nebenklasse in [mm]U_{2}[/mm] liegen?..und das
> > > > > > [mm]f(v')=(U_{1},v+U_{2})[/mm] haben müsste?
> > > > >
> > > > > Hallo,
> > > > >
> > > > > Du mußt einfach mal ein bißchen mehr aufschreiben.
> > > > >
> > > > > Was ist denn f(v')? f(v')= Funktionsgleichung!
> > > > was denn für ne Funktionsgleichung ich hab doch
> gar
> > > nix
> > > > außer [mm]f(v')=(U_{1},v+U_{2})=(0,v+U_{2})[/mm] aber das nützt
> > > > mir doch nichts...
> > >
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > och menno!
> > >
> > > Wir haben doch für f eine Funktionsvorschrift für f.
> > > (!)(?)
> > > Sie lautet?
> > [mm]f(x):=(p_{1}(x), p_{2}[/mm] (x)) in unserem Fall
>
>
> Ja.
>
> Und wenn wir wissen wollen, was f(v') ist, dann schreiben
> wir [mm]f(v')=(v'+U_1, v'+U_2).[/mm]
>
>
> Da in dem schönen Beweis v' auf [mm](U_1, v+U_2)[/mm] abgebildet
> wird, ist auch f(v')= [mm](U_1, v+U_2),[/mm]
>
> also sind die beiden Zweitupel gleich mit [mm]U_1=v'+U_1[/mm] und
> [mm]v+U_2=v'+U_2[/mm]
>
> ==> [mm]v'\in U_1[/mm] und [mm]v-v'\in U_2,[/mm]
>
> also ist [mm]v\in U_1+U_2.[/mm]
>
> Gruß v. Angela
>
okay das is ja wirklich bloß definition nutzen und das jetzt zusammengefasst ist der ganze Beweis?
LG Schmetterfee und ganz großen Dank
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> okay das is ja wirklich bloß definition nutzen und das
> jetzt zusammengefasst ist der ganze Beweis?
Hallo,
vieles von dem, was in den ersten beiden Semestern von Dir verlangt wird, beschränkt sich auf das Aufschreiben und geschickte Aneinanderreihen von Definitionen.
Man muß es aber auch tun - und man darf nicht erwarten, gleich nach einer Stunde die Lösung dastehen zu haben.
Wenn man weiß, wie es geht, sind die Lösungen ja meist sehr kurz - aber der Weg ist das Ziel.
Man muß es akzeptieren, dies und das zu probieren, Papier überflüssigerweise vollzuschreiben und dann zu verheizen.
Nur so lernst Du Mathematik, durch eigenes Tun und das Ausprobieren eigener Ideen.
Wenn Du etwas lernen willst, dann schreib den Beweis zur Surjektivität jetzt allein, ohne abzuschauen, mit allen Begründungen auf.
Wenn Du das kannst, hast Du es verstanden.
Es war ja nur eine einzige Idee vonnöten, nämlich die zu sagen, daß es für jedes [mm] v\in [/mm] V ein Element gibt, welches auf [mm] (U_1, v+U_2) [/mm] abgebildet wird.
Auf diese Idee kommt man durch Versuche, die nicht zum Ziel führen. Der eine macht diese Versuche in drei Minuten im Kopf, der andere in drei Stunden auf dem Papier, das ist halt so.
Durch dieses ständige Probieren bekommt man ein Gefühl für das Fach.
Gruß v. Angela
>
> LG Schmetterfee und ganz großen Dank
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Hallo
So ich bin jetzt beim 4 Teil..und frage mich was ich jetzt eigentlich noch zeigen muss...denn wir haben ja bereits gezeigt, dass die abbildung injektiv und surjektiv ist daraud folgt ja bereits, dass sie bijektiv ist...
und muss ich diese Tatsache jetzt einfach nur mit der direkten Summe verbinden..weil die direkte Summe sagt uns doch nur, dass sich jedes a [mm] \in [/mm] V eindeutig darstellen lässt als [mm] a=u_{1}+u_{2} [/mm] mit [mm] u_{1} \in U_{1} [/mm] und [mm] u_{2} \in U_{2} [/mm] oder nicht??
LG Schmetterfee
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> Hallo
>
> So ich bin jetzt beim 4 Teil..und frage mich was ich jetzt
> eigentlich noch zeigen muss...
Hallo,
am esten schreibst Du jetzt erstmal mal die beiden zu beweisenden Behauptungen hin.
> denn wir haben ja bereits
> gezeigt, dass die abbildung injektiv und surjektiv ist
Nein.
Wir haben gezeigt, was unter der Voraussetzung, daß sie injektiv ist, folgt,
und
wir haben gezeigt, was unter der Voraussetzung, daß si surjektiv ist, folgt.
Natürlich kann man das für (4) verwerten.
> daraud folgt ja bereits, dass sie bijektiv ist...
> und muss ich diese Tatsache jetzt einfach nur mit der
> direkten Summe verbinden..weil die direkte Summe sagt uns
> doch nur, dass sich jedes a [mm]\in[/mm] V eindeutig darstellen
> lässt als [mm]a=u_{1}+u_{2}[/mm] mit [mm]u_{1} \in U_{1}[/mm] und [mm]u_{2} \in U_{2}[/mm]
> oder nicht??
Ja.
Vielleicht findest Du in Deinem Skript sogar noch ein bißchen was über die direkte Summe von zwei Unterräumen, was zu den rechten Seiten der bisher bewiesenen Behauptungen paßt.
Gruß v. Angela
>
> LG Schmetterfee
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> > Hallo
> >
> > So ich bin jetzt beim 4 Teil..und frage mich was ich jetzt
> > eigentlich noch zeigen muss...
>
> Hallo,
>
> am esten schreibst Du jetzt erstmal mal die beiden zu
> beweisenden Behauptungen hin.
also wir müssen zeigen,dass:
1) wenn f bijektiv [mm] ist==>V=U_{1} \oplus U_{2} [/mm]
bzw
2) wenn V= [mm] U_{1} \oplus U_{2} [/mm] ==> f ist bijektiv
>
> > denn wir haben ja bereits
> > gezeigt, dass die abbildung injektiv und surjektiv ist
>
> Nein.
>
> Wir haben gezeigt, was unter der Voraussetzung, daß sie
> injektiv ist, folgt,
> und
> wir haben gezeigt, was unter der Voraussetzung, daß si
> surjektiv ist, folgt.
>
> Natürlich kann man das für (4) verwerten.
>
> > daraud folgt ja bereits, dass sie bijektiv ist...
>
>
> > und muss ich diese Tatsache jetzt einfach nur mit der
> > direkten Summe verbinden..weil die direkte Summe sagt uns
> > doch nur, dass sich jedes a [mm]\in[/mm] V eindeutig darstellen
> > lässt als [mm]a=u_{1}+u_{2}[/mm] mit [mm]u_{1} \in U_{1}[/mm] und [mm]u_{2} \in U_{2}[/mm]
> > oder nicht??
>
> Ja.
>
> Vielleicht findest Du in Deinem Skript sogar noch ein
> bißchen was über die direkte Summe von zwei Unterräumen,
> was zu den rechten Seiten der bisher bewiesenen
> Behauptungen paßt.
ich habe in meinem Skrpt noch stehn, dass die direkte Summe zweier Unetrräume genau dann direkt ist wenn der Schnitt von [mm] U_{1} \cap U_{2} [/mm] =0 ist das sind je so zusagen die teilaussagen der beiden vorrigen beweise kann ich mir das irgendwie zu nutzen machen?
LG Schmetterfee
> Gruß v. Angela
> >
> > LG Schmetterfee
>
>
>
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> > > Hallo
> > >
> > > So ich bin jetzt beim 4 Teil..und frage mich was ich jetzt
> > > eigentlich noch zeigen muss...
> >
> > Hallo,
> >
> > am esten schreibst Du jetzt erstmal mal die beiden zu
> > beweisenden Behauptungen hin.
> also wir müssen zeigen,dass:
> 1) wenn f bijektiv [mm]ist==>V=U_{1} \oplus U_{2}[/mm]
> bzw
> 2) wenn V= [mm]U_{1} \oplus U_{2}[/mm] ==> f ist bijektiv
Genau.
> > Vielleicht findest Du in Deinem Skript sogar noch ein
> > bißchen was über die direkte Summe von zwei Unterräumen,
> > was zu den rechten Seiten der bisher bewiesenen
> > Behauptungen paßt.
>
>
> ich habe in meinem Skrpt noch stehn, dass die direkte Summe
> zweier Unetrräume genau dann direkt ist wenn der Schnitt
> von [mm]U_{1} \cap U_{2}[/mm] =0 ist das sind je so zusagen die
> teilaussagen der beiden vorrigen beweise kann ich mir das
> irgendwie zu nutzen machen?
Da wird ein bißchen mehr stehen:
nämlich daß [mm] V=U_1\oplus U_2 [/mm] <==> [mm] V=U_1+U_2 [/mm] und [mm] U_1\cap U_2,
[/mm]
und natürlich sollst Du das nutzen.
Zu 1)
f ist bijektiv ==> f ist ... ==> usw.
zu 2)
[mm] V=U_1\oplus U_2 [/mm] ==> ... ==> ...
In diesem Stil kannst Du das machen.
Das bekommst Du jetzt alleine hin.
Gruß v. Angela
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> > > > Hallo
> > > >
> > > > So ich bin jetzt beim 4 Teil..und frage mich was ich jetzt
> > > > eigentlich noch zeigen muss...
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > am esten schreibst Du jetzt erstmal mal die beiden zu
> > > beweisenden Behauptungen hin.
> > also wir müssen zeigen,dass:
> > 1) wenn f bijektiv [mm]ist==>V=U_{1} \oplus U_{2}[/mm]
> > bzw
> > 2) wenn V= [mm]U_{1} \oplus U_{2}[/mm] ==> f ist bijektiv
>
>
> Genau.
>
> > > Vielleicht findest Du in Deinem Skript sogar noch ein
> > > bißchen was über die direkte Summe von zwei Unterräumen,
> > > was zu den rechten Seiten der bisher bewiesenen
> > > Behauptungen paßt.
> >
> >
> > ich habe in meinem Skrpt noch stehn, dass die direkte Summe
> > zweier Unetrräume genau dann direkt ist wenn der Schnitt
> > von [mm]U_{1} \cap U_{2}[/mm] =0 ist das sind je so zusagen die
> > teilaussagen der beiden vorrigen beweise kann ich mir das
> > irgendwie zu nutzen machen?
>
> Da wird ein bißchen mehr stehen:
>
> nämlich daß [mm]V=U_1\oplus U_2[/mm] <==> [mm]V=U_1+U_2[/mm] und [mm]U_1\cap U_2,[/mm]
>
> und natürlich sollst Du das nutzen.
>
> Zu 1)
>
> f ist bijektiv ==> f ist ... ==> usw.
wie genau muss man dass den formulieren vom Prinzip ist es ja nur:
f ist bijektiv==> f ist surjektiv [mm] \wedge [/mm] injektiv ==> [mm] V=U_{1}+U_{2} \wedge U_{1} \cap U_{2}=0 [/mm] ===> V= [mm] U_{1} \oplus U_{2}
[/mm]
das ist es ja eigentlisch schon aber muss ich das noch weiter ausführen?..weil das wäre doch ein bisschen wenig oder?
LG Schmetterfee
> zu 2)
>
> [mm]V=U_1\oplus U_2[/mm] ==> ... ==> ...
>
> In diesem Stil kannst Du das machen.
> Das bekommst Du jetzt alleine hin.
>
> Gruß v. Angela
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> > > > > Hallo
> > > > >
> > > > > So ich bin jetzt beim 4 Teil..und frage mich was ich jetzt
> > > > > eigentlich noch zeigen muss...
> > > >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > am esten schreibst Du jetzt erstmal mal die beiden zu
> > > > beweisenden Behauptungen hin.
> > > also wir müssen zeigen,dass:
> > > 1) wenn f bijektiv [mm]ist==>V=U_{1} \oplus U_{2}[/mm]
> > > bzw
> > > 2) wenn V= [mm]U_{1} \oplus U_{2}[/mm] ==> f ist bijektiv
> >
> >
> > Genau.
> >
> > > > Vielleicht findest Du in Deinem Skript sogar noch ein
> > > > bißchen was über die direkte Summe von zwei Unterräumen,
> > > > was zu den rechten Seiten der bisher bewiesenen
> > > > Behauptungen paßt.
> > >
> > >
> > > ich habe in meinem Skrpt noch stehn, dass die direkte Summe
> > > zweier Unetrräume genau dann direkt ist wenn der Schnitt
> > > von [mm]U_{1} \cap U_{2}[/mm] =0 ist das sind je so zusagen die
> > > teilaussagen der beiden vorrigen beweise kann ich mir das
> > > irgendwie zu nutzen machen?
> >
> > Da wird ein bißchen mehr stehen:
> >
> > nämlich daß [mm]V=U_1\oplus U_2[/mm] <==> [mm]V=U_1+U_2[/mm] und [mm]U_1\cap U_2,[/mm]
>
> >
> > und natürlich sollst Du das nutzen.
> >
> > Zu 1)
> >
> > f ist bijektiv ==> f ist ... ==> usw.
>
> wie genau muss man dass den formulieren vom Prinzip ist es
> ja nur:
> f ist bijektiv==> f ist surjektiv [mm]\wedge[/mm] injektiv ==>
> [mm]V=U_{1}+U_{2} \wedge U_{1} \cap U_{2}=0[/mm] ===> V= [mm]U_{1} \oplus U_{2}[/mm]
>
> das ist es ja eigentlisch schon aber muss ich das noch
> weiter ausführen?..weil das wäre doch ein bisschen wenig
> oder?
Das ist genug.
Oben auf die Pfeile schreibst Du die Teilaufgabe aus der das folgt, und auf den letzten den entsprechenden satz aus dem Skript.
Gruß v. Angela
>
> LG Schmetterfee
>
> > zu 2)
> >
> > [mm]V=U_1\oplus U_2[/mm] ==> ... ==> ...
> >
> > In diesem Stil kannst Du das machen.
> > Das bekommst Du jetzt alleine hin.
> >
> > Gruß v. Angela
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> > > > > > Hallo
> > > > > >
> > > > > > So ich bin jetzt beim 4 Teil..und frage mich was ich jetzt
> > > > > > eigentlich noch zeigen muss...
> > > > >
> > > > > Hallo,
> > > > >
> > > > > am esten schreibst Du jetzt erstmal mal die beiden zu
> > > > > beweisenden Behauptungen hin.
> > > > also wir müssen zeigen,dass:
> > > > 1) wenn f bijektiv [mm]ist==>V=U_{1} \oplus U_{2}[/mm]
> > > > bzw
> > > > 2) wenn V= [mm]U_{1} \oplus U_{2}[/mm] ==> f ist bijektiv
> > >
> > >
> > > Genau.
> > >
> > > > > Vielleicht findest Du in Deinem Skript sogar noch ein
> > > > > bißchen was über die direkte Summe von zwei Unterräumen,
> > > > > was zu den rechten Seiten der bisher bewiesenen
> > > > > Behauptungen paßt.
> > > >
> > > >
> > > > ich habe in meinem Skrpt noch stehn, dass die direkte Summe
> > > > zweier Unetrräume genau dann direkt ist wenn der Schnitt
> > > > von [mm]U_{1} \cap U_{2}[/mm] =0 ist das sind je so zusagen die
> > > > teilaussagen der beiden vorrigen beweise kann ich mir das
> > > > irgendwie zu nutzen machen?
> > >
> > > Da wird ein bißchen mehr stehen:
> > >
> > > nämlich daß [mm]V=U_1\oplus U_2[/mm] <==> [mm]V=U_1+U_2[/mm] und [mm]U_1\cap U_2,[/mm]
>
> >
> > >
> > > und natürlich sollst Du das nutzen.
> > >
> > > Zu 1)
> > >
> > > f ist bijektiv ==> f ist ... ==> usw.
> >
> > wie genau muss man dass den formulieren vom Prinzip ist es
> > ja nur:
> > f ist bijektiv==> f ist surjektiv [mm]\wedge[/mm] injektiv ==>
> > [mm]V=U_{1}+U_{2} \wedge U_{1} \cap U_{2}=0[/mm] ===> V= [mm]U_{1} \oplus U_{2}[/mm]
>
> >
> > das ist es ja eigentlisch schon aber muss ich das noch
> > weiter ausführen?..weil das wäre doch ein bisschen wenig
> > oder?
>
> Das ist genug.
>
> Oben auf die Pfeile schreibst Du die Teilaufgabe aus der
> das folgt, und auf den letzten den entsprechenden satz aus
> dem Skript.
okay dann ist das ja ganz leicht
> Gruß v. Angela
>
> >
> > LG Schmetterfee
> >
> > > zu 2)
> > >
> > > [mm]V=U_1\oplus U_2[/mm] ==> ... ==> ...
naja das ist doch eigentlich bloß 1 umgedreht oder?
also V= [mm] U_{1} \oplus U_{2}==> U_{1} \cap U_{2} [/mm] =0 [mm] \wedge [/mm] V= [mm] U_{1}+U_{2} [/mm] ==> f ist surjektiv [mm] \wedge [/mm] injektiv ==> f ist bijektiv
oder muss die rückrichtung anders? da würd ich dann natürlich auch wieder die definitionen ran schreiben..
LG Schmetterfee
> > > In diesem Stil kannst Du das machen.
> > > Das bekommst Du jetzt alleine hin.
> > >
> > > Gruß v. Angela
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Hallo,
es ist so leicht, wie Du vermutest.
Gruß v. Angela
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