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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 Mo 19.12.2011 | | Autor: | goerimx |
| Aufgabe | Seien V und W K-Vektorra ̈ume und Φ : V → W eine lineare Abbildung.
Zeigen Sie
(i) Φ ist genau dann bijektiv, wenn Kern Φ = {0} und dim(V ) = dim(W ).
(ii) Ist Φ bijektiv, dann ist die Umkehrabbildung ebenfalls linear.
(iii) Sei V = W = R3 und Φ(1,0,0) = (−1,0,1), Φ(0,1,0) = (1,2,0), Φ(0,0,1) = (0,2,1). Bestimmen Sie Φ(1, 1, 1). |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie bestimme ich bei i) den kern?
anhand einer vorgegebenen Matrix bzw LGS wäre es mir möglich aber wie mache ich es in diesem fall?
reicht es aus zu schreiben:
ker Φ: { v [mm] \varepsilon [/mm] V | Φ(v) = 0 [mm] \varepsilon [/mm] W}?
wäre doch in diesem fall der kern von Φ oder?
vielen dank für eure Hilfe:)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:09 Mo 19.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Seien V und W K-Vektorra ̈ume und Φ : V → W eine
> lineare Abbildung.
> Zeigen Sie
> (i) Φ ist genau dann bijektiv, wenn Kern Φ = {0} und
> dim(V ) = dim(W ).
> (ii) Ist Φ bijektiv, dann ist die Umkehrabbildung
> ebenfalls linear.
> (iii) Sei V = W = R3 und Φ(1,0,0) = (−1,0,1), Φ(0,1,0)
> = (1,2,0), Φ(0,0,1) = (0,2,1). Bestimmen Sie Φ(1, 1, 1).
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Wie bestimme ich bei i) den kern?
Den Kern sollst Du doch gar nicht bestimmen !
Du sollst zeigen:
Φ ist genau dann bijektiv, wenn Kern Φ = {0} und dim(V ) = dim(W ).
FRED
>
> anhand einer vorgegebenen Matrix bzw LGS wäre es mir
> möglich aber wie mache ich es in diesem fall?
>
> reicht es aus zu schreiben:
>
> ker Φ: { v [mm]\varepsilon[/mm] V | Φ(v) = 0 [mm]\varepsilon[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
W}?
>
> wäre doch in diesem fall der kern von Φ oder?
>
> vielen dank für eure Hilfe:)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mo 19.12.2011 | | Autor: | goerimx |
hmm ok...
dann steh ich jetzt ganz schön auf dem schlauch...
mir fehlt jeglicher Ansatz diese Aufgabe zu lösen...
könnte mir vielleicht jmd beim Ansatz helfen?
blick da nicht so ganz durch.
Vielen Dank im voraus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:59 Mo 19.12.2011 | | Autor: | goerimx |
Also ii) und iii) habe ich lösen können aber bei aufg i) weiß ich einfach nicht was zu tun ist...
bitte um eure Hilfe
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> Seien V und W K-Vektorra ̈ume und Φ : V → W eine
> lineare Abbildung.
> Zeigen Sie
> (i) Φ ist genau dann bijektiv, wenn Kern Φ = {0} und
> dim(V ) = dim(W ).
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Eines kann man immer schonmal tun, auch wenn man noch nicht richtig weiß, wie man es beweisen wird: hinzuschreiben, was beweisen werden soll.
Hier ist es ja so, daß zwei Richtungen zu zeigen sind, nämlich
A. f bijektiv ==> [mm] kernf=\{0\} [/mm] und dimV=dimW
B. (dimV=dimW und [mm] kernf=\{0\}) [/mm] ==> f bijektiv.
Zu 1.
Vorausgesetzt ist ja, daß f bijektiv ist, also insbesondere injektiv.
Du könntest jetzt annehmen daß der kern außer dem Nullvektor ein weiteres Element enthält und dies zum Widerspruch führen.
Dann könntest Du mal die Surjektivität bedenken und darüber nachdenken, welche Eigenschaften das Urbild einer Basis von W hat.
Du solltest zeigen können, daß es linear unabhängig ist. Mal angenommen, seine Mächtigkeit wäre kleiner als die Dimension von V...
Ich denke, bis hierher gibt es erstmal genug zu tun.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:35 Mo 19.12.2011 | | Autor: | goerimx |
das denke ich auch, danke für die Hilfestellung!
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